Esercizio 15lancio obliquo da un'altezza

Testo (esercizio di allenamento sul moto parabolico con lancio e arrivo a quote diverse). Una palla viene lanciata da un'altezza $h = 2{,}0$ m dal suolo con velocità $v_0 = 15$ m/s inclinata di $\theta = 40°$ sopra l'orizzontale. Trascurando la resistenza dell'aria ($g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$), determinare:

1. la quota massima raggiunta;
2. il tempo di volo e la distanza orizzontale del punto in cui la palla tocca terra;
3. modulo e direzione della velocità all'impatto;
4. se la palla supera un muro alto $3{,}0$ m posto a $20$ m (in orizzontale) dal punto di lancio.

Impostazione

Riferimento

Origine al suolo, sulla verticale del punto di lancio; asse $x$ orizzontale nel verso del lancio, asse $y$ verticale verso l'alto; $t = 0$ al lancio. La palla parte quindi da $(0, h)$. Con l'origine al suolo, la condizione "tocca terra" diventa semplicemente $y = 0$, e l'altezza del muro si confronta direttamente con $y$.

Componenti della velocità iniziale

L'angolo è misurato dall'orizzontale, quindi il coseno va con la componente orizzontale (cateto adiacente) e il seno con quella verticale (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →):

$$v_{0x} = v_0\cos\theta = 15\cos 40° = 11{,}49\ \text{m/s} \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta = 15\sin 40° = 9{,}64\ \text{m/s}$$

Leggi orarie

Unica forza il peso: moto parabolicoIn orizzontale moto uniforme, in verticale moto uniformemente accelerato con accelerazione −g.Moto parabolico →, uniforme in $x$, uniformemente accelerato in $y$:

$$x(t) = v_{0x}\,t \qquad y(t) = h + v_{0y}\,t - \tfrac12 g\,t^2$$ $$v_x = v_{0x} \qquad\quad v_y(t) = v_{0y} - g\,t$$

1. Quota massima

Nel punto più alto la velocità è orizzontale: $v_y = 0$.

$$t_H = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{9{,}64}{9{,}81} = 0{,}983\ \text{s}$$

La palla sale, sopra il punto di lancio, di $\frac{v_{0y}^2}{2g}$ (formula senza il tempo sull'asse $y$, con velocità finale nulla); la quota dal suolo è

$$y_{\max} = h + \frac{v_{0y}^2}{2g} = 2{,}0 + \frac{9{,}64^2}{2 \cdot 9{,}81} = 2{,}0 + 4{,}74 = 6{,}74\ \text{m}$$

2. Tempo di volo e punto d'impatto

Perché non si usa la formula della gittata

La formula $x_G = v_0^2\sin 2\theta / g$ vale solo se lancio e arrivo sono alla stessa quotaÈ stata ricavata imponendo y = 0 con partenza da y = 0; qui si parte da 2 m e si arriva a 0.Moto parabolico →. Qui la palla parte $2$ m sopra il suolo, quindi resta in aria più a lungo e va più lontano: si torna alla legge oraria.

L'equazione per il tempo

La palla tocca terra quando $y = 0$:

$$h + v_{0y}\,t - \tfrac12 g\,t^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \tfrac12 g\,t^2 - v_{0y}\,t - h = 0$$

È un'equazione di secondo grado in $t$, con $a = \frac{g}{2}$, $b = -v_{0y}$, $c = -h$. La formula risolutiva dà

$$t = \frac{v_{0y} \pm \sqrt{v_{0y}^2 + 2gh}}{g} = \frac{9{,}64 \pm \sqrt{92{,}96 + 39{,}24}}{9{,}81} = \frac{9{,}64 \pm 11{,}50}{9{,}81}$$

Le due soluzioni sono $t = 2{,}155$ s e $t = -0{,}189$ s. Si tiene quella positiva: la soluzione negativa corrisponde all'istante (prima del lancio) in cui la parabola, prolungata all'indietro, attraverserebbe il suolo; la palla però in quel momento non era ancora in volo.

$$t_{\text{imp}} = 2{,}15\ \text{s}$$

Controllo: la salita dura $0{,}98$ s; la discesa, da $6{,}74$ m a terra partendo con $v_y = 0$, dura $\sqrt{2 \cdot 6{,}74/9{,}81} = 1{,}17$ s. Somma: $2{,}15$ s ✓. La discesa è più lunga della salita perché la palla scende più di quanto è salita.

