Moto nel piano: posizione, velocità e accelerazione

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Inizio del capitolo "Cinematica nel piano": si estendono le definizioni di Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione usando i vettori (Vettori - componenti, somma e modulo, Derivata e integrale di un vettore). Seguito: Moto parabolico, Moto circolare. Esercizio: Esercizio 17 · legge oraria nel piano, accelerazione tangenziale e normale.

Vettore posizione, legge oraria e traiettoria

Si fissa un riferimento con origine $O$ e assi $x$ , $y$ . La posizione del punto all'istante $t$ è il vettore posizione

$\vec r(t) = x(t)\,\hat\imath + y(t)\,\hat\jmath$

La legge oraria del moto nel piano è quindi la coppia di funzioni $x(t)$ , $y(t)$ : un moto nel piano equivale a due moti rettilinei simultanei, quello della proiezione del punto sull'asse $x$ e quello della proiezione sull'asse $y$ .

La traiettoria è la curva descritta dal punto nel piano $xy$ . Si ottiene eliminando il tempo tra $x(t)$ e $y(t)$ : si ricava $t$ da una delle due equazioni e lo si sostituisce nell'altra, ottenendo $y$ in funzione di $x$ . La traiettoria dice dove passa il punto, la legge oraria anche quando.

Esempio guida (metri e secondi):

$x(t) = 3t \qquad y(t) = 4t - 5t^2$

Dalla prima $t = \frac{x}{3}$ ; sostituendo nella seconda:

$y = 4\cdot\frac{x}{3} - 5\cdot\frac{x^2}{9} = \frac43\,x - \frac59\,x^2$

La traiettoria è un arco di parabola con la concavità verso il basso.

Grafico interattivo: Traiettoria dell'esempio guida, y = (4/3)x − (5/9)x² (ascissa: x in m, ordinata: y in m). Non è un diagramma orario: qui in ascissa c'è una posizione, non il tempo

Spostamento e velocità

Velocità media

Tra $t$ e $t + \Delta t$ il punto si sposta di $\Delta\vec r = \vec r(t + \Delta t) - \vec r(t)$ , la freccia (corda) che unisce le due posizioni. La velocità media è il vettore

$\vec v_m = \frac{\Delta\vec r}{\Delta t}$

parallelo alla corda.

Velocità istantanea

Facendo tendere $\Delta t$ a zero, la corda diventa tangente alla traiettoria. La velocità istantanea è la derivata del vettore posizione:

$\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat\imath + \frac{dy}{dt}\,\hat\jmath = v_x\,\hat\imath + v_y\,\hat\jmath$

Proprietà fondamentali:

la velocità è sempre tangente alla traiettoria, orientata nel verso del moto;
le componenti $v_x$ , $v_y$ sono le velocità dei due moti rettilinei proiettati sugli assi;
il modulo è $v = |\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ .

Nell'esempio guida: $v_x = 3\ \text{m/s}$ (costante), $v_y = 4 - 10t$ . A $t = 0$ : $\vec v = (3, 4)$ m/s, $v = 5$ m/s.

Ascissa curvilinea

Sulla traiettoria si fissa un punto di partenza e un verso di percorrenza: la ascissa curvilinea $s(t)$ è la lunghezza dell'arco di traiettoria percorso fino all'istante $t$ (con segno, come la $x$ del moto rettilineo). È la "posizione misurata lungo la strada", come i cartelli chilometrici di un'autostrada.

Per spostamenti piccolissimi l'arco $ds$ coincide con la corda $|d\vec r|$ , quindi il modulo della velocità è la derivata dell'ascissa curvilinea:

$v = \frac{ds}{dt}$

Chiamando $\hat u_T$ il versore tangente alla traiettoria (orientato nel verso del moto) si può scrivere

$\vec v = v\,\hat u_T = \frac{ds}{dt}\,\hat u_T$

cioè: il modulo dice quanto in fretta si percorre la strada, il versore dice in che direzione si sta andando in quell'istante.

