Esercizio 5accelerazione che varia nel tempo

Testo (esercizio di allenamento sulle leggi orarie integrali del moto rettilineo). Un punto materiale parte da fermo dall'origine dell'asse $x$ all'istante $t = 0$ e si muove con accelerazione

$$a(t) = 4 - 2t \qquad (a \text{ in m/s}^2, \ t \text{ in s})$$

Determinare:

1. la velocità $v(t)$ e la legge oraria $x(t)$;
2. l'istante in cui la velocità è massima e il suo valore;
3. l'istante in cui il punto inverte il moto e la sua posizione in quell'istante;
4. l'istante in cui ripassa per l'origine, la sua velocità in quel momento e lo spazio totale percorso fino ad allora.

Impostazione

Le unità nascoste. "$a = 4 - 2t$" è scritto con i numeri soli; perché la formula sia dimensionalmente omogeneaSi possono sommare solo grandezze con la stessa dimensione: qui entrambi i termini devono essere accelerazioni.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni →, il $4$ è $4\ \text{m/s}^2$ e il $2$ è $2\ \text{m/s}^3$ (moltiplicato per un tempo dà un'accelerazione). Usando sempre secondi e metri, i risultati escono in m, m/s, m/s².

Perché non si possono usare le formule del moto uniformemente accelerato. L'accelerazione cambia nel tempo: $x = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2$ vale solo con $a$ costante. Si deve tornare alle definizioni e integrareLa velocità è v0 più l'integrale dell'accelerazione da 0 a t; la posizione è x0 più l'integrale della velocità.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →.

Condizioni iniziali: "parte da fermo dall'origine" significa $v_0 = 0$ e $x_0 = 0$.

1. Velocità e legge oraria

Velocità.

$$v(t) = v_0 + \int_0^t a(t')\,dt' = 0 + \int_0^t (4 - 2t')\,dt' = \Big[4t' - t'^2\Big]_0^t = 4t - t^2$$

Legge oraria.

$$x(t) = x_0 + \int_0^t v(t')\,dt' = \int_0^t (4t' - t'^2)\,dt' = \Big[2t'^2 - \tfrac13 t'^3\Big]_0^t = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$$

Controllo derivando all'indietro: $\frac{dx}{dt} = 4t - t^2 = v$ ✓ e $\frac{dv}{dt} = 4 - 2t = a$ ✓; inoltre $x(0) = 0$ e $v(0) = 0$ ✓.

2. Velocità massima

La velocità è massima dove la sua derivata, che è l'accelerazione, si annulla (e cambia segno da positiva a negativa):

$$a(t) = 4 - 2t = 0 \iff t = 2\ \text{s}$$

Prima di $2$ s l'accelerazione è positiva (la velocità cresce), dopo è negativa (la velocità cala): è proprio un massimo. Il valore:

$$v_{\max} = v(2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\ \text{m/s}$$

In quell'istante il punto si trova in $x(2) = 2 \cdot 4 - \frac83 = \frac{16}{3} = 5{,}33\ \text{m}$.

3. Inversione del moto

Il punto inverte il moto quando la velocità si annulla cambiando segnoNel punto di inversione la tangente al diagramma orario è orizzontale: v passa da positiva a negativa.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →:

$$v(t) = 4t - t^2 = t\,(4 - t) = 0 \iff t = 0 \ \text{ oppure } \ t = 4\ \text{s}$$

$t = 0$ è la partenza (lì $v = 0$ perché parte da fermo, ma non c'è inversione: subito dopo $v > 0$). Per $0 < t < 4$ s il prodotto $t(4 - t)$ è positivo, per $t > 4$ s è negativo: a $t = 4$ s il punto si ferma e torna indietro. La posizione di inversione è il punto più lontano raggiunto:

$$x(4) = 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} = 32 - 21{,}33 = \frac{32}{3} = 10{,}67\ \text{m}$$

Osservazione: a $t = 4$ s la velocità è nulla ma l'accelerazione no, $a(4) = 4 - 8 = -4\ \text{m/s}^2$: è proprio l'accelerazione negativa che lo fa tornare indietro.

4. Ritorno all'origine e spazio percorso

Istante. Si impone $x(t) = 0$:

$$2t^2 - \frac{t^3}{3} = 0 \iff t^2\left(2 - \frac{t}{3}\right) = 0 \iff t = 0 \ \text{ oppure } \ t = 6\ \text{s}$$

Il punto ripassa per l'origine a $t = 6$ s.

Velocità: $v(6) = 24 - 36 = -12\ \text{m/s}$. Negativa: si muove verso le $x$ negative, e molto più veloce che all'andata, perché l'accelerazione, ormai negativa e sempre più grande in modulo ($a(6) = -8\ \text{m/s}^2$), continua a spingerlo indietro.

Spazio percorso. Lo spostamento tra $0$ e $6$ s è nullo ($x(6) - x(0) = 0$), ma lo spazio percorso no: il punto è andato avanti fino a $10{,}67$ m e poi è tornato indietro. Bisogna spezzare l'intervallo nel punto di inversione, dove cambia il segno della velocità:

$$s = \underbrace{|x(4) - x(0)|}_{\text{andata}} + \underbrace{|x(6) - x(4)|}_{\text{ritorno}} = 10{,}67 + 10{,}67 = 21{,}3\ \text{m}$$

In termini di integrali, lo spazio percorso è $\int_0^6 |v(t)|\,dt$, mentre lo spostamento è $\int_0^6 v(t)\,dt$: l'area sotto il grafico della velocità conta negativa dove $v < 0$, e qui le due aree (sopra e sotto l'asse) sono uguali.

Risultati

Errori comuni

• Usare $x = \frac12 a t^2$ con $a$ "medio" o con $a(t)$ messo al posto della costante: con accelerazione variabile si integra.
• Confondere velocità massima e posizione massima: la velocità è massima dove $a = 0$, la posizione è massima dove $v = 0$.
• Calcolare lo spazio percorso come $|x(6) - x(0)|$: darebbe zero. Quando la velocità cambia segno l'intervallo va spezzato.