Esercizio 2frenata e inseguimento in autostrada

Testo (esercizio di allenamento sul moto rettilineo, tipo "esercizi di cinematica del moto rettilineo" del corso). Un'auto A viaggia in autostrada a $v_A = 108\ \text{km/h}$. A un certo istante il guidatore vede, a una distanza $d = 30\ \text{m}$ davanti a sé, un camion B che procede nella stessa corsia a velocità costante $v_B = 72\ \text{km/h}$. Il guidatore reagisce dopo un tempo di reazione $t_r = 0{,}8\ \text{s}$, durante il quale l'auto prosegue a velocità costante, e poi frena con decelerazione costante di modulo $a = 2\ \text{m/s}^2$. Determinare:

1. se l'auto tampona il camion e, in caso affermativo, dopo quanto tempo dall'avvistamento e con quale velocità relativa;
2. la decelerazione minima che avrebbe evitato l'urto.

Impostazione

Dati in unità SI

Le velocità sono in km/h: si convertono in m/s dividendo per 3,61 km/h = 1000 m / 3600 s = 1/3,6 m/s.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni → prima di usare qualunque formula, perché le altre grandezze sono in metri e secondi:

$$v_A = \frac{108}{3{,}6} = 30\ \text{m/s} \qquad v_B = \frac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$$

Asse e origine

Asse $x$ nel verso di marcia, origine nella posizione dell'auto quando il guidatore vede il camion, $t = 0$ in quell'istante. Allora il camion parte da $x_{B,0} = d = 30\ \text{m}$.

Il moto dell'auto ha due fasi con accelerazioni diverse, e le formule del moto uniformemente accelerato valgono solo dentro una fase in cui l'accelerazione è costante: bisogna trattarle una alla volta.

1. C'è il tamponamento?

Fase 1: il tempo di reazione ($0 \le t \le t_r$)

Entrambi i veicoli vanno a velocità costanteMoto uniforme: x = x0 + v t, spazi uguali in tempi uguali.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →. In $0{,}8\ \text{s}$:

• l'auto percorre $v_A t_r = 30 \cdot 0{,}8 = 24\ \text{m}$;
• il camion percorre $v_B t_r = 20 \cdot 0{,}8 = 16\ \text{m}$.

La distanza tra i due si riduce di $24 - 16 = 8\ \text{m}$ e all'inizio della frenata vale

$$d_1 = d - (v_A - v_B)\,t_r = 30 - 10 \cdot 0{,}8 = 22\ \text{m}$$

Fase 2: la frenata

Si fa ripartire il cronometro: $t' = t - t_r$ è il tempo trascorso dall'inizio della frenata. Si sposta anche l'origine nella posizione dell'auto in quell'istante, così il camion è a $d_1 = 22\ \text{m}$. L'auto si muove di moto uniformemente acceleratox = x0 + v0 t + a t²/2 con accelerazione costante.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato → con accelerazione $-a$ (negativa: si oppone al moto, che è nel verso positivo):

$$x_A(t') = v_A\,t' - \tfrac12 a\,t'^2 = 30\,t' - t'^2 \qquad\qquad x_B(t') = d_1 + v_B\,t' = 22 + 20\,t'$$

Tamponamento significa che a un certo istante le due posizioni coincidono, $x_A = x_B$:

$$30\,t' - t'^2 = 22 + 20\,t' \iff t'^2 - 10\,t' + 22 = 0$$

È un'equazione di secondo grado. Il discriminante è $\Delta = 10^2 - 4 \cdot 22 = 100 - 88 = 12 > 0$: ci sono soluzioni reali, quindi l'auto raggiunge il camion. Le soluzioni sono

$$t' = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2} = 5 \pm \sqrt3 \quad \Longrightarrow \quad t'_1 = 3{,}27\ \text{s}, \quad t'_2 = 6{,}73\ \text{s}$$

Perché si sceglie la prima. Le leggi orarie non sanno nulla dell'urto: la seconda soluzione è l'istante in cui l'auto, ormai più lenta, verrebbe a sua volta superata dal camion, se potesse passargli attraverso. Fisicamente l'urto avviene la prima volta che le posizioni coincidono: $t'_1 = 3{,}27\ \text{s}$.

