Esercizio 17legge oraria nel piano, accelerazione tangenziale e normale

Testo (esercizio di allenamento sulla cinematica nel piano). Un punto materiale si muove nel piano $xy$ con legge oraria

$$x(t) = 2t \qquad y(t) = t^3 - 3t$$

($x$, $y$ in metri, $t$ in secondi). Determinare:

1. l'equazione della traiettoria;
2. velocità e accelerazione (vettori) in funzione del tempo;
3. accelerazione tangenziale, accelerazione normale e raggio di curvatura negli istanti $t = 0$, $t = 1$ s e $t = 2$ s;
4. la velocità media tra $t = 0$ e $t = 2$ s.

Unità nascoste nei coefficienti

Ogni termine di $x(t)$ e $y(t)$ deve essere una lunghezza (principio di omogeneitàSi possono sommare solo grandezze con la stessa dimensione, e i due membri di un'uguaglianza devono avere la stessa dimensione.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni →): il $2$ in $2t$ è $2$ m/s, il coefficiente di $t^3$ è $1\ \text{m/s}^3$ e il $3$ in $3t$ è $3$ m/s. Per questo, sostituendo $t$ in secondi, i risultati escono in metri, m/s e m/s².

1. Traiettoria

Si elimina il tempoLa traiettoria è la curva y(x) che si ottiene ricavando t da una legge oraria e sostituendolo nell'altra.Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione → tra le due leggi orarie. Dalla prima $t = \frac{x}{2}$; sostituendo nella seconda:

$$y = \left(\frac x2\right)^3 - 3\cdot\frac x2 = \frac{x^3}{8} - \frac{3x}{2}$$

È una cubica. Il punto parte dall'origine ($t = 0$) e, poiché $x = 2t$ cresce sempre, la percorre da sinistra verso destra: scende fino al minimo in $x = 2$ m ($t = 1$ s, $y = -2$ m) e poi risale.

2. Velocità e accelerazione

Si deriva componente per componenteI versori degli assi sono fissi, quindi la derivata di un vettore ha per componenti le derivate delle componenti.Derivata e integrale di un vettore →:

$$\vec v(t) = \frac{dx}{dt}\,\hat\imath + \frac{dy}{dt}\,\hat\jmath = 2\,\hat\imath + (3t^2 - 3)\,\hat\jmath \quad [\text{m/s}]$$

$$\vec a(t) = \frac{dv_x}{dt}\,\hat\imath + \frac{dv_y}{dt}\,\hat\jmath = 0\,\hat\imath + 6t\,\hat\jmath \quad [\text{m/s}^2]$$

La componente orizzontale della velocità è costante (moto uniforme lungo $x$), quindi l'accelerazione è sempre verticale. A differenza del moto parabolico, però, l'accelerazione non è costante: cresce con il tempo.

3. Componenti intrinseche dell'accelerazione

Il metodo

Note le componenti cartesiane, si usano le formule di Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →:

• $a_T = \dfrac{\vec a \cdot \vec v}{v}$: la proiezioneIl prodotto scalare con il versore della velocità dà la componente dell'accelerazione lungo la direzione del moto.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → di $\vec a$ sulla direzione della velocità; dice di quanto cambia il modulo della velocità;
• $a_N = \dfrac{|\vec v \times \vec a|}{v} = \dfrac{|v_x a_y - v_y a_x|}{v}$: la componente perpendicolare alla velocità; dice quanto curva la traiettoria;
• $R = \dfrac{v^2}{a_N}$: il raggio di curvatura, perché $a_N = v^2/R$.

Istante $t = 0$

$$\vec v = (2;\ -3)\ \text{m/s}, \quad v = \sqrt{4 + 9} = 3{,}61\ \text{m/s}, \qquad \vec a = (0;\ 0)$$

L'accelerazione è nulla, quindi $a_T = 0$ e $a_N = 0$. Un'accelerazione normale nulla con velocità non nulla vuol dire raggio di curvatura infinito: in quel punto la traiettoria è "localmente diritta". Infatti l'origine è un punto di flesso della cubica ($y'' = \frac{3x}{4} = 0$ in $x = 0$): lì la curva passa da concava verso il basso a concava verso l'alto.

