Esercizio 3barca a motore spento

Testo (esercizio di allenamento sul moto smorzato esponenzialmente). Una barca procede a $v_0 = 8\ \text{m/s}$ quando il motore viene spento. Da quell'istante l'acqua la frena con un'accelerazione proporzionale alla velocità e di verso opposto, $a = -v/\tau$. Dopo $t_1 = 5\ \text{s}$ la velocità è scesa a $v_1 = 3\ \text{m/s}$. Determinare:

1. la costante di tempo $\tau$ e l'accelerazione nell'istante in cui si spegne il motore;
2. lo spazio percorso nei primi $5\ \text{s}$ e lo spazio totale percorso;
3. dopo quanto tempo la velocità scende a $0{,}5\ \text{m/s}$, e la velocità della barca dopo $20\ \text{m}$.

Impostazione

Asse $x$ nel verso del moto, origine dove si spegne il motore, $t = 0$ in quell'istante: $x_0 = 0$, $v_0 = +8\ \text{m/s}$.

L'accelerazione $a = -v/\tau$ non è costante (cambia con la velocità), quindi le formule del moto uniformemente accelerato non valgono. Si usano le leggi del moto smorzato esponenzialmenteCon a = −v/τ si trova v(t) = v0·e^(−t/τ) e x(t) = x0 + v0·τ·(1 − e^(−t/τ)), integrando le definizioni di accelerazione e velocità.Moto smorzato esponenzialmente →:

$$v(t) = v_0\,e^{-t/\tau} \qquad\qquad x(t) = v_0\,\tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad\qquad v = v_0 - \frac{x}{\tau}$$

L'incognita principale è $\tau$: una volta nota, tutto il moto è determinato.

1. Costante di tempo e accelerazione iniziale

Si impone che a $t_1 = 5\ \text{s}$ la velocità valga $v_1 = 3\ \text{m/s}$:

$$v_1 = v_0\,e^{-t_1/\tau} \iff \frac{v_1}{v_0} = e^{-t_1/\tau}$$

Per tirare giù $\tau$ dall'esponente si prende il logaritmo naturaleLa funzione inversa dell'esponenziale: ln(e^y) = y. Applicata a entrambi i membri porta l'esponente davanti. di entrambi i membri:

$$\ln\frac{v_1}{v_0} = -\frac{t_1}{\tau} \iff \tau = \frac{t_1}{\ln(v_0/v_1)}$$

(si è usato $-\ln\frac{v_1}{v_0} = \ln\frac{v_0}{v_1}$, così il logaritmo è positivo perché $v_0 > v_1$, e $\tau$ esce positivo come deve). Con i numeri:

$$\tau = \frac{5\ \text{s}}{\ln(8/3)} = \frac{5}{0{,}981} = 5{,}10\ \text{s}$$

Controllo dimensionale: il logaritmo è un numero puro, quindi $\tau$ ha le dimensioni di $t_1$, un tempo ✓.

Accelerazione iniziale: $a(0) = -\dfrac{v_0}{\tau} = -\dfrac{8}{5{,}10} = -1{,}57\ \text{m/s}^2$. È la decelerazione più forte di tutto il moto, perché la velocità, da cui dipende, è massima all'inizio.

2. Spazio percorso

Nei primi 5 secondi. Dalla legge oraria, con $e^{-t_1/\tau} = \frac{v_1}{v_0}$ (già noto dal punto 1, non serve ricalcolare l'esponenziale):

$$x(t_1) = v_0\,\tau\left(1 - \frac{v_1}{v_0}\right) = \tau\,(v_0 - v_1) = 5{,}10 \cdot (8 - 3) = 25{,}5\ \text{m}$$

È esattamente la relazione lineare $v = v_0 - x/\tau$ letta al contrario: la velocità è calata di $5\ \text{m/s}$, quindi lo spazio è $5\ \text{m/s} \cdot \tau$.

Spazio totale. La barca non si ferma mai del tutto, ma la sua posizione tende al valore limite (spazio totale v0·τPer t che tende a infinito l'esponenziale va a zero e x tende a x0 + v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente →):

$$x_\infty = v_0\,\tau = 8 \cdot 5{,}10 = 40{,}8\ \text{m}$$

3. Tempo per scendere a 0,5 m/s e velocità dopo 20 m

Tempo. Stesso procedimento del punto 1, con l'incognita al posto giusto:

$$0{,}5 = 8\,e^{-t_2/\tau} \iff t_2 = \tau\,\ln\frac{8}{0{,}5} = 5{,}10 \cdot \ln 16 = 5{,}10 \cdot 2{,}773 = 14{,}1\ \text{s}$$

Velocità dopo 20 m. Qui la domanda è in funzione della posizione: conviene la relazione lineare tra velocità e spazio, che evita di passare dal tempo:

$$v(20\ \text{m}) = v_0 - \frac{x}{\tau} = 8 - \frac{20}{5{,}10} = 8 - 3{,}92 = 4{,}08\ \text{m/s}$$

Osservazione. $20\ \text{m}$ sono circa metà dello spazio totale ($40{,}8\ \text{m}$), e infatti la velocità è circa metà di quella iniziale: è proprio il significato della relazione lineare $v = v_0\left(1 - \frac{x}{x_\infty}\right)$.

Risultati

Errori comuni

• Calcolare un'accelerazione media e usarla come costante: $\frac{3 - 8}{5} = -1\ \text{m/s}^2$ è l'accelerazione media nei primi $5\ \text{s}$, ma con essa la formula $x = v_0 t + \frac12 a t^2$ darebbe $27{,}5\ \text{m}$, sbagliato.
• Sbagliare il segno del logaritmo e trovare $\tau < 0$: una costante di tempo è sempre positiva.
• Dire che la barca si ferma dopo $40{,}8\ \text{m}$ "a un certo istante": ci arriva solo per $t \to \infty$.