Esercizio 6domande dei test di laboratorio

Testo. Domande a risposta multipla dei test di valutazione delle competenze di laboratorio di Fisica Generale 1 (Unipd, 2023 e 2026). Per ognuna si indica la risposta e, soprattutto, il ragionamento: il test premia chi ha capito cosa si è misurato e perché.

Teoria: Elaborazione dei dati sperimentaliOgni misura ha un'incertezza: errori sistematici e casuali, media e deviazione standard, errore della media, distribuzione normale, media pesata, propagazione degli errori e fit lineare con i minimi quadrati. Serve per le esperienze e il test di laboratorio.Elaborazione dei dati sperimentali →.

Domanda 1 — probabilità entro $\pm 3\sigma$

La probabilità che una misura cada entro un intervallo pari a $\pm 3$ sigma è pari a: 100% / 95,4% / 68,3% / 99,7%.

Risposta: $99{,}7\%$.

Per una grandezza affetta da errori casuali le misure seguono la distribuzione normaleLa curva a campana: la probabilità di cadere entro ±1, ±2, ±3 deviazioni standard dalla media è 68,3%, 95,4%, 99,7%.Elaborazione dei dati sperimentali →. I tre valori da sapere a memoria sono $68{,}3\%$ ($\pm\sigma$), $95{,}4\%$ ($\pm 2\sigma$), $99{,}7\%$ ($\pm 3\sigma$). Il $100\%$ non si raggiunge mai: la gaussiana non si annulla per nessun valore, quindi uno scarto enorme è improbabilissimo ma non impossibile.

Domanda 2 — natura dell'errore casuale

Un errore di misura casuale fornisce, rispetto al valore più probabile, un risultato numericamente: sempre in eccesso / pari al valor medio più o meno lo scarto quadratico medio / sempre in difetto / che segue la distribuzione normale.

Risposta: che segue la distribuzione normale.

• "Sempre in eccesso" o "sempre in difetto" descrivono un errore sistematico, che sposta tutte le misure nello stesso verso.
• "Pari al valor medio più o meno lo scarto quadratico medio" è falso: una singola misura può cadere ovunque, anche fuori da $\bar x \pm \sigma$ (succede circa una volta su tre).
• Gli errori casuali sono dovuti a molte piccole cause indipendenti, in su e in giù con uguale probabilità: il loro effetto complessivo si distribuisce come una gaussiana.

Domanda 3 — propagazione su un prodotto

Nella misura indiretta della grandezza fisica $F = xy$, misuro $x$ con uno scarto percentuale del $10\%$ e $y$ con uno scarto percentuale del $2\%$. Lo scarto percentuale propagato su $F$ è pari a: circa 6% / circa 10% / circa 2% / circa 12%.

Risposta: circa $10\%$.

In un prodotto si combinano gli errori relativi (percentuali), e per errori casuali indipendenti si sommano in quadraturaLa radice della somma dei quadrati: tiene conto che errori indipendenti a volte si compensano.Elaborazione dei dati sperimentali →:

$$\frac{\sigma_F}{F} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2} = \sqrt{10^2 + 2^2}\ \% = \sqrt{104}\ \% = 10{,}2\% \approx 10\%$$

Il $12\%$ sarebbe l'errore massimo (somma semplice $10 + 2$), il caso peggiore in cui i due errori sono entrambi al massimo e concordi. Il $6\%$ è la media dei due, che non ha significato.

Morale: l'errore più grande domina. Il $2\%$ di $y$ aggiunge solo lo $0{,}2\%$.

Domanda 4 — misure con errori diversi

Date $N$ misure di una grandezza fisica, affette da errori differenti, la migliore stima del valore vero della grandezza da misurare si ottiene calcolando: la mediana / la media aritmetica delle misure / la media pesata delle misure / non è possibile calcolare il valore richiesto.

Risposta: la media pesata delle misure.

La media aritmetica tratta tutte le misure allo stesso modo, ma una misura con errore piccolo è più affidabile di una con errore grande e deve contare di più. La media pesataOgni misura pesa 1/σ²: una misura con errore metà pesa quattro volte tanto.Elaborazione dei dati sperimentali → usa i pesi $w_i = 1/\sigma_i^2$.

Domanda 5 — perché un fit lineare per misurare $g$

Nella determinazione dell'accelerazione di gravità $g$ tramite misure fatte su pendoli, alla fine si sono inseriti i dati misurati su un foglio di calcolo ed è stata realizzata un'interpolazione (fit) lineare dei dati. Per quale motivo? a. Il fit lineare ha permesso di mediare le misure di $g$ effettuate dai vari gruppi di lavoro; b. il fit lineare consente di visualizzare "globalmente" i risultati di tutti i gruppi; c. il fit lineare ha permesso di interpolare i dati misurati di ogni gruppo di lavoro per ottenere una stima migliore della misura dell'accelerazione di gravità; d. con il fit lineare si è realizzata una media pesata delle misure di $g$ dei vari gruppi.

Risposta: c.

Il periodo del pendolo semplice è $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, quindi

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{g}\,\ell$$

Ogni gruppo misura il periodo per diverse lunghezze $\ell$ del filo: i punti $(\ell, T^2)$ devono stare su una retta per l'origine di pendenza $4\pi^2/g$. Il fit usa tutte le coppie misurate insieme e da quella pendenza si ricava $g$, con una stima migliore di quella ottenuta da una sola lunghezza.

Le altre risposte confondono il fit con una media: mediare i risultati di gruppi diversi si fa con una media (pesata), non con un'interpolazione lineare.

