Esercizio 14gittata di un cannoncino sulla Luna

Testo (primo compitino del 18 aprile 2023, problema 3). Un astronauta sulla Luna compie un esperimento lanciando con un cannoncino un proiettile con velocità iniziale $v_0 = 8$ m/s, inclinata di $\vartheta = 30°$ rispetto alla direzione orizzontale. Il proiettile parte dal suolo lunare e si osserva una gittata $x_G = 34{,}2$ m. Determinare:

a) l'accelerazione di gravità sulla Luna: $g_L$.

Sapendo che la navicella spaziale "madre" (da cui il modulo di allunaggio che ha portato l'astronauta sul suolo lunare si è staccato) compie intorno alla Luna un'orbita circolare di raggio $R = 1920$ km con un periodo $T = 2$ h e $5$ min, e ricordando che la costante di gravitazione universale vale $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$, determinare:

b) la massa della Luna: $M_L$; c) l'altezza $h$ dell'orbita della navicella madre rispetto al suolo lunare.

Qui si svolge la parte a), che è di cinematica, e in più (domanda aggiuntiva di allenamento) si calcolano velocità e accelerazione centripeta della navicella madre, che sono il primo passo della parte b). Le parti b) e c) richiedono la legge di gravitazione: Legge di gravitazione universale.

a) Accelerazione di gravità sulla Luna

Perché si può usare la formula della gittata

Sulla Luna non c'è aria, quindi l'unica forza sul proiettile è il peso, diretto verso il centro della Luna. Su distanze di qualche decina di metri, molto più piccole del raggio lunare, il peso si può considerare costante in modulo e direzione: il moto è un Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico → con accelerazione $g_L$ al posto di $g$.

Il proiettile parte dal suolo e ricade sul suolo: lancio e arrivo alla stessa quota. È proprio la condizione in cui vale la formula della gittataxG = v0² sin2θ / g, valida solo se il punto di arrivo è alla stessa quota di quello di lancio.Moto parabolico →:

$$x_G = \frac{v_0^2\sin 2\vartheta}{g_L} = \frac{2 v_0^2\sin\vartheta\cos\vartheta}{g_L}$$

Ricavare $g_L$

Qui la gittata è un dato e l'incognita è l'accelerazione: si inverte la formula moltiplicando entrambi i membri per $g_L$ e dividendo per $x_G$:

$$g_L = \frac{v_0^2\sin 2\vartheta}{x_G} = \frac{8^2 \cdot \sin 60°}{34{,}2} = \frac{64 \cdot 0{,}866}{34{,}2} = \frac{55{,}43}{34{,}2} = 1{,}62\ \text{m/s}^2$$

Controllo delle dimensioni: $\frac{(\text{m/s})^2}{\text{m}} = \frac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}} = \text{m/s}^2$, un'accelerazione ✓.

È ragionevole? $\frac{g_L}{g} = \frac{1{,}62}{9{,}81} = 0{,}165 \approx \frac16$: è il valore noto, la gravità lunare è circa un sesto di quella terrestre. (La soluzione ufficiale riporta $1{,}61\ \text{m/s}^2$, con un arrotondamento diverso.)

Per capire meglio: lo stesso lancio sulla Terra

La gittata è inversamente proporzionale a $g$: sulla Terra lo stesso cannoncino arriverebbe a

$$x_G^{\text{Terra}} = \frac{64 \cdot 0{,}866}{9{,}81} = 5{,}65\ \text{m}$$

cioè $34{,}2 \cdot \frac{1{,}62}{9{,}81}$, sei volte meno. Sulla Luna il proiettile resta in volo $t_v = \frac{2v_0\sin\vartheta}{g_L} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 0{,}5}{1{,}62} = 4{,}94$ s e sale fino a $H = \frac{(v_0\sin\vartheta)^2}{2g_L} = \frac{16}{3{,}24} = 4{,}94$ m (la coincidenza numerica tra i due valori dipende da $v_0\sin\vartheta = 4$ m/s: non ha significato fisico, sono grandezze diverse).

Domanda aggiuntiva: la navicella madre in orbita

Dati in unità SI

• raggio dell'orbita: $R = 1920\ \text{km} = 1{,}92 \times 10^6$ m;
• periodo: $T = 2\ \text{h}\ 5\ \text{min} = 2 \cdot 3600 + 5 \cdot 60 = 7500$ s.

Il periodo va convertito in secondi prima di usarlo: con le ore si otterrebbe una velocità in m/h, e mescolata con altre grandezze SI darebbe risultati sbagliati.

Velocità

L'orbita è circolare e percorsa con periodo costante: è un moto circolare uniformeVelocità angolare costante: un giro ogni periodo T, quindi ω = 2π/T e v = ωR.Moto circolare →. In un periodo la navicella percorre l'intera circonferenza $2\pi R$, quindi

$$v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \cdot 1{,}92 \times 10^6}{7500} = 1608\ \text{m/s} \approx 5790\ \text{km/h}$$

e la velocità angolare è $\omega = \frac{2\pi}{T} = 8{,}38 \times 10^{-4}$ rad/s.

Accelerazione centripeta

Nel moto circolare uniforme l'accelerazione è solo centripetaIl modulo della velocità non cambia, quindi l'accelerazione tangenziale è nulla; resta la componente normale v²/R = ω²R, diretta verso il centro.Moto circolare →:

$$a_N = \frac{v^2}{R} = \frac{1608^2}{1{,}92 \times 10^6} = 1{,}35\ \text{m/s}^2$$

diretta verso il centro della Luna. Controllo con l'altra forma: $\omega^2 R = (8{,}38 \times 10^{-4})^2 \cdot 1{,}92 \times 10^6 = 1{,}35\ \text{m/s}^2$ ✓.

Collegamento con la parte b). Questa accelerazione è prodotta dall'attrazione gravitazionale della Luna, che a distanza $R$ dal centro vale $\gamma M_L / R^2$: uguagliando $\gamma M_L / R^2 = v^2 / R$ si ricava la massa della Luna, come fatto in Legge di gravitazione universale. Si nota già che $a_N = 1{,}35\ \text{m/s}^2$ è minore di $g_L = 1{,}62\ \text{m/s}^2$: la navicella è più lontana dal centro della Luna dell'astronauta, e l'attrazione diminuisce con la distanza.

Risultati

Errori comuni

• Usare $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ per un moto sulla Luna: la formula della gittata contiene l'accelerazione di gravità del posto in cui avviene il lancio.
• Scrivere $\sin\vartheta$ invece di $\sin 2\vartheta$ nella gittata.
• Lasciare il periodo in ore o minuti: $T = 2$ h $5$ min sono $7500$ s, non $2{,}5$ h (cinque minuti sono $0{,}083$ h, non $0{,}5$ h).
• Lasciare il raggio in km in $v = 2\pi R/T$.