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Note per Studenti Derivata e integrale di un vettore

Derivata e integrale di un vettore

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Ultima nota del capitolo sui vettori: serve per definire velocità e accelerazione nel piano, cioè per passare da Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione → a Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →. Prima: Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →, Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →.

Vettori che dipendono dal tempo

Un vettore funzione del tempo a⃗(t)\vec a(t) associa a ogni istante tt un vettore. L'esempio fondamentale è il vettore posizione r⃗(t)\vec r(t) di un punto che si muove: in ogni istante è la freccia dall'origine al punto. In componenti cartesiane

a⃗(t)=ax(t) ı^+ay(t) ȷ^+az(t) k^\vec a(t) = a_x(t)\,\hat\imath + a_y(t)\,\hat\jmath + a_z(t)\,\hat k

cioè un vettore funzione del tempo equivale a tre funzioni numeriche del tempo, le sue componenti. I versori ı^,ȷ^,k^\hat\imath, \hat\jmath, \hat k degli assi sono fissi: non cambiano nel tempo.

Derivata

Come per le funzioni numeriche, la derivata è il limite del rapporto incrementale:

da⃗dt=lim⁡Δt→0a⃗(t+Δt)−a⃗(t)Δt\frac{d\vec a}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec a(t + \Delta t) - \vec a(t)}{\Delta t}

Il numeratore è una differenza di vettori (la freccia che va dalla punta di a⃗(t)\vec a(t) alla punta di a⃗(t+Δt)\vec a(t + \Delta t)), divisa per un numero: è un vettore. Quindi la derivata di un vettore è un vettore.

Si deriva componente per componente

Poiché i versori degli assi sono costanti, la differenza a⃗(t+Δt)−a⃗(t)\vec a(t + \Delta t) - \vec a(t) si fa componente per componente e il limite pure:

da⃗dt=daxdt ı^+daydt ȷ^+dazdt k^\boxed{\frac{d\vec a}{dt} = \frac{da_x}{dt}\,\hat\imath + \frac{da_y}{dt}\,\hat\jmath + \frac{da_z}{dt}\,\hat k}

Esempio. r⃗(t)=(3t) ı^+(4t−5t2) ȷ^\vec r(t) = (3t)\,\hat\imath + (4t - 5t^2)\,\hat\jmath (metri, secondi). Allora

dr⃗dt=3 ı^+(4−10t) ȷ^,d2r⃗dt2=−10 ȷ^\frac{d\vec r}{dt} = 3\,\hat\imath + (4 - 10t)\,\hat\jmath, \qquad \frac{d^2\vec r}{dt^2} = -10\,\hat\jmath

(È un Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico → con accelerazione costante verso il basso.)

Regole di derivazione

Valgono le stesse regole delle funzioni numeriche, rispettando l'ordine dei fattori nel prodotto vettoriale (λ(t)\lambda(t) è una funzione numerica):

regola
somma ddt(a⃗+b⃗)=da⃗dt+db⃗dt\dfrac{d}{dt}(\vec a + \vec b) = \dfrac{d\vec a}{dt} + \dfrac{d\vec b}{dt}
prodotto per una funzione ddt(λa⃗)=dλdt a⃗+λ da⃗dt\dfrac{d}{dt}(\lambda\vec a) = \dfrac{d\lambda}{dt}\,\vec a + \lambda\,\dfrac{d\vec a}{dt}
prodotto scalare ddt(a⃗⋅b⃗)=da⃗dt⋅b⃗+a⃗⋅db⃗dt\dfrac{d}{dt}(\vec a \cdot \vec b) = \dfrac{d\vec a}{dt} \cdot \vec b + \vec a \cdot \dfrac{d\vec b}{dt}
prodotto vettoriale ddt(a⃗×b⃗)=da⃗dt×b⃗+a⃗×db⃗dt\dfrac{d}{dt}(\vec a \times \vec b) = \dfrac{d\vec a}{dt} \times \vec b + \vec a \times \dfrac{d\vec b}{dt} (ordine fisso)

Vettore di modulo costante: la derivata è perpendicolare

Se ∣a⃗(t)∣|\vec a(t)| è costante (il vettore può solo ruotare), allora a⃗⋅a⃗=a2\vec a \cdot \vec a = a^2 è costante e la sua derivata è zero. Con la regola del prodotto scalare:

0=ddt(a⃗⋅a⃗)=2 a⃗⋅da⃗dt⟹a⃗⊥da⃗dt0 = \frac{d}{dt}(\vec a \cdot \vec a) = 2\,\vec a \cdot \frac{d\vec a}{dt} \quad \Longrightarrow \quad \vec a \perp \frac{d\vec a}{dt}

Un vettore che non cambia lunghezza può cambiare solo direzione, e la sua derivata è sempre perpendicolare a lui. Intuizione: la punta di una freccia che ruota attorno alla coda si muove su una circonferenza, e lo spostamento lungo una circonferenza è tangente, cioè perpendicolare al raggio.