Domanda 6 — massa del filo nel volano

Nell'esperimento con il volano si trascura la massa del filo attaccato al pesetto? a. No: se ne tiene conto nella massa del pesetto; b. la massa del filo non ha mai alcuna influenza; c. sì, e questo comporta un errore sistematico piccolo rispetto all'errore casuale; d. sì, e quindi si deve aumentare l'errore di misura.

Risposta: c.

Nell'esperienza un pesetto appeso a un filo avvolto sull'asse del volano scende e fa girare il volano; dal moto del pesetto si ricava il momento d'inerzia (Rotazione attorno a un asse fisso). Trascurare la massa del filo è un'approssimazione del modello: sposta il risultato sempre nello stesso verso, quindi è un errore sistematico. Si può trascurare perché la massa del filo è molto piccola rispetto a quella del pesetto, e l'effetto è più piccolo dell'errore casuale della misura. La b è falsa (un'influenza c'è, solo piccola) e la d non ha senso: un effetto sistematico non si "copre" gonfiando l'incertezza.

Domanda 7 — urto anelastico misurato lontano dall'urto

Nell'esperienza dell'urto completamente anelastico si cerca di stimare la massa $m_B$ di una slitta B ferma su una guidovia orizzontale colpendola con una slitta A di massa $m_A$ nota. Le velocità di A prima dell'urto e di A+B dopo l'urto vengono determinate interpolando dei dati raccolti in regioni molto distanti dalla zona dell'urto. Effettuando una misura molto precisa delle velocità in dette regioni: si otterrà un valore di $m_B$ minore di quello vero / ragionevolmente prossimo a quello vero / maggiore di quello vero / si introdurranno errori casuali eccessivamente grandi.

Risposta: un valore di $m_B$ maggiore di quello vero.

La formula usata. Nell'urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto (Urto elastico e urto completamente anelastico): $m_A v_A = (m_A + m_B)\,V$, dove $v_A$ è la velocità di A subito prima e $V$ quella comune subito dopo. Quindi

$$m_B = m_A\left(\frac{v_A}{V} - 1\right)$$

L'effetto dell'attrito residuo. Sulla guidovia c'è sempre un po' di attrito, che rallenta le slitte. Allora:

• la velocità di A misurata molto prima dell'urto è maggiore di quella che A ha davvero al momento dell'urto (nel frattempo ha rallentato);
• la velocità di A+B misurata molto dopo l'urto è minore di quella subito dopo l'urto (nel frattempo hanno rallentato).

Entrambi gli effetti aumentano il rapporto $v_A / V$, quindi la formula dà un $m_B$ più grande del vero. È un errore sistematico: misurare con più precisione non lo elimina (la domanda dice "misura molto precisa" apposta). Si evita misurando le velocità il più vicino possibile all'urto.

Domanda 8 — dove la forza sul pesetto del volano è minore

Nell'esperienza della misura del momento d'inerzia del volano la posizione $s(t)$ del pesetto in funzione del tempo è riportata nel grafico. In quale dei punti indicati si trova che la risultante delle forze applicate al pesetto ha modulo minore? in C / in A / in A e C / in B.

Il grafico (descritto a parole): $s(t)$ è la quota del pesetto. Parte in alto, scende fino a $s = 0$ con un andamento ad arco, lì rimbalza bruscamente (punta in basso a "V") e risale fino a un massimo B un po' più basso della quota iniziale, poi riscende fino a $0$, e così via. Il punto A è sul tratto in salita subito dopo il primo rimbalzo; B è il punto più alto dell'arco; C è sul tratto in discesa subito prima del secondo rimbalzo.

Risposta: in C.

Cosa succede fisicamente. Il filo è avvolto sull'asse del volano. Scendendo, il pesetto srotola il filo e fa girare il volano. Quando il filo è tutto srotolato (punto più basso, $s = 0$), il volano continua a girare nello stesso verso e riavvolge il filo, tirando su il pesetto, finché si ferma e il moto riparte all'indietro.

Le forze. Sul pesetto agiscono il peso $mg$ (in giù) e la tensione $T$ del filo (in su); la risultante è $m|a|$. Sul volano agiscono la tensione (che lo fa girare) e un momento d'attrito sul perno $M_f$, che si oppone sempre alla rotazione. Con $r$ il raggio dell'asse e $I$ il momento d'inerzia:

• in discesa l'attrito si oppone alla discesa: $|a_{\text{giù}}| = \dfrac{mg - M_f/r}{m + I/r^2}$;
• in salita il pesetto rallenta salendo, e l'attrito, che si oppone alla rotazione, ora aiuta a frenarlo: $|a_{\text{su}}| = \dfrac{mg + M_f/r}{m + I/r^2}$.

Quindi in discesa l'accelerazione, e con essa la forza risultante $m|a|$, è minore che in salita. È quello che si vede sul grafico: B è più basso della quota di partenza (l'attrito ha dissipato energia) e gli archi non sono simmetrici. C è in discesa, A in salita (e B è il passaggio tra le due fasi): la risultante è minima in C. La tensione del filo è diversa nelle due fasi, ed è proprio questo che cambia tra salita e discesa.

Riepilogo

Errori comuni

• Rispondere "ragionevolmente prossimo" quando la domanda insiste sulla precisione: una misura precisa non corregge un errore sistematico.
• Sommare semplicemente le percentuali nella propagazione per errori casuali indipendenti.
• Pensare che la forza sul pesetto sia la stessa in salita e in discesa: lo sarebbe solo senza attrito sul perno.