Esercizio 10spostamenti di un escursionista

Testo (esercizio di allenamento sulla somma di vettori). Un escursionista parte dal rifugio e percorre, in linea retta, tre tratti successivi:

1. $3{,}0$ km verso nord-est;
2. $2{,}5$ km verso ovest;
3. $1{,}2$ km verso sud.

Il cammino dura in tutto $2$ ore. Determinare:

1. il vettore spostamento complessivo (componenti, modulo, direzione);
2. lo spostamento che deve fare per tornare al rifugio in linea retta;
3. la velocità media e la velocità scalare media sull'intero cammino.

Impostazione

Il riferimento

Gli spostamenti sono vettoriGrandezze con modulo, direzione e verso: per sapere dove si arriva non basta sapere quanto si è camminato.Vettori - componenti, somma e modulo →: per sommarli conviene scomporli lungo due assi. Si sceglie l'origine nel rifugio, l'asse $x$ verso est e l'asse $y$ verso nord (come su una carta geografica). Gli angoli si misurano dall'asse $x$ (est) in senso antiorario.

Le lunghezze si possono lasciare in km: tutti i dati sono nella stessa unità e qui non compaiono formule che mescolano grandezze diverse, quindi non serve convertire in metri.

Componenti dei tre spostamenti

• Nord-est è la direzione a metà tra est e nord: $\theta_1 = 45°$. Con $a_x = a\cos\theta$, $a_y = a\sin\theta$: $$\vec d_1 = (3{,}0\cos 45°;\ 3{,}0\sin 45°) = (2{,}121;\ 2{,}121)\ \text{km}$$
• Ovest è il verso negativo dell'asse $x$ ($\theta_2 = 180°$): tutta la lunghezza va sulla componente $x$, con segno meno: $$\vec d_2 = (-2{,}5;\ 0)\ \text{km}$$
• Sud è il verso negativo dell'asse $y$: $$\vec d_3 = (0;\ -1{,}2)\ \text{km}$$

Per $\vec d_2$ e $\vec d_3$ non serve la trigonometria: un vettore parallelo a un asse ha una sola componente non nulla, uguale al modulo con il segno del verso.

1. Spostamento complessivo

Camminare di $\vec d_1$, poi di $\vec d_2$, poi di $\vec d_3$ porta dove porterebbe l'unico spostamento $\vec d = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3$ (regola punta-coda). Con le componenti la somma si fa asse per asseRaccogliendo i termini con lo stesso versore, la componente x della somma è la somma delle componenti x, e lo stesso per y.Vettori - componenti, somma e modulo →:

$$d_x = 2{,}121 + (-2{,}5) + 0 = -0{,}379\ \text{km}$$ $$d_y = 2{,}121 + 0 + (-1{,}2) = 0{,}921\ \text{km}$$

Modulo, con Pitagora:

$$d = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = \sqrt{0{,}379^2 + 0{,}921^2} = \sqrt{0{,}1434 + 0{,}8488} = \sqrt{0{,}992} = 0{,}996\ \text{km} \approx 1{,}0\ \text{km}$$

Direzione. La calcolatrice dà

$$\arctan\frac{d_y}{d_x} = \arctan\frac{0{,}921}{-0{,}379} = -67{,}7°$$

ma questo angolo punterebbe verso sud-est, mentre il vettore ha $d_x < 0$ (verso ovest) e $d_y > 0$ (verso nord): sta nel secondo quadrante. L'arcotangente non distingue un vettore dal suo opposto, quindi si aggiungono 180°Quando la componente x è negativa, l'angolo giusto è quello della calcolatrice più 180 gradi.Vettori - componenti, somma e modulo →:

$$\theta = -67{,}7° + 180° = 112{,}3°$$

cioè $112{,}3° - 90° = 22{,}3°$ a ovest del nord. Controllo: $0{,}996\cos 112{,}3° = -0{,}378$ ✓, $0{,}996\sin 112{,}3° = 0{,}921$ ✓.

2. Ritorno al rifugio

Per tornare all'origine serve lo spostamento che, sommato a $\vec d$, dà il vettore nullo: il vettore opposto,

$$\vec d_{\text{ritorno}} = -\vec d = (0{,}379;\ -0{,}921)\ \text{km}$$

stesso modulo $0{,}996$ km, verso opposto: $22{,}3°$ a est del sud (angolo $112{,}3° - 180° = -67{,}7°$ dall'asse $x$; questa volta l'angolo della calcolatrice è già quello giusto, perché $d_x > 0$).

3. Velocità media e velocità scalare media

La velocità media è un vettore, lo spostamento diviso il tempo (vedi Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →):

$$\vec v_m = \frac{\vec d}{\Delta t}, \qquad |\vec v_m| = \frac{0{,}996\ \text{km}}{2\ \text{h}} = 0{,}50\ \text{km/h}$$

con la stessa direzione di $\vec d$ ($22{,}3°$ a ovest del nord).

La velocità scalare media usa invece la strada percorsa, che è la somma delle lunghezze dei tre tratti, $3{,}0 + 2{,}5 + 1{,}2 = 6{,}7$ km:

$$v_{\text{scalare}} = \frac{6{,}7\ \text{km}}{2\ \text{h}} = 3{,}35\ \text{km/h}$$

Le due sono molto diverse perché il cammino torna quasi indietro. La disuguaglianza triangolareIl modulo di una somma di vettori non supera mai la somma dei moduli; è uguale solo se i vettori sono tutti paralleli e concordi.Vettori - componenti, somma e modulo → garantisce che sia sempre $|\vec d| \le 6{,}7$ km, quindi $|\vec v_m| \le v_{\text{scalare}}$.

In m/s (dividendo per $3{,}6$): $|\vec v_m| = 0{,}14$ m/s, $v_{\text{scalare}} = 0{,}93$ m/s.

Risultati

Errori comuni

• Sommare i moduli ($3{,}0 + 2{,}5 + 1{,}2 = 6{,}7$ km) e chiamarlo spostamento: è la strada percorsa, non la distanza dal rifugio.
• Dimenticare il segno meno delle componenti verso ovest e verso sud.
• Fidarsi dell'arcotangente della calcolatrice con $d_x < 0$: si otterrebbe un vettore che punta a sud-est, nel verso opposto a quello vero.