Esercizio 38molla compressa e guida semicircolare

Testo (compitino del 18 aprile 2024, problema 1, compito A). Un blocchetto di massa $m = 0{,}2\ \text{kg}$ e dimensioni trascurabili è collegato ad una molla di costante elastica $k = 15\ \text{N/m}$, fissata nell'altro suo estremo nel centro $C$ di una guida semicircolare di raggio $R = 0{,}8\ \text{m}$. La guida è priva di attrito ed è disposta in un piano verticale; inizialmente il blocchetto è fermo in equilibrio nella posizione $A$ sulla verticale del punto $C$ (vedi figura). La molla è in compressione, essendo la sua lunghezza di riposo $\ell = 1{,}1\ \text{m}$. Determinare:

a) la reazione vincolare $\Phi_A$ esercitata in $A$ dalla guida.

Il blocchetto viene messo in moto con velocità iniziale trascurabile lungo la guida. Si determinino:

b) la velocità del blocchetto nel punto $B$ della guida posto alla stessa altezza del centro $C$ ed il modulo della sua accelerazione in $B$; la reazione vincolare della guida in $B$.

Giunto alla base $O$ della guida, il blocchetto, sempre agganciato alla molla, prosegue il suo percorso lungo il piano orizzontale, privo di attrito. Determinare:

c) la velocità del blocchetto nel punto $P$ a distanza $d = 2\Delta$ dal punto $O$, essendo $\Delta = \ell - R$ la compressione iniziale della molla (suggerimento: si noti che in $P$ la lunghezza della molla è ancora minore di $\ell$);

d) la reazione vincolare del piano in $P$ e l'accelerazione del blocchetto in quella posizione.

Figura. La guida è la metà sinistra di una circonferenza di centro $C$: parte dal punto più alto $A$ (sopra $C$), passa per $B$ (a sinistra di $C$, alla sua stessa quota) e arriva al punto più basso $O$, appoggiato sul piano orizzontale. Il blocchetto scorre sulla faccia interna della guida. Il punto $P$ è sul piano orizzontale, a destra di $O$, a distanza $d$.

Grandezze

L'osservazione che regge tutto l'esercizio. Finché il blocchetto è sulla guida, la sua distanza da $C$ è sempre $R = 0{,}8\ \text{m}$, più corta della lunghezza a riposo $1{,}1\ \text{m}$. Quindi la molla è sempre compressa della stessa quantità $\Delta = 0{,}3\ \text{m}$: spinge il blocchetto lungo il raggio, via da $C$, con forza costante in modulo $k\Delta = 15 \cdot 0{,}3 = 4{,}5\ \text{N}$, e la sua energia potenzialePer una molla vale ½k(ℓ − ℓ0)²: dipende solo dalla lunghezza attuale, non dalla direzione.Forze conservative ed energia potenziale → $\frac12 k\Delta^2$ non cambia. Sulla guida la molla non compie lavoro.

a) Reazione della guida in $A$

In $A$ (sopra $C$) le forze sono tutte verticali:

• peso $mg = 0{,}2 \cdot 9{,}81 = 1{,}962\ \text{N}$, verso il basso;
• molla: spinge via da $C$, cioè verso l'alto, con $4{,}5\ \text{N}$;
• reazione della guida $\Phi_A$, verticale.

Prendendo positivo verso l'alto, l'equilibrio è

$$\Phi_A + k\Delta - mg = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Phi_A = mg - k\Delta = 1{,}962 - 4{,}5 = -2{,}54\ \text{N}$$

Il segno meno dice che la reazione è verso il basso, cioè verso $C$: la molla spinge il blocchetto in su più di quanto il peso lo tiri in giù, e la guida (che sta sopra il blocchetto, all'esterno) lo trattiene premendo verso il centro con $2{,}54\ \text{N}$.

b) Velocità, accelerazione e reazione in $B$

Velocità

Sulla guida lavorano solo il peso (conservativo) e nessun'altra forza: la reazione è perpendicolare alla guida liscia, la molla è radiale (quindi anch'essa perpendicolare al moto) e di lunghezza costante. L'energia meccanica si conservaCon solo forze conservative che lavorano, ½mv² + U resta costante.Conservazione dell'energia meccanica →, e l'energia elastica è la stessa in $A$ e in $B$, quindi si semplifica. Da $A$ a $B$ il blocchetto scende di $R$:

$$\tfrac12 m v_B^2 = m g R \quad \Longrightarrow \quad v_B = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}8} = 3{,}96\ \text{m/s}$$

Accelerazione

In $B$ servono le due componenti:

• normale (verso $C$, orizzontale): $a_N = \dfrac{v_B^2}{R} = \dfrac{2gR}{R} = 2g = 19{,}6\ \text{m/s}^2$;
• tangente (verticale, perché in $B$ la guida è verticale): lungo la verticale agisce solo il peso (molla e reazione sono orizzontali, lungo il raggio), quindi $a_T = g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Il modulo è

$$a_B = \sqrt{a_N^2 + a_T^2} = \sqrt{(2g)^2 + g^2} = g\sqrt5 = 21{,}9\ \text{m/s}^2$$

Reazione

Lungo il raggio (positivo verso $C$) agiscono la reazione $\Phi_B$ (verso $C$) e la molla (via da $C$). La loro somma deve dare la forza centripetaPer curvare su una circonferenza di raggio R serve una risultante verso il centro uguale a m v²/R.Forza centripeta nel moto curvilineo →:

$$\Phi_B - k\Delta = m\,\frac{v_B^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad \Phi_B = m \cdot 2g + k\Delta = 3{,}924 + 4{,}5 = 8{,}42\ \text{N}$$

diretta verso $C$. La guida deve sia vincere la spinta della molla sia fornire la forza centripeta.

c) Velocità in $P$

Quanto è lunga la molla in $P$

$O$ sta esattamente sotto $C$ a distanza $R$, e $P$ è sul piano a distanza $d = 0{,}6\ \text{m}$ da $O$. Il triangolo $COP$ è rettangolo in $O$:

$$\overline{CP} = \sqrt{R^2 + d^2} = \sqrt{0{,}64 + 0{,}36} = 1{,}0\ \text{m}$$

Ancora minore di $\ell = 1{,}1\ \text{m}$, come dice il suggerimento: la molla è compressa di $\Delta_1 = \ell - \overline{CP} = 0{,}1\ \text{m}$.

Bilancio di energia da $A$ a $P$

Sul piano orizzontale liscio la normale non lavora, il peso nemmeno (spostamento orizzontale), la molla sì (la sua lunghezza ora cambia). Tutte le forze che lavorano sono conservative: si conserva $K + U_{\text{peso}} + U_{\text{el}}$. Zero della quota sul piano.

$$\tfrac12 m v_P^2 + \tfrac12 k\Delta_1^2 = 2mgR + \tfrac12 k\Delta^2 \quad \Longrightarrow \quad \tfrac12 m v_P^2 = 3{,}139 + 0{,}675 - 0{,}075 = 3{,}739\ \text{J}$$

$$v_P = \sqrt{\frac{2 \cdot 3{,}739}{0{,}2}} = \sqrt{37{,}39} = 6{,}11\ \text{m/s}$$

Oltre alla discesa di $2R$, il blocchetto ha guadagnato $0{,}6\ \text{J}$ dalla molla, che tra $O$ e $P$ si è distesa da $0{,}8$ a $1{,}0\ \text{m}$ spingendolo.

d) Reazione del piano e accelerazione in $P$

In $P$ la molla, compressa di $\Delta_1$, spinge il blocchetto lungo la direzione $CP$, via da $C$: verso il basso e verso destra, con modulo $k\Delta_1 = 15 \cdot 0{,}1 = 1{,}5\ \text{N}$. Sia $\vartheta$ l'angolo tra $CP$ e la verticale:

$$\tan\vartheta = \frac{d}{R} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75 \quad \Longrightarrow \quad \vartheta = 36{,}9°, \quad \cos\vartheta = 0{,}8, \quad \sin\vartheta = 0{,}6$$

Verticale (il blocchetto resta sul piano, accelerazione verticale nulla): la reazione bilancia il peso e la componente verticale della molla, entrambi verso il basso:

$$\Phi_P = mg + k\Delta_1\cos\vartheta = 1{,}962 + 1{,}5 \cdot 0{,}8 = 3{,}16\ \text{N}$$

Orizzontale: agisce solo la componente orizzontale della molla, verso destra (via da $O$):

$$a_P = \frac{k\Delta_1\sin\vartheta}{m} = \frac{1{,}5 \cdot 0{,}6}{0{,}2} = 4{,}5\ \text{m/s}^2$$

Risultati

Errori comuni

• Pensare che la molla compia lavoro sulla guida: la sua lunghezza è sempre $R$, la compressione è costante.
• Dimenticare la molla nel bilancio radiale in $B$: la guida deve compensarne la spinta verso l'esterno oltre a fornire la forza centripeta.
• Usare in $P$ la stessa compressione $\Delta$: sul piano la molla si allunga e $\Delta_1 = 0{,}1\ \text{m}$.
• Mettere in $P$ un'accelerazione verticale: il blocchetto resta sul piano, la componente verticale si bilancia con la reazione.