Bisogna anche controllare che a quell'istante l'auto stia ancora frenando (non si sia già fermata, altrimenti la legge oraria non varrebbe più): l'auto si fermerebbe a $t' = v_A / a = 15\ \text{s}$, molto dopo. ✓

Tempo dall'avvistamento: $t = t_r + t'_1 = 0{,}8 + 3{,}27 = 4{,}07\ \text{s}$.

Velocità relativa all'urto

Velocità dell'auto all'istante dell'urto: $v_A(t'_1) = v_A - a\,t'_1 = 30 - 2 \cdot 3{,}27 = 23{,}46\ \text{m/s}$. Il camion va sempre a $20\ \text{m/s}$, quindi l'auto lo urta con velocità relativa

$$v_{rel} = 23{,}46 - 20 = 3{,}46\ \text{m/s} \approx 12{,}5\ \text{km/h}$$

Controllo sostituendo nelle leggi orarie (con l'origine della fase 2): $x_A(3{,}27) = 30 \cdot 3{,}268 - 3{,}268^2 = 87{,}36\ \text{m}$ e $x_B(3{,}27) = 22 + 20 \cdot 3{,}268 = 87{,}36\ \text{m}$ ✓ (dall'avvistamento sono $87{,}36 + 24 = 111{,}4\ \text{m}$).

2. Decelerazione minima

Un modo più furbo di vedere il problema: il moto relativo

Conta solo la distanza tra i due, $s = x_B - x_A$. Nella fase 2:

$$s(t') = d_1 - (v_A - v_B)\,t' + \tfrac12 a\,t'^2$$

cioè la distanza si comporta come la posizione di un punto con "velocità iniziale" $-(v_A - v_B) = -10\ \text{m/s}$ e "accelerazione" $+a$. È come se il camion fosse fermo e l'auto gli arrivasse addosso a $10\ \text{m/s}$, frenando con decelerazione $a$ (è un esempio di moto relativo).

Condizione per evitare l'urto

La distanza minima si raggiunge quando le velocità diventano uguali (velocità relativa nulla): fino a quel momento l'auto si avvicina, dopo si allontana. L'urto si evita se la velocità relativa si annulla prima che la distanza diventi zero.

Con la formula senza il tempov² = v0² + 2a·(spostamento), valida con accelerazione costante.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato → applicata al moto relativo: per portare la velocità relativa da $v_A - v_B$ a $0$ con decelerazione $a$ serve uno spazio relativo

$$s_{\text{necessario}} = \frac{(v_A - v_B)^2}{2a}$$

e l'urto si evita se questo spazio non supera la distanza disponibile $d_1$:

$$\frac{(v_A - v_B)^2}{2a} \le d_1 \iff a \ge \frac{(v_A - v_B)^2}{2\,d_1} = \frac{10^2}{2 \cdot 22} = \frac{100}{44} = 2{,}27\ \text{m/s}^2$$

Decelerazione minima: $a_{\min} = 2{,}27\ \text{m/s}^2$.

Controllo con la parte 1. Con $a = 2\ \text{m/s}^2 < a_{\min}$ servivano $\frac{100}{4} = 25\ \text{m}$ di spazio relativo, ma ce n'erano solo $22$: urto, coerente con il risultato del punto 1. Si può anche ritrovare $a_{\min}$ dall'equazione del punto 1: con $a$ generico l'equazione è $\frac{a}{2}t'^2 - 10\,t' + 22 = 0$, e l'urto è evitato se non ha soluzioni reali, cioè se $\Delta = 100 - 4 \cdot \frac{a}{2} \cdot 22 < 0 \iff a > \frac{100}{44}$. Stesso risultato ✓.

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare il tempo di reazione o trattarlo come parte della frenata: in quella fase l'accelerazione è nulla, e otto metri persi fanno la differenza tra urto e non urto.
• Pensare che basti che l'auto si fermi prima del punto in cui era il camion: il camion si muove. Conta la distanza relativa, e il momento critico è quando le velocità si eguagliano, non quando l'auto si ferma.
• Prendere la seconda radice dell'equazione $x_A = x_B$, che non ha significato fisico.
• Lasciare le velocità in km/h con l'accelerazione in m/s².