Esercizio 63asta con momento d'attrito urtata da un corpo puntiforme

Testo (tema d'esame del 14 giugno 2023, secondo compitino, problema 2). Un'asta omogenea di lunghezza $\ell = 0{,}8$ m e massa $m_a = 0{,}6$ kg è vincolata a ruotare in un piano verticale appesa al suo estremo $O$. L'asta è inizialmente ferma in posizione orizzontale, e sull'asse di rotazione in $O$ agisce un momento d'attrito costante $M_{attr} = 0{,}4$ N·m. Nell'istante in cui l'asta passa per la posizione verticale, viene urtata in modo completamente anelastico nel suo estremo opposto a $O$ da un corpo puntiforme di massa $m = 0{,}1$ kg con velocità $v = 3$ m/s opposta alla direzione di rotazione dell'asta. La direzione di $\vec v$ forma l'angolo $\vartheta = 30°$ con la direzione verticale (la massa $m$ colpisce l'asta sul suo lato destro). Determinare:

a) la velocità angolare dell'asta immediatamente prima dell'urto; b) la velocità angolare del sistema dopo l'urto e l'energia dissipata nell'urto; c) l'impulso trasferito dal vincolo in $O$ al sistema lungo l'asse $x$ (con segno, rispetto alla direzione dell'asse $x$ mostrata in figura); d) il periodo per piccole oscillazioni del pendolo composto che si viene a formare dopo l'urto, nell'ipotesi di trascurare il momento d'attrito sull'asse di rotazione.

Figura. L'asta parte orizzontale, a sinistra di $O$, e cade ruotando in senso antiorario fino alla verticale sotto $O$; in quell'istante il suo estremo inferiore si muove verso destra. L'asse $x$ è orizzontale verso destra. Il corpo puntiforme arriva da sotto, da destra, e si muove verso l'alto e verso sinistra, con la velocità inclinata di $30°$ rispetto alla verticale.

Impostazione

Momento d'inerzia dell'asta rispetto a $O$ (estremo): $I = \frac13 m_a\ell^2 = \frac13\cdot0{,}6\cdot0{,}64 = 0{,}128\ \text{kg}\,\text{m}^2$ (dalla tabella dei momenti d'inerziaAsta di massa M e lunghezza l rispetto a un asse perpendicolare per un estremo: I = M l²/3.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →).

Verso positivo delle rotazioni: antiorario, quello in cui cade l'asta. Le fasi del problema sono tre: la caduta (con attrito), l'urto (istantaneo), le oscillazioni dopo l'urto.

a) Velocità angolare prima dell'urto

Durante la caduta l'energia meccanica non si conserva, perché il momento d'attrito sul perno compie lavoro negativo. Si usa il teorema dell'energia cineticaIl lavoro di tutte le forze esterne è uguale alla variazione di energia cinetica; per un corpo rigido le forze interne non lavorano.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →: $W_{tot} = \Delta K$.

• Lavoro del peso: il CM dell'asta (punto medio) passa dalla quota di $O$ a $\ell/2$ sotto $O$, quindi $W_{peso} = m_a g\,\frac{\ell}{2} = 0{,}6\cdot9{,}81\cdot0{,}4 = 2{,}354$ J.
• Lavoro dell'attrito: momento costante, sempre opposto alla rotazione, per una rotazione di un quarto di giro: $W_{attr} = -M_{attr}\,\frac{\pi}{2} = -0{,}4\cdot1{,}571 = -0{,}628$ J.
• Reazione del perno: applicata in $O$, fermo, non lavora.

L'asta parte da ferma, quindi

$$\frac12 I\omega^2 = m_a g\frac{\ell}{2} - M_{attr}\frac{\pi}{2} = 1{,}726\ \text{J} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}726}{0{,}128}} = 5{,}19\ \text{rad/s}$$

Senza attrito sarebbe stato $\omega = \sqrt{3g/\ell} = 6{,}06$ rad/s.

b) Velocità angolare dopo l'urto ed energia dissipata

Che cosa si conserva nell'urto

Durante l'urto sul sistema asta + corpo agisce, oltre alle forze impulsive interne, la reazione impulsiva del perno in $O$: la quantità di moto non si conserva. Però la reazione del perno passa per $O$, quindi il momento angolare rispetto a $O$ si conservaIn un urto con un corpo imperniato la reazione del perno ha momento nullo rispetto al perno; peso e attrito non sono impulsivi, quindi L_O resta uguale.Urti con corpi rigidi →. Il peso e il momento d'attrito sono finiti e agiscono per un tempo brevissimo: il loro impulso angolare è trascurabile.

Momento angolare prima dell'urto

• Asta: $L_a = I\omega = 0{,}128\cdot5{,}193 = 0{,}665\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$, positivo (antiorario).
• Corpo puntiforme: si trova nell'estremo inferiore dell'asta, a distanza $\ell$ sotto $O$. Si scompone la sua velocità: la componente verticale $v\cos\vartheta$ è diretta lungo l'asta, cioè passa per $O$, e non dà momento angolare; la componente orizzontale $v\sin\vartheta = 1{,}5$ m/s è diretta verso sinistra, con braccio $\ell$. Un punto sotto $O$ che si muove verso sinistra "gira" attorno a $O$ in senso orario, quindi il suo momento angolarePer un punto L = r × m v; lungo l'asse vale ± m v b, con b distanza del polo dalla retta della velocità.Momento angolare e momento di una forza → è negativo (è "opposto alla rotazione dell'asta", come dice il testo): $$L_m = -m\,v\sin\vartheta\,\ell = -0{,}1\cdot1{,}5\cdot0{,}8 = -0{,}120\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$$

Dopo l'urto

Il corpo resta attaccato all'estremo dell'asta: il sistema è un corpo rigido con momento d'inerzia rispetto a $O$

$$I' = I + m\ell^2 = 0{,}128 + 0{,}1\cdot0{,}64 = 0{,}192\ \text{kg}\,\text{m}^2$$

Conservazione del momento angolare:

$$I\omega - m v\sin\vartheta\,\ell = I'\omega' \quad\Longrightarrow\quad \omega' = \frac{0{,}665 - 0{,}120}{0{,}192} = \frac{0{,}545}{0{,}192} = 2{,}84\ \text{rad/s}$$

positivo: dopo l'urto il sistema continua a ruotare in senso antiorario, ma più piano.

