Esercizio 70proiettile incastrato in un blocco appeso a una molla su un piano inclinato

Testo (tema d'esame del 20 giugno 2024, problema 1; le domande e), f), g) sono aggiunte per esercitarsi sulle oscillazioni). Un blocco di massa $M = 0{,}75$ kg scivola lungo un piano inclinato privo d'attrito; l'inclinazione del piano è $\vartheta = 15°$. Il lato superiore del blocco è collegato ad una molla di costante elastica $k = 15$ N/m, che ha l'altro suo estremo fissato ad un vincolo (vedi figura). Nell'istante in cui la velocità del blocco è $v_M = 0{,}8$ m/s, la molla ha la sua lunghezza di riposo; in tale istante, un proiettile di massa $m$ che procede in senso inverso con velocità $v_m = 15$ m/s parallela al piano inclinato lo colpisce rimanendovi incastrato. Si osserva che i due corpi sono fermi immediatamente dopo l'urto.

a) Determinare la massa del proiettile.

Supponendo invece che la massa del proiettile sia $m = 0{,}070$ kg, determinare, sempre nel caso di un urto completamente anelastico:

b) la velocità $V$ del sistema blocco + proiettile dopo l'urto; c) il massimo spostamento del sistema lungo il piano inclinato dopo l'urto; d) l'accelerazione del sistema in tale posizione; e) la posizione di equilibrio del sistema e il periodo delle sue oscillazioni; f) l'ampiezza dell'oscillazione e la posizione più bassa raggiunta; g) il tempo impiegato, dopo l'urto, a raggiungere la posizione più alta.

Figura. Il piano sale verso destra; la molla è in alto, tra il vincolo e il lato superiore del blocco. Il blocco scende (verso sinistra, $v_M$); il proiettile sale lungo il piano (verso destra, $v_m$). Asse $x$ lungo il piano, positivo in salita, con l'origine nella posizione del blocco quando la molla è a riposo (cioè nel punto dell'urto).

Impostazione

Perché nell'urto si conserva la quantità di moto lungo il piano. Nell'istante dell'urto la molla è a riposo (forza nulla); il peso è finito e non impulsivo; la reazione del piano è perpendicolare al piano. Lungo il piano non agiscono forze impulsive esterne (Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto →).

a) Massa del proiettile che ferma il blocco

Dopo l'urto i due corpi sono fermi: la quantità di moto totale lungo il piano è nulla, quindi lo era anche prima:

$$m\,v_m + M\,v_M = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{M\,|v_M|}{v_m} = \frac{0{,}75 \cdot 0{,}8}{15} = 0{,}040\ \text{kg}$$

b) Velocità dopo l'urto con $m = 0{,}070$ kg

Urto completamente anelastico (Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →):

$$m\,v_m + M\,v_M = (m + M)\,V \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{0{,}07 \cdot 15 - 0{,}75 \cdot 0{,}8}{0{,}82} = \frac{1{,}05 - 0{,}60}{0{,}82} = 0{,}549\ \text{m/s}$$

Positiva: il sistema sale dopo l'urto. (La soluzione ufficiale riporta $0{,}5623$ m/s, che si ottiene dividendo per $0{,}8$ invece che per $m + M = 0{,}82$ kg.)

c) Massimo spostamento in salita

Dopo l'urto non ci sono attriti: si conserva l'energia meccanica, con energia potenziale gravitazionale ed elastica (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →). Salendo di $d$ il sistema guadagna quota $d\sin\vartheta$ e comprime la molla di $d$ (la molla è sopra il blocco). Nel punto più alto è fermo:

$$\tfrac12 (m + M)\,V^2 = (m + M)\,g\,d\sin\vartheta + \tfrac12 k d^2$$

Equazione di secondo grado in $d$: $\frac{k}{m + M}\,d^2 + 2 g\sin\vartheta\,d - V^2 = 0$, cioè

$$18{,}29\,d^2 + 5{,}078\,d - 0{,}301 = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{-5{,}078 + \sqrt{25{,}79 + 22{,}03}}{2 \cdot 18{,}29} = \frac{-5{,}078 + 6{,}915}{36{,}58} = 0{,}050\ \text{m}$$