Istante $t = 1$ s

$$\vec v = (2;\ 0)\ \text{m/s}, \quad v = 2\ \text{m/s}, \qquad \vec a = (0;\ 6)\ \text{m/s}^2$$

• $a_T = \frac{0 \cdot 2 + 6 \cdot 0}{2} = 0$: velocità e accelerazione sono perpendicolari, il modulo della velocità in questo istante non cambia (è il minimo del modulo: $v^2 = 4 + (3t^2 - 3)^2$ è minimo quando $3t^2 - 3 = 0$);
• $a_N = \frac{|2 \cdot 6 - 0 \cdot 0|}{2} = 6\ \text{m/s}^2$: tutta l'accelerazione è normale, diretta verso l'alto, cioè verso l'interno della curva (il punto è nel minimo della traiettoria, che lì è concava verso l'alto);
• $R = \frac{2^2}{6} = 0{,}667$ m.

Istante $t = 2$ s

$$\vec v = (2;\ 9)\ \text{m/s}, \quad v = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85} = 9{,}22\ \text{m/s}, \qquad \vec a = (0;\ 12)\ \text{m/s}^2$$

• $a_T = \frac{0 \cdot 2 + 12 \cdot 9}{9{,}22} = \frac{108}{9{,}22} = 11{,}7\ \text{m/s}^2$: positiva, il punto sta accelerando (la velocità punta quasi verso l'alto, a $77{,}5°$, e l'accelerazione è verticale: sono quasi concordi);
• $a_N = \frac{|2 \cdot 12 - 9 \cdot 0|}{9{,}22} = \frac{24}{9{,}22} = 2{,}60\ \text{m/s}^2$;
• controllo: $\sqrt{11{,}7^2 + 2{,}60^2} = \sqrt{137{,}2 + 6{,}8} = 12{,}0\ \text{m/s}^2 = |\vec a|$ ✓;
• $R = \frac{85}{2{,}60} = 32{,}7$ m: qui la curva è molto più "aperta".

Perché $a_T$ si può verificare in un altro modo. Il modulo della velocità è $v(t) = \sqrt{4 + (3t^2 - 3)^2}$, e $a_T = \frac{dv}{dt}$. Derivando: $\frac{dv}{dt} = \frac{(3t^2 - 3) \cdot 6t}{v}$, che a $t = 2$ vale $\frac{9 \cdot 12}{9{,}22} = 11{,}7\ \text{m/s}^2$ ✓, lo stesso valore del prodotto scalare.

4. Velocità media tra $0$ e $2$ s

La velocità mediaÈ lo spostamento (vettore dalla posizione iniziale a quella finale) diviso l'intervallo di tempo.Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione → è lo spostamento diviso il tempo:

$$\vec r(0) = (0;\ 0), \qquad \vec r(2) = (4;\ 8 - 6) = (4;\ 2)\ \text{m}$$

$$\vec v_m = \frac{\vec r(2) - \vec r(0)}{2 - 0} = (2;\ 1)\ \text{m/s}, \qquad |\vec v_m| = \sqrt5 = 2{,}24\ \text{m/s}$$

È parallela alla corda dall'origine a $(4; 2)$, non alla velocità in nessuno dei due estremi. La componente $x$ coincide con $v_x = 2$ m/s perché il moto orizzontale è uniforme.

Risultati

Traiettoria: $y = x^3/8 - 3x/2$. Velocità media tra $0$ e $2$ s: $(2;\ 1)$ m/s.

Errori comuni

• Prendere $a_T = |\vec a|$: a $t = 1$ s l'accelerazione vale $6\ \text{m/s}^2$ ma è tutta normale.
• Calcolare il raggio di curvatura come distanza dall'origine: dipende da $v^2/a_N$, cioè dalla forma della curva nel punto.
• Derivare il modulo della velocità per trovare $\vec a$: si ottiene solo $a_T$, non il vettore accelerazione.
• Confondere velocità media e media delle velocità: $\frac{\vec v(0) + \vec v(2)}{2} = (2;\ 3)$ m/s è diversa da $\vec v_m = (2;\ 1)$ m/s, perché l'accelerazione non è costante.