Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Due modi di "moltiplicare" due vettori, con risultati molto diversi: il primo dà un numero, il secondo un vettore. Prima: Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →. Seguito: Derivata e integrale di un vettoreUn vettore che dipende dal tempo si deriva e si integra componente per componente. La derivata di un versore è perpendicolare al versore e vale dφ/dt per il versore normale: per questo la derivata di un vettore ha una parte parallela (cambia il modulo) e una perpendicolare (cambia la direzione).Derivata e integrale di un vettore →. Si useranno per il lavoro di una forza (Lavoro e potenza), per il momento di una forza e il momento angolare (Momento angolare e momento di una forza) e per il moto circolare (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →). Esercizio: Esercizio 11 · angolo tra due vettori e area di un parallelogramma.

Prodotto scalare

Definizione

Il prodotto scalare di $\vec a$ e $\vec b$ è il numero

$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta = a\,b\cos\theta$$

dove $\theta$ è l'angolo tra le due frecce applicate nello stesso punto ($0 \le \theta \le 180°$). Si legge "a scalare b".

Significato: la proiezione

$b\cos\theta$ è la proiezione (con segno) di $\vec b$ sulla direzione di $\vec a$: la lunghezza dell'ombra di $\vec b$ sulla retta di $\vec a$. Quindi

$$\vec a \cdot \vec b = a \times (\text{proiezione di } \vec b \text{ su } \vec a)$$

e, se $\hat u$ è un versore, $\vec b \cdot \hat u = b\cos\theta$ è proprio la componente di $\vec b$ lungo $\hat u$. In particolare le componenti cartesiane sono prodotti scalari con i versori degli assi: $a_x = \vec a \cdot \hat\imath$, $a_y = \vec a \cdot \hat\jmath$, $a_z = \vec a \cdot \hat k$.

Il segno

Condizione di perpendicolarità: due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se $\vec a \cdot \vec b = 0$. È il criterio più comodo per verificare che due direzioni siano ortogonali.

Modulo: $\vec a \cdot \vec a = a^2$ (perché $\theta = 0$), quindi $|\vec a| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}$.

Proprietà

• commutativo: $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$;
• distributivo: $\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$;
• con un numero: $(\lambda\vec a) \cdot \vec b = \lambda\,(\vec a \cdot \vec b)$.

Con le componenti

I versori degli assi sono perpendicolari tra loro e di modulo $1$, quindi

$$\hat\imath \cdot \hat\imath = \hat\jmath \cdot \hat\jmath = \hat k \cdot \hat k = 1 \qquad \hat\imath \cdot \hat\jmath = \hat\jmath \cdot \hat k = \hat k \cdot \hat\imath = 0$$

Sviluppando $(a_x\hat\imath + a_y\hat\jmath + a_z\hat k) \cdot (b_x\hat\imath + b_y\hat\jmath + b_z\hat k)$ con la proprietà distributiva, dei nove prodotti sopravvivono solo i tre tra versori uguali:

$$\boxed{\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}$$

Uso tipico: trovare l'angolo tra due vettori. Si calcola il prodotto scalare con le componenti e lo si confronta con la definizione:

$$\cos\theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{|\vec a|\,|\vec b|}$$

Esempio. $\vec a = (2, 1, 0)$, $\vec b = (1, 3, 0)$. Allora $\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 = 5$, $|\vec a| = \sqrt 5$, $|\vec b| = \sqrt{10}$, e $\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt 2}$: $\theta = 45°$.

In fisica

Il lavoro di una forza costante $\vec F$ per uno spostamento $\Delta\vec r$ è $W = \vec F \cdot \Delta\vec r = F\,\Delta r\cos\theta$: conta solo la componente della forza lungo lo spostamento. Una forza perpendicolare allo spostamento (come la reazione di un piano liscio) non compie lavoro. Dettagli in Lavoro e potenza.

Prodotto vettoriale

Definizione

Il prodotto vettoriale di $\vec a$ e $\vec b$ è il vettore $\vec c = \vec a \times \vec b$ (si legge "a vettor b"; in alcuni testi $\vec a \wedge \vec b$) con:

1. modulo $|\vec a \times \vec b| = a\,b\sin\theta$ ($0 \le \theta \le 180°$, quindi il modulo è $\ge 0$);
2. direzione perpendicolare sia ad $\vec a$ sia a $\vec b$, cioè perpendicolare al piano che contiene le due frecce;
3. verso dato dalla regola della mano destra: si dispone il pollice lungo $\vec a$, l'indice lungo $\vec b$, e il medio (piegato a $90°$ rispetto al palmo) indica il verso di $\vec a \times \vec b$. In modo equivalente: chiudendo le dita della mano destra nel verso che porta $\vec a$ su $\vec b$ per l'angolo più piccolo, il pollice indica il verso del prodotto (regola della vite: una vite che ruota da $\vec a$ verso $\vec b$ avanza nel verso di $\vec a \times \vec b$).