Distanza orizzontale

$$x_{\text{imp}} = v_{0x}\,t_{\text{imp}} = 11{,}49 \cdot 2{,}155 = 24{,}8\ \text{m}$$

Per confronto, lanciando dal suolo la gittata sarebbe $\frac{15^2\sin 80°}{9{,}81} = 22{,}6$ m: i $2$ m di altezza fanno guadagnare circa $2$ m.

3. Velocità all'impatto

Le componenti all'istante $t_{\text{imp}}$:

$$v_x = 11{,}49\ \text{m/s} \qquad v_y = v_{0y} - g\,t_{\text{imp}} = 9{,}64 - 9{,}81 \cdot 2{,}155 = -11{,}50\ \text{m/s}$$

Modulo e angolo (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →):

$$v = \sqrt{11{,}49^2 + 11{,}50^2} = 16{,}3\ \text{m/s} \qquad \tan\alpha = \frac{-11{,}50}{11{,}49} \Rightarrow \alpha = -45{,}0°$$

cioè $45°$ sotto l'orizzontale (qui l'arcotangente della calcolatrice dà già l'angolo giusto perché $v_x > 0$).

Controllo senza il tempo. Sull'asse $y$ la palla scende complessivamente di $h$: $v_y^2 = v_{0y}^2 + 2gh$, cioè $|v_y| = \sqrt{132{,}2} = 11{,}50$ m/s, proprio la radice che compariva nella formula del tempo. Il modulo totale è $\sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{225 + 39{,}2} = 16{,}3$ m/s ✓: non dipende dall'angolo di lancio, solo dal dislivello (lo spiegherà la Conservazione dell'energia meccanica).

4. Il muro

Il muro è a $x = 20$ m. La palla ci arriva quando $x(t) = 20$:

$$t_{\text{muro}} = \frac{20}{v_{0x}} = \frac{20}{11{,}49} = 1{,}741\ \text{s}$$

(prima dell'impatto a $2{,}15$ s, quindi la palla è ancora in volo). In quell'istante la quota è

$$y(t_{\text{muro}}) = 2{,}0 + 9{,}64 \cdot 1{,}741 - \tfrac12 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}741^2 = 2{,}0 + 16{,}78 - 14{,}86 = 3{,}92\ \text{m}$$

$3{,}92$ m $> 3{,}0$ m: la palla supera il muro, con $92$ cm di margine (sta già scendendo: il punto più alto era a $x = 11{,}49 \cdot 0{,}983 = 11{,}3$ m).

In alternativa si usa l'equazione della traiettoria, con l'origine spostata di $h$ in verticale:

$$y(x) = h + x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2 = 2{,}0 + 0{,}839\,x - 0{,}03715\,x^2$$

e in $x = 20$: $2{,}0 + 16{,}78 - 14{,}86 = 3{,}92$ m, lo stesso valore.

Risultati

Errori comuni

• Usare la gittata $v_0^2\sin 2\theta/g$ con lancio da un'altezza: dà $22{,}6$ m invece di $24{,}8$ m.
• Dimenticare $h$ nella legge oraria verticale, o metterlo con il segno sbagliato.
• Tenere la radice negativa nell'equazione di secondo grado.
• Controllare il muro solo con la quota massima: conta la quota della palla quando passa sopra il muro, non quella più alta della traiettoria.