Esercizio 16disco che accelera e poi gira a velocità costante

Testo (esercizio di allenamento sul moto circolare). Un disco di raggio $R = 20$ cm, inizialmente fermo, viene messo in rotazione attorno al suo asse con accelerazione angolare costante $\alpha = 4\ \text{rad/s}^2$ per $t_1 = 5$ s; da quel momento continua a ruotare con velocità angolare costante. Considerando un punto $P$ sul bordo del disco, determinare:

1. la velocità angolare finale e il numero di giri compiuti durante la fase di accelerazione;
2. all'istante $t = 2$ s: velocità di $P$, accelerazione tangenziale, accelerazione centripeta, modulo dell'accelerazione e angolo che questa forma con la velocità;
3. l'istante in cui accelerazione tangenziale e centripeta di $P$ sono uguali;
4. nella fase a velocità costante: periodo, frequenza, giri al minuto, velocità e accelerazione di $P$.

Impostazione

Unità SI: $R = 20\ \text{cm} = 0{,}20$ m. Gli angoli si misurano in radianti, le velocità angolari in rad/s.

Il punto $P$ si muove su una circonferenza di raggio $R$: tutte le grandezze del suo moto si ricavano dalla legge $\theta(t)$ con le relazioni del moto circolareArco s = Rθ, velocità v = ωR, accelerazione tangenziale αR e centripeta ω²R.Moto circolare →:

$$v = \omega R \qquad a_T = \alpha R \qquad a_N = \omega^2 R$$

Fase 1 ($0 \le t \le 5$ s): moto circolare uniformemente accelerato. Con $\theta_0 = 0$, $\omega_0 = 0$ (parte da fermo) valgono le stesse formule del moto rettilineo uniformemente acceleratoCon α costante: ω = ω0 + αt e θ = θ0 + ω0 t + αt²/2, come v e x con a costante.Moto circolare →, con gli angoli al posto delle posizioni:

$$\omega(t) = \alpha\,t \qquad \theta(t) = \tfrac12\alpha\,t^2$$

Fase 2 ($t > 5$ s): moto circolare uniforme, con la $\omega$ raggiunta alla fine della fase 1.

1. Velocità angolare finale e giri

$$\omega_1 = \alpha\,t_1 = 4 \cdot 5 = 20\ \text{rad/s}$$

Angolo descritto:

$$\theta_1 = \tfrac12\alpha\,t_1^2 = \tfrac12 \cdot 4 \cdot 25 = 50\ \text{rad}$$

Ogni giro è $2\pi$ rad, quindi il numero di giri è

$$N = \frac{\theta_1}{2\pi} = \frac{50}{6{,}283} = 7{,}96\ \text{giri}$$

Controllo con la formula senza il tempo: $\omega_1^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\,\theta_1 = 0 + 2 \cdot 4 \cdot 50 = 400$, $\omega_1 = 20$ rad/s ✓.

2. Il punto $P$ all'istante $t = 2$ s

In quell'istante il disco è ancora in fase di accelerazione:

$$\omega(2) = 4 \cdot 2 = 8\ \text{rad/s}$$

Velocità (tangente al bordo):

$$v = \omega R = 8 \cdot 0{,}20 = 1{,}6\ \text{m/s}$$

Accelerazione tangenziale. Il modulo della velocità aumenta perché $\omega$ cresce: la componente tangenzialeÈ la derivata del modulo della velocità, dv/dt; per il moto circolare vale R dω/dt = αR.Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione → è

$$a_T = \frac{dv}{dt} = \alpha R = 4 \cdot 0{,}20 = 0{,}8\ \text{m/s}^2$$

costante per tutta la fase 1, diretta come la velocità (il punto accelera).

Accelerazione centripeta. La direzione della velocità cambia continuamente:

$$a_N = \omega^2 R = 8^2 \cdot 0{,}20 = 12{,}8\ \text{m/s}^2$$

diretta verso il centro del disco. Questa invece cresce nel tempo, come $\omega^2$, cioè come $t^2$.

Modulo dell'accelerazione. Le due componenti sono perpendicolari (una lungo la tangente, l'altra lungo il raggio), quindi si combinano con Pitagora:

$$|\vec a| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = \sqrt{0{,}64 + 163{,}84} = 12{,}8\ \text{m/s}^2$$

(praticamente tutta centripeta: $a_T$ conta per meno dello $0{,}2\%$ del modulo).

Angolo con la velocità. La velocità è lungo la tangente; l'accelerazione ha componente $a_T$ lungo la tangente e $a_N$ perpendicolare. L'angolo $\beta$ tra $\vec a$ e $\vec v$ soddisfa

$$\tan\beta = \frac{a_N}{a_T} = \frac{12{,}8}{0{,}8} = 16 \quad \Longrightarrow \quad \beta = 86{,}4°$$

L'accelerazione punta quasi verso il centro, inclinata di appena $3{,}6°$ in avanti rispetto al raggio.

3. Quando $a_T = a_N$

Durante la fase 1, $a_T = \alpha R$ è costante e $a_N = \omega^2 R = \alpha^2 t^2 R$ cresce. Si uguagliano:

$$\alpha R = \alpha^2 t^2 R \quad \Longrightarrow \quad t^2 = \frac{1}{\alpha} \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} = \frac{1}{\sqrt 4} = 0{,}5\ \text{s}$$

(il raggio si semplifica: l'istante è lo stesso per tutti i punti del disco). In quell'istante $\omega = 2$ rad/s e entrambe valgono $0{,}8\ \text{m/s}^2$; l'accelerazione forma $45°$ con la velocità. Prima di $0{,}5$ s domina la tangenziale, dopo la centripeta.

Controllo delle dimensioni: $\alpha$ ha dimensione $[T]^{-2}$, quindi $1/\sqrt\alpha$ è un tempo ✓.

4. Fase a velocità costante

Dopo $t_1$ la velocità angolare resta $\omega_1 = 20$ rad/s: moto circolare uniformeω costante: periodo T = 2π/ω, frequenza f = 1/T, accelerazione solo centripeta.Moto circolare →.

$$T = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{6{,}283}{20} = 0{,}314\ \text{s} \qquad f = \frac1T = \frac{\omega_1}{2\pi} = 3{,}18\ \text{Hz}$$

In giri al minuto: $3{,}18 \cdot 60 = 191$ giri/min.

$$v = \omega_1 R = 20 \cdot 0{,}20 = 4{,}0\ \text{m/s}$$

L'accelerazione tangenziale è ora nulla ($\alpha = 0$, il modulo della velocità non cambia); resta la centripeta:

$$a_N = \omega_1^2 R = 400 \cdot 0{,}20 = 80\ \text{m/s}^2 \approx 8{,}2\,g$$

diretta verso il centro.

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare l'accelerazione centripeta mentre il disco accelera: l'accelerazione totale non è $\alpha R$.
• Confondere radianti e giri: $50$ rad sono circa $8$ giri, non $50$.
• Pensare che a velocità angolare costante l'accelerazione sia zero: è $80\ \text{m/s}^2$ verso il centro.
• Usare $R$ in centimetri: con $R = 20$ si otterrebbero velocità in cm/s e accelerazioni in cm/s², incoerenti con il resto.