Derivata di un versore

Caso particolare importantissimo: un versore u^(t)\hat u(t) ha modulo sempre 11, quindi la sua derivata è perpendicolare a lui. Quanto vale?

Si consideri un versore nel piano che forma un angolo φ(t)\varphi(t) con l'asse xx:

u^=cos⁡φ ı^+sin⁡φ ȷ^\hat u = \cos\varphi\,\hat\imath + \sin\varphi\,\hat\jmath

Derivando con la regola della funzione composta (ddtcos⁡φ=−sin⁡φ dφdt\frac{d}{dt}\cos\varphi = -\sin\varphi\,\frac{d\varphi}{dt}):

du^dt=dφdt (−sin⁡φ ı^+cos⁡φ ȷ^)\frac{d\hat u}{dt} = \frac{d\varphi}{dt}\,\big(-\sin\varphi\,\hat\imath + \cos\varphi\,\hat\jmath\big)

Il vettore tra parentesi, n^=−sin⁡φ ı^+cos⁡φ ȷ^\hat n = -\sin\varphi\,\hat\imath + \cos\varphi\,\hat\jmath, è a sua volta un versore (modulo sin⁡2φ+cos⁡2φ=1\sqrt{\sin^2\varphi + \cos^2\varphi} = 1) ed è u^\hat u ruotato di 90°90° in senso antiorario (il suo angolo è φ+90°\varphi + 90°: infatti cos⁡(φ+90°)=−sin⁡φ\cos(\varphi + 90°) = -\sin\varphi e sin⁡(φ+90°)=cos⁡φ\sin(\varphi + 90°) = \cos\varphi). Quindi

du^dt=dφdt n^\boxed{\frac{d\hat u}{dt} = \frac{d\varphi}{dt}\,\hat n}

Lettura: la derivata di un versore ha

  • modulo ∣dφdt∣\left|\frac{d\varphi}{dt}\right|: la rapidità con cui ruota, in rad/s (per questo gli angoli vanno in radianti);
  • direzione perpendicolare a u^\hat u, nel verso in cui il versore sta ruotando.

Un versore fermo (φ\varphi costante) ha derivata nulla, come i versori degli assi.

In notazione vettoriale. Introducendo il vettore ω⃗=dφdt k^\vec\omega = \frac{d\varphi}{dt}\,\hat k (perpendicolare al piano di rotazione), la formula si scrive du^dt=ω⃗×u^\frac{d\hat u}{dt} = \vec\omega \times \hat u: infatti k^×u^\hat k \times \hat u è proprio u^\hat u ruotato di 90°90° in senso antiorario, cioè n^\hat n. Questa forma vale anche per rotazioni nello spazio e tornerà nel Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare → e nei Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento.

Derivata di un vettore scritto come modulo per versore

Scrivendo un vettore qualsiasi come a⃗=a u^\vec a = a\,\hat u (modulo per versore, entrambi funzioni del tempo) e derivando con la regola del prodotto:

da⃗dt=dadt u^⏟parallela ad a⃗+a dφdt n^⏟perpendicolare ad a⃗\frac{d\vec a}{dt} = \underbrace{\frac{da}{dt}\,\hat u}_{\text{parallela ad } \vec a} + \underbrace{a\,\frac{d\varphi}{dt}\,\hat n}_{\text{perpendicolare ad } \vec a}

La derivata di un vettore ha due contributi con significati diversi:

  1. una parte parallela al vettore, che c'è solo se cambia il modulo;
  2. una parte perpendicolare, che c'è solo se cambia la direzione.

È la chiave per capire l'accelerazione nel moto curvilineo: applicata al vettore velocità v⃗=v u^T\vec v = v\,\hat u_T dà l'accelerazione tangenziale dvdt\frac{dv}{dt} (cambia la rapidità) e l'accelerazione normale v2R\frac{v^2}{R} (cambia la direzione del moto). Vedi Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →.