Accelerazione

L'accelerazione è la derivata della velocità:

$\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2\vec r}{dt^2} = a_x\,\hat\imath + a_y\,\hat\jmath, \qquad a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$

Nell'esempio guida: $a_x = 0$ , $a_y = -10\ \text{m/s}^2$ : l'accelerazione è costante, diretta verso il basso.

Attenzione: a differenza della velocità, l'accelerazione in generale non è tangente alla traiettoria. Nell'esempio guida a $t = 0$ la velocità punta a $53°$ sopra l'orizzontale, l'accelerazione punta in giù: formano un angolo di $143°$ .

Accelerazione tangenziale e normale

Le componenti cartesiane $a_x$ , $a_y$ sono comode per i calcoli ma non dicono cosa sta succedendo al moto. Più istruttivo è scomporre $\vec a$ lungo la tangente e la normale alla traiettoria. Si deriva $\vec v = v\,\hat u_T$ con la regola del prodotto, come in Derivata e integrale di un vettore:

$\vec a = \frac{dv}{dt}\,\hat u_T + v\,\frac{d\hat u_T}{dt}$

Primo termine. $a_T = \frac{dv}{dt}$ è l'accelerazione tangenziale: c'è solo se cambia il modulo della velocità. Positiva se il punto va sempre più veloce, negativa se rallenta.

Secondo termine. Il versore tangente ruota mentre il punto percorre la curva. Se $\varphi$ è l'angolo che $\hat u_T$ forma con l'asse $x$ , la derivata del versore vale $\frac{d\hat u_T}{dt} = \frac{d\varphi}{dt}\,\hat u_N$ , con $\hat u_N$ il versore normale, perpendicolare alla traiettoria e rivolto verso l'interno della curva (dalla parte in cui la traiettoria si incurva).

Quanto vale $\frac{d\varphi}{dt}$ ? Un piccolo tratto di curva si può approssimare con un arco della circonferenza che meglio si adatta alla curva in quel punto (cerchio osculatore): il suo raggio $R$ è il raggio di curvatura e il suo centro è il centro di curvatura. Su un arco di circonferenza di raggio $R$ , percorrere una lunghezza $ds$ fa ruotare la tangente di un angolo $d\varphi = \frac{ds}{R}$ (definizione di radiante: arco diviso raggio). Quindi

$\frac{d\varphi}{dt} = \frac{1}{R}\,\frac{ds}{dt} = \frac{v}{R}$

e il secondo termine diventa $v \cdot \frac{v}{R}\,\hat u_N = \frac{v^2}{R}\,\hat u_N$ . In conclusione:

$\boxed{\vec a = \frac{dv}{dt}\,\hat u_T + \frac{v^2}{R}\,\hat u_N} \qquad a_T = \frac{dv}{dt}, \qquad a_N = \frac{v^2}{R}, \qquad |\vec a| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2}$

L'accelerazione normale (o centripeta) $a_N = \frac{v^2}{R}$ c'è solo se la direzione della velocità cambia, cioè se la traiettoria è curva; è sempre $\ge 0$ e punta verso il centro di curvatura. Più la curva è stretta ( $R$ piccolo) o più si va veloci, più è grande.

situazione	$a_T$	$a_N$
moto rettilineo uniforme	$0$	$0$
moto rettilineo accelerato	$\ne 0$	$0$ (retta: $R = \infty$ )
curva a velocità costante in modulo	$0$	$\frac{v^2}{R} \ne 0$
curva con frenata o accelerazione	$\ne 0$	$\ne 0$

Come si calcolano in pratica

Note le componenti cartesiane di $\vec v$ e $\vec a$ , si usano i prodotti scalare e vettoriale (Prodotto scalare e prodotto vettoriale):

$a_T$ è la proiezione di $\vec a$ sulla direzione di $\vec v$ : $\displaystyle a_T = \frac{\vec a \cdot \vec v}{v} = \frac{a_x v_x + a_y v_y}{v}$ ;
$a_N$ è la componente perpendicolare: $\displaystyle a_N = \frac{|\vec v \times \vec a|}{v} = \frac{|v_x a_y - v_y a_x|}{v}$ , oppure $a_N = \sqrt{|\vec a|^2 - a_T^2}$ ;
il raggio di curvatura è infine $R = \dfrac{v^2}{a_N}$ .