Si scarta la radice negativa: il sistema sale (punto b). (Con il $V$ della soluzione ufficiale si trova $0{,}052$ m, il valore del foglio.)

d) Accelerazione nel punto più alto

Nel punto più alto la velocità è nulla ma le forze no: la componente del peso tira in discesa e la molla, compressa di $d$, spinge anch'essa in discesa:

$$a = -g\sin\vartheta - \frac{k\,d}{m + M} = -2{,}54 - \frac{15 \cdot 0{,}050}{0{,}82} = -2{,}54 - 0{,}92 = -3{,}46\ \text{m/s}^2$$

diretta in discesa.

e) Equilibrio e periodo

Equilibrio. La forza elastica vale $-k x$ (con $x > 0$ la molla è compressa e spinge in discesa, con $x < 0$ è allungata e tira in salita); il peso dà $-(m + M)g\sin\vartheta$. All'equilibrio la somma è nulla:

$$-k\,x_{eq} - (m + M)\,g\sin\vartheta = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{eq} = -\frac{(m + M)\,g\sin\vartheta}{k} = -\frac{0{,}82 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}259}{15} = -0{,}139\ \text{m}$$

cioè $13{,}9$ cm più in basso del punto dell'urto, con la molla allungata.

Periodo. La componente del peso è una forza costante: sposta il centro di oscillazione ma non cambia la pulsazione (Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →). Il moto dopo l'urto è armonico attorno a $x_{eq}$ con

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m + M}} = \sqrt{18{,}29} = 4{,}28\ \text{rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 1{,}47\ \text{s}$$

f) Ampiezza e posizione più bassa

Subito dopo l'urto il sistema è in $x = 0$, cioè $0{,}139$ m sopra l'equilibrio, con velocità $V$. L'ampiezza si ricava da spostamento e velocità rispetto all'equilibrio:

$$A = \sqrt{(0 - x_{eq})^2 + \left(\frac{V}{\omega}\right)^2} = \sqrt{0{,}139^2 + \left(\frac{0{,}549}{4{,}28}\right)^2} = \sqrt{0{,}0193 + 0{,}0165} = 0{,}189\ \text{m}$$

Il sistema oscilla tra $x_{eq} + A$ e $x_{eq} - A$:

• posizione più alta: $-0{,}139 + 0{,}189 = +0{,}050$ m. Coincide con il $d$ del punto c, trovato in modo indipendente con l'energia ✓;
• posizione più bassa: $-0{,}139 - 0{,}189 = -0{,}328$ m, cioè $32{,}8$ cm sotto il punto dell'urto.

g) Tempo per arrivare nel punto più alto

Si scrive lo spostamento dall'equilibrio come $s(t) = x - x_{eq} = A\sin(\omega t + \varphi)$. All'istante dell'urto:

$$s(0) = A\sin\varphi = 0{,}139\ \text{m}, \qquad \dot s(0) = A\omega\cos\varphi = V > 0$$

Quindi $\sin\varphi = 0{,}139/0{,}189 = 0{,}734$ con $\cos\varphi > 0$: $\varphi = 0{,}825$ rad. Il punto più alto è dove il seno vale $1$, cioè $\omega t + \varphi = \pi/2$:

$$t = \frac{\pi/2 - \varphi}{\omega} = \frac{1{,}571 - 0{,}825}{4{,}28} = 0{,}174\ \text{s}$$

Meno di un quarto di periodo ($0{,}37$ s), perché il sistema partiva già sopra l'equilibrio e diretto verso l'alto.

Risultati

Errori comuni

• Misurare l'ampiezza dal punto dell'urto (dove la molla è a riposo): l'oscillazione è centrata nella posizione di equilibrio, spostata dal peso.
• Dimenticare l'energia potenziale gravitazionale nel punto c: il sistema sale lungo il piano e cambia quota.
• Scrivere $a = 0$ nel punto più alto perché la velocità è nulla: lì l'accelerazione è massima in modulo.
• Sommare le velocità con lo stesso segno nell'urto: proiettile e blocco si muovono in versi opposti.