Conseguenza da ricordare: un vettore di modulo costante può avere derivata non nulla. Un'auto che percorre una curva a 5050 km/h costanti accelera, perché la direzione della velocità cambia.

Integrale

Anche l'integrale si fa componente per componente:

∫t1t2a⃗(t) dt=(∫t1t2ax dt)ı^+(∫t1t2ay dt)ȷ^+(∫t1t2az dt)k^\int_{t_1}^{t_2} \vec a(t)\,dt = \left(\int_{t_1}^{t_2} a_x\,dt\right)\hat\imath + \left(\int_{t_1}^{t_2} a_y\,dt\right)\hat\jmath + \left(\int_{t_1}^{t_2} a_z\,dt\right)\hat k

e vale il teorema fondamentale del calcolo: se db⃗dt=a⃗\frac{d\vec b}{dt} = \vec a, allora b⃗(t)=b⃗(t0)+∫t0ta⃗(t′) dt′\vec b(t) = \vec b(t_0) + \int_{t_0}^{t} \vec a(t')\,dt'. In cinematica:

v⃗(t)=v⃗0+∫t0ta⃗(t′) dt′r⃗(t)=r⃗0+∫t0tv⃗(t′) dt′\vec v(t) = \vec v_0 + \int_{t_0}^{t} \vec a(t')\,dt' \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \int_{t_0}^{t} \vec v(t')\,dt'

con le condizioni iniziali che ora sono vettori: posizione iniziale r⃗0\vec r_0 e velocità iniziale v⃗0\vec v_0 (due componenti ciascuna nel piano).

Esempio. Accelerazione costante a⃗=−g ȷ^\vec a = -g\,\hat\jmath, v⃗0=(v0x,v0y)\vec v_0 = (v_{0x}, v_{0y}), r⃗0=0⃗\vec r_0 = \vec 0:

v⃗(t)=v0x ı^+(v0y−gt) ȷ^r⃗(t)=v0xt ı^+(v0yt−12gt2)ȷ^\vec v(t) = v_{0x}\,\hat\imath + (v_{0y} - g t)\,\hat\jmath \qquad \vec r(t) = v_{0x} t\,\hat\imath + \left(v_{0y} t - \tfrac12 g t^2\right)\hat\jmath

che sono le leggi del Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →.

Attenzione: si integra componente per componente solo lungo versori fissi. Se un vettore è scritto con versori che ruotano (come u^\hat u e n^\hat n sopra), non si possono "tirare fuori" dall'integrale.

Riassunto

formula
derivata in componenti da⃗dt=a˙x ı^+a˙y ȷ^+a˙z k^\dfrac{d\vec a}{dt} = \dot a_x\,\hat\imath + \dot a_y\,\hat\jmath + \dot a_z\,\hat k
modulo costante a⃗⋅da⃗dt=0\vec a \cdot \dfrac{d\vec a}{dt} = 0: derivata perpendicolare
derivata di un versore du^dt=dφdt n^=ω⃗×u^\dfrac{d\hat u}{dt} = \dfrac{d\varphi}{dt}\,\hat n = \vec\omega \times \hat u
derivata di a u^a\,\hat u a˙ u^\dot a\,\hat u (cambia il modulo) + a φ˙ n^+\ a\,\dot\varphi\,\hat n (cambia la direzione)
integrale componente per componente, con condizioni iniziali vettoriali

(Il punto sopra una grandezza, a˙\dot a, è un'abbreviazione per la derivata rispetto al tempo, dadt\frac{da}{dt}.)

Errori comuni

  • Pensare che un vettore di modulo costante abbia derivata nulla: ha derivata nulla solo se anche la direzione è costante.
  • Derivare il modulo invece del vettore: ∣da⃗dt∣\left|\frac{d\vec a}{dt}\right| e d∣a⃗∣dt\frac{d|\vec a|}{dt} sono cose diverse. Nel moto circolare uniforme la seconda è zero, la prima no.
  • Trattare come costanti versori che ruotano (tangente, normale, radiale): vanno derivati anche loro.
  • Usare l'angolo in gradi in dφdt\frac{d\varphi}{dt}: la formula ddtcos⁡φ=−sin⁡φ φ˙\frac{d}{dt}\cos\varphi = -\sin\varphi\,\dot\varphi vale solo in radianti.

Esercizi su questo argomento

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