Significato del modulo

$b\sin\theta$ è l'altezza del parallelogramma che ha per lati $\vec a$ e $\vec b$ (la distanza della punta di $\vec b$ dalla retta di $\vec a$). Quindi $|\vec a \times \vec b| = a \cdot b\sin\theta$ è l'area del parallelogramma costruito sui due vettori (e metà di essa è l'area del triangolo).

Condizione di parallelismo: due vettori non nulli sono paralleli se e solo se $\vec a \times \vec b = \vec 0$. In particolare $\vec a \times \vec a = \vec 0$.

Proprietà (attenzione: diverse dal prodotto tra numeri)

• anticommutativo: $\vec b \times \vec a = -\,\vec a \times \vec b$. Scambiando l'ordine il verso si inverte (la mano destra va "dall'altra parte"). L'ordine dei fattori quindi conta.
• distributivo: $\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$;
• con un numero: $(\lambda\vec a) \times \vec b = \lambda\,(\vec a \times \vec b)$;
• non associativo: in generale $\vec a \times (\vec b \times \vec c) \ne (\vec a \times \vec b) \times \vec c$.

Prodotti tra i versori

Con una terna destrorsa (quella che si usa sempre: $x$ verso destra, $y$ verso l'alto, $z$ uscente dal foglio):

$$\hat\imath \times \hat\jmath = \hat k \qquad \hat\jmath \times \hat k = \hat\imath \qquad \hat k \times \hat\imath = \hat\jmath$$

(si "gira in tondo" $i \to j \to k \to i$), mentre nell'ordine inverso compare il segno meno: $\hat\jmath \times \hat\imath = -\hat k$, ecc. E $\hat\imath \times \hat\imath = \hat\jmath \times \hat\jmath = \hat k \times \hat k = \vec 0$.

Con le componenti

Sviluppando con la proprietà distributiva e la tabella dei versori:

$$\vec a \times \vec b = (a_y b_z - a_z b_y)\,\hat\imath + (a_z b_x - a_x b_z)\,\hat\jmath + (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat k$$

Per ricordarla si usa il determinante simbolico, sviluppato lungo la prima riga:

$$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

Caso del piano (molto frequente). Se $\vec a$ e $\vec b$ stanno nel piano $xy$ ($a_z = b_z = 0$), sopravvive solo la componente $z$:

$$\vec a \times \vec b = (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat k$$

Il prodotto è perpendicolare al foglio: uscente se $a_x b_y - a_y b_x > 0$ (da $\vec a$ a $\vec b$ si gira in senso antiorario), entrante se è negativo (senso orario).

Esempio. Con gli stessi vettori di prima, $\vec a = (2, 1, 0)$, $\vec b = (1, 3, 0)$: $\vec a \times \vec b = (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1)\,\hat k = 5\,\hat k$. Controllo con la definizione: $ab\sin\theta = \sqrt{5}\sqrt{10}\sin 45° = \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 5$ ✓. Il segno è positivo perché $\vec b$ (a $71{,}6°$ dall'asse $x$) si raggiunge da $\vec a$ (a $26{,}6°$) girando in senso antiorario.

In fisica

• Momento di una forza rispetto a un polo $O$: $\vec M = \vec r \times \vec F$, dove $\vec r$ va da $O$ al punto di applicazione. Il modulo $rF\sin\theta = F \cdot d$ è la forza per il braccio $d = r\sin\theta$ (distanza di $O$ dalla retta della forza). Vedi Momento angolare e momento di una forza.
• Momento angolare di un punto: $\vec L = \vec r \times m\vec v$.
• Velocità nel moto circolare: $\vec v = \vec\omega \times \vec r$ (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →).

Riassunto

Errori comuni

• Confondere i due prodotti: il prodotto scalare è un numero, non ha senso scrivere $\vec a \cdot \vec b = (5, 0, 0)$.
• Scambiare l'ordine nel prodotto vettoriale: $\vec r \times \vec F$ e $\vec F \times \vec r$ sono opposti; il momento si scrive sempre con $\vec r$ per primo.
• Usare la mano sinistra o una terna sinistrorsa: il verso esce sbagliato.
• Sbagliare il segno della componente $\hat\jmath$ nello sviluppo del determinante: la formula corretta è $a_z b_x - a_x b_z$ (oppure $-(a_x b_z - a_z b_x)$).
• Pensare che $\sin\theta$ e $\cos\theta$ siano intercambiabili: il prodotto scalare misura quanto i vettori sono allineati, il vettoriale quanto sono perpendicolari.