Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato

I due moti rettilinei più semplici, che si ottengono applicando le definizioni di Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione → con velocità costante o con accelerazione costante. Il secondo descrive la caduta dei gravi (Moto verticale dei graviSenza aria ogni corpo vicino al suolo cade con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s² verso il basso: è un moto uniformemente accelerato. Tempo di salita v0/g, quota massima v0²/2g, velocità d'arrivo sqrt(2gh).Moto verticale dei gravi →) e ogni moto sotto una forza costante. Esercizi: Esercizio 1 · due sassi sulla stessa verticale, Esercizio 2 · frenata e inseguimento in autostrada.

Moto rettilineo uniforme

Definizione: la velocità è costante, $v(t) = v$ per ogni $t$. Quindi l'accelerazione è nulla, $a = \frac{dv}{dt} = 0$.

Legge oraria. Integrando la velocità a partire dalla posizione $x_0$ all'istante $t_0$:

$$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v\,dt' = x_0 + v\,(t - t_0)$$

Quasi sempre si sceglie $t_0 = 0$ (si fa partire il cronometro all'inizio del moto) e la legge diventa

$$\boxed{x(t) = x_0 + v\,t}$$

Diagramma orario: una retta di pendenza $v$ che taglia l'asse delle posizioni in $x_0$. Se $v > 0$ sale, se $v < 0$ scende.

Proprietà: spazi uguali in tempi uguali. In ogni intervallo $\Delta t$ lo spostamento è $\Delta x = v\,\Delta t$, e la velocità media coincide con la velocità istantanea: $\bar v = v$.

Esempio. Un'auto passa per il casello ($x_0 = 0$) a $v = 108\ \text{km/h} = 30\ \text{m/s}$ (diviso $3{,}6$, vedi Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioniUna grandezza fisica è definita da come la si misura; ogni misura è numero più unità. Sistema Internazionale, prefissi, conversioni e analisi dimensionale per controllare le formule.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni →). Dopo $t = 20$ s è a $x = 30 \cdot 20 = 600$ m; per arrivare a $x = 9$ km $= 9000$ m impiega $t = \frac{9000}{30} = 300\ \text{s} = 5$ min.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Definizione: l'accelerazione è costante, $a(t) = a$ per ogni $t$.

Velocità. Con velocità iniziale $v_0$ all'istante $t_0 = 0$:

$$v(t) = v_0 + \int_0^t a\,dt' \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v(t) = v_0 + a\,t}$$

La velocità cambia della stessa quantità $a$ ogni secondo: il suo grafico è una retta di pendenza $a$.

Legge oraria. Integrando la velocità, con posizione iniziale $x_0$:

$$x(t) = x_0 + \int_0^t (v_0 + a\,t')\,dt' = x_0 + \Big[v_0 t' + \tfrac12 a t'^2\Big]_0^t \quad \Longrightarrow \quad \boxed{x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac12 a\,t^2}$$

Il diagramma orario è una parabola con la concavità verso l'alto se $a > 0$, verso il basso se $a < 0$ (come nell'esempio guida della nota precedente, che è proprio un moto uniformemente accelerato con $x_0 = 1$ m, $v_0 = 4$ m/s, $a = -2\ \text{m/s}^2$).

Interpretazione del termine $\frac12 a t^2$: lo spostamento $v_0 t + \frac12 a t^2$ è l'area sotto il grafico di $v(t)$ tra $0$ e $t$. Quel grafico è una retta, quindi l'area è un trapezio: rettangolo di base $t$ e altezza $v_0$ (area $v_0 t$) più triangolo di base $t$ e altezza $a t$ (area $\frac12 \cdot t \cdot a t$).

La formula senza il tempo

Molti problemi chiedono la velocità in una certa posizione, senza nominare il tempo. Si elimina $t$ tra le due leggi: dalla prima $t = \frac{v - v_0}{a}$, e sostituendo nella seconda

$$x - x_0 = v_0\,\frac{v - v_0}{a} + \frac12 a\,\frac{(v - v_0)^2}{a^2} = \frac{2 v_0 (v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a} = \frac{(v - v_0)(v + v_0)}{2a} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$$

cioè

$$\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)}$$

È la stessa formula ricavata in generale nella nota precedente con $v\,dv = a\,dx$. Quando la si usa per trovare $v$ bisogna scegliere il segno della radice guardando il problema: $v = \pm\sqrt{v_0^2 + 2a(x - x_0)}$, con il segno $+$ se il corpo in quel momento si muove nel verso positivo.

Velocità media

Nel moto uniformemente accelerato la velocità media tra $0$ e $t$ è la media aritmetica delle velocità agli estremi:

$$\bar v = \frac{x(t) - x_0}{t} = v_0 + \frac12 a t = \frac{v_0 + (v_0 + a t)}{2} = \frac{v_0 + v(t)}{2}$$

Vale solo perché $v(t)$ è una funzione lineare del tempo: per un moto qualsiasi è falso.

Esempio completo: la frenata

Un'auto viaggia a $v_0 = 72\ \text{km/h}$ e frena con decelerazione costante di modulo $5\ \text{m/s}^2$. Quanto spazio percorre prima di fermarsi, e in quanto tempo?

1. Unità SI: $v_0 = 72 / 3{,}6 = 20\ \text{m/s}$.
2. Asse e segni: asse $x$ nel verso del moto, origine dove inizia la frenata. Allora $x_0 = 0$, $v_0 = +20\ \text{m/s}$, e l'accelerazione, opposta al moto, è $a = -5\ \text{m/s}^2$.
3. Tempo di arresto: $v(t) = 0 \iff 20 - 5t = 0 \iff t = 4\ \text{s}$.
4. Spazio di frenata: con la formula senza tempo, $0 = 20^2 + 2(-5)\,x \Rightarrow x = \frac{400}{10} = 40\ \text{m}$. Controllo con la legge oraria: $x(4) = 20 \cdot 4 - \frac12 \cdot 5 \cdot 16 = 80 - 40 = 40\ \text{m}$ ✓.

Osservazione importante: lo spazio di frenata $\frac{v_0^2}{2|a|}$ cresce con il quadrato della velocità. A $144$ km/h (il doppio) servono $4 \cdot 40 = 160$ m, non $80$.

Riassunto

Errori comuni

• Usare queste formule quando l'accelerazione non è costante (molle, attrito viscoso, moto armonico): lì si deve integrare caso per caso, vedi Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente → e Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →.
• Mettere il modulo dell'accelerazione invece del valore con segno: in una frenata con asse nel verso del moto $a$ è negativa.
• Usare la legge oraria oltre l'istante di arresto: nella frenata, per $t > 4$ s la formula darebbe un'auto che torna indietro, cosa che i freni non fanno. La legge vale solo finché l'accelerazione resta quella.
• Scegliere il segno sbagliato della radice in $v = \pm\sqrt{\dots}$.