Nell'esempio guida a $t = 0$ : $\vec v = (3, 4)$ m/s, $v = 5$ m/s, $\vec a = (0, -10)$ m/s².

$a_T = \frac{0 \cdot 3 + (-10)\cdot 4}{5} = -8\ \text{m/s}^2$ : negativa, il punto sta rallentando (sale, e la gravità lo frena);
$a_N = \frac{|3 \cdot (-10) - 4 \cdot 0|}{5} = 6\ \text{m/s}^2$ ; controllo: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10 = |\vec a|$ ✓;
$R = \frac{25}{6} = 4{,}17$ m.

Nel punto più alto ( $v_y = 0$ , cioè $t = 0{,}4$ s): $\vec v = (3, 0)$ e $\vec a = (0, -10)$ sono perpendicolari, quindi $a_T = 0$ (in quell'istante il modulo della velocità è minimo, la sua derivata è nulla) e $a_N = 10\ \text{m/s}^2$ , $R = \frac{9}{10} = 0{,}9$ m: in cima la parabola è più stretta.

Il percorso inverso

Come nel moto rettilineo, se si conosce l'accelerazione (dalla dinamica) si integra due volte, componente per componente, con le condizioni iniziali vettoriali $\vec r_0$ e $\vec v_0$ :

$\vec v(t) = \vec v_0 + \int_0^t \vec a\,dt' \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t \vec v\,dt'$

Con accelerazione costante:

$\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a\,t \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0\,t + \tfrac12\,\vec a\,t^2$

cioè, su ciascun asse, le leggi del Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.

Principio di indipendenza dei moti. Lungo $x$ conta solo $a_x$ , lungo $y$ solo $a_y$ : i due moti proiettati non si influenzano. Un proiettile lanciato orizzontalmente e un sasso lasciato cadere dalla stessa altezza nello stesso istante arrivano a terra insieme, perché lungo $y$ fanno esattamente lo stesso moto. È l'idea su cui si basa il Moto parabolico.

Riassunto

grandezza	cartesiana	intrinseca (lungo la traiettoria)
posizione	$\vec r = x\,\hat\imath + y\,\hat\jmath$	ascissa curvilinea $s(t)$
velocità	$\vec v = \dot x\,\hat\imath + \dot y\,\hat\jmath$	$\vec v = \dot s\,\hat u_T$ , sempre tangente
accelerazione	$\vec a = \ddot x\,\hat\imath + \ddot y\,\hat\jmath$	$\vec a = \dot v\,\hat u_T + \frac{v^2}{R}\,\hat u_N$
calcolo		$a_T = \frac{\vec a \cdot \vec v}{v}$ , $a_N = \frac{\lvert\vec v \times \vec a\rvert}{v}$ , $R = \frac{v^2}{a_N}$

Errori comuni

Pensare che l'accelerazione sia tangente alla traiettoria: lo è solo nei moti rettilinei. È la velocità ad essere sempre tangente.
Dire che un corpo che va a velocità costante in curva non accelera: ha accelerazione centripeta $v^2/R$ .
Confondere traiettoria e diagramma orario: $y(x)$ si ottiene eliminando $t$ , e nel suo grafico non c'è il tempo.
Calcolare $a_T$ come $|\vec a|$ : l'accelerazione tangenziale è solo la proiezione di $\vec a$ sulla velocità, e può essere negativa.
Usare per $R$ la distanza dall'origine: il raggio di curvatura dipende dalla forma della traiettoria nel punto, non dal riferimento.