Energia dissipata

$$E_{diss} = \underbrace{\frac12 I\omega^2}_{1{,}726\ \text{J}} + \underbrace{\frac12 m v^2}_{0{,}450\ \text{J}} - \underbrace{\frac12 I'\omega'^2}_{0{,}773\ \text{J}} = 1{,}40\ \text{J}$$

Nell'energia cinetica del corpo prima dell'urto entra tutta la velocità, anche la componente verticale che non contribuiva al momento angolare: quella componente viene annullata dall'urto (dopo, il corpo si muove in orizzontale insieme all'estremo dell'asta), e la sua energia si dissipa interamente.

c) Impulso del vincolo lungo $x$

Per il teorema dell'impulsoLa variazione della quantità di moto di un sistema è uguale all'impulso delle forze esterne; durante l'urto l'unica forza esterna impulsiva è la reazione del perno.Quantità di moto e impulso → applicato al sistema, l'impulso del perno è la variazione della quantità di moto totale: $J_x = P_{x,dopo} - P_{x,prima}$.

Prima dell'urto (asse $x$ verso destra):

• asta: il CM è a $\ell/2$ sotto $O$ e si muove verso destra con $\omega\frac{\ell}{2}$, quindi $p_x = m_a\omega\frac{\ell}{2} = 0{,}6\cdot5{,}193\cdot0{,}4 = 1{,}246$ kg·m/s;
• corpo: $p_x = -m v\sin\vartheta = -0{,}150$ kg·m/s.

Dopo l'urto: tutto ruota con $\omega'$; il CM dell'asta va a $\omega'\frac{\ell}{2}$, il corpo a $\omega'\ell$, entrambi verso destra: $$P_{x,dopo} = \Big(m_a\frac{\ell}{2} + m\ell\Big)\omega' = 0{,}32\cdot2{,}837 = 0{,}908\ \text{kg}\,\text{m/s}$$

$$J_x = 0{,}908 - (1{,}246 - 0{,}150) = 0{,}908 - 1{,}096 = -0{,}188\ \text{N}\cdot\text{s}$$

Il perno spinge il sistema verso sinistra. (Lungo $y$, il perno assorbe la quantità di moto verticale del corpo: $J_y = 0 - m v\cos\vartheta = -0{,}26$ N·s, cioè verso il basso; il testo non lo chiede.)

Nota sulla soluzione ufficiale: riporta $J_x = -0{,}184$ N·s. Con i suoi stessi valori arrotondati ($\omega = 5{,}18$, $\omega' = 2{,}83$ rad/s) la formula dà $-0{,}188$ N·s: la differenza è un errore di calcolo nella terza cifra.

d) Periodo delle piccole oscillazioni

Dopo l'urto il sistema è un pendolo compostoCorpo rigido che oscilla attorno a un asse orizzontale fisso; per piccole oscillazioni T = 2π √(I/(M g h)), con h distanza del CM dall'asse.Pendolo composto → con momento d'inerzia $I' = 0{,}192\ \text{kg}\,\text{m}^2$ rispetto a $O$. Serve il prodotto massa totale per distanza del CM da $O$, che per la definizione di centro di massa è

$$(m_a + m)\,h = m_a\frac{\ell}{2} + m\ell = 0{,}6\cdot0{,}4 + 0{,}1\cdot0{,}8 = 0{,}32\ \text{kg}\,\text{m}$$

(cioè $h = 0{,}32/0{,}7 = 0{,}457$ m). La lunghezza ridotta e il periodo:

$$\ell_r = \frac{I'}{(m_a + m)h} = \frac{0{,}192}{0{,}32} = 0{,}6\ \text{m}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell_r}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}6}{9{,}81}} = 1{,}55\ \text{s}$$

(Con $\omega' = 2{,}84$ rad/s alla verticale l'ampiezza reale non è piccola: dalla conservazione dell'energia, $\frac12 I'\omega'^2 = (m_a + m)gh(1 - \cos\theta_0)$ dà $\cos\theta_0 = 1 - \frac{0{,}773}{0{,}32\cdot9{,}81} = 0{,}754$, cioè $\theta_0 \approx 41°$. Il periodo $1{,}55$ s vale per oscillazioni piccole, come specifica il testo.)

Risultati

Errori comuni

• Conservare l'energia meccanica nella caduta: c'è il momento d'attrito, che compie lavoro $-M_{attr}\Delta\theta$.
• Conservare la quantità di moto nell'urto: l'asta è imperniata e il perno dà un impulso.
• Usare tutta la velocità $v$ nel momento angolare del corpo: la componente lungo l'asta passa per $O$ e ha braccio nullo.
• Dimenticare il segno: il corpo arriva "contro" la rotazione, quindi il suo momento angolare si sottrae.