Esercizio 66asta e disco con momento d'inerzia composto

Testo (tema d'esame del 7 luglio 2022, problema 2). Un disco omogeneo di massa $M = 3$ kg e raggio $R = 0{,}4$ m può ruotare senza attrito in un piano verticale intorno all'asse fisso orizzontale passante per il suo centro $O$. Sul disco è incollata una sbarretta omogenea di lunghezza $\ell = 0{,}45$ m e massa $m = 1{,}5$ kg con un estremo coincidente con $O$. Inizialmente il sistema è fermo con l'asta posta in direzione orizzontale (vedi figura). Dopo una rotazione di $\pi/2$ del sistema, l'asta urta elasticamente con il suo estremo sporgente dal disco un blocchetto di dimensioni trascurabili e massa $m_b$ poggiato su un piano orizzontale (l'asta non tocca il piano nel suo moto). Si verifica che dopo l'urto il sistema disco + asta si ferma. Determinare:

a) l'accelerazione angolare iniziale del sistema; b) la velocità angolare del sistema immediatamente prima dell'urto e la reazione vincolare $\Phi$ in $O$ nello stesso istante; c) la velocità dopo l'urto del blocchetto e la sua massa.

Figura. Il disco ha centro $O$; la sbarretta parte da $O$ e va verso destra, in orizzontale, sporgendo di $5$ cm oltre il bordo del disco. Il sistema ruota in verso orario e, dopo un quarto di giro, la sbarretta è verticale verso il basso: la sua estremità libera colpisce il blocchetto, che sta sul piano proprio sotto $O$.

Impostazione

Il disco è imperniato nel suo centro: il suo peso passa per l'asse e non fa ruotare il sistema. A far ruotare è solo il peso della sbarretta, applicato nel suo centro, a $\ell/2$ da $O$.

a) Momento d'inerzia e accelerazione angolare iniziale

Momento d'inerzia del sistema. Il momento d'inerzia è additivo: quello di un corpo composto è la somma dei momenti dei pezzi, tutti rispetto allo stesso asse (Momento d'inerzia e teorema di Huygens-SteinerIl momento d'inerzia I = ∫ r² dm misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un asse. Calcolo per asta, anello, disco e sfera; il teorema di Huygens-Steiner I = I_CM + M d² dà I rispetto a qualunque asse parallelo a uno per il CM.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →).

• Disco rispetto al suo centro: $I_D = \frac12 M R^2 = \frac12 \cdot 3 \cdot 0{,}16 = 0{,}240$ kg·m².
• Sbarretta rispetto a un estremo: $I_S = \frac13 m \ell^2 = \frac13 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}2025 = 0{,}101$ kg·m². (Rispetto al suo centro sarebbe $\frac{1}{12} m\ell^2$; con Huygens-Steiner, spostando l'asse di $\ell/2$, si aggiunge $m(\ell/2)^2$ e si ottiene $\frac{1}{12} + \frac14 = \frac13$.)

$$I = I_D + I_S = 0{,}240 + 0{,}101 = 0{,}341\ \text{kg·m}^2$$

Accelerazione angolare. Seconda equazione cardinale rispetto all'asse fisso, $M_z = I\alpha$ (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →). Con la sbarretta orizzontale il braccio del suo peso è tutto $\ell/2$:

$$\alpha = \frac{m g\,\ell/2}{I} = \frac{1{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}225}{0{,}341} = \frac{3{,}31}{0{,}341} = 9{,}70\ \text{rad/s}^2$$

b) Velocità angolare prima dell'urto e reazione in $O$

Velocità angolare. Nessun attrito: l'energia meccanica si conserva (Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →). In un quarto di giro il centro della sbarretta scende di $\ell/2$ (da orizzontale a verticale verso il basso); il disco non cambia quota.

$$m g\,\frac{\ell}{2} = \tfrac12 I\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{m g \ell}{I}} = \sqrt{\frac{1{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}45}{0{,}341}} = \sqrt{19{,}4} = 4{,}40\ \text{rad/s}$$

Reazione vincolare. Si usa la prima equazione cardinale: la risultante delle forze esterne fa accelerare il centro di massa del sistema (Corpo rigido e suo centro di massaUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa →):

$$\vec\Phi + (M + m)\,\vec g = (M + m)\,\vec a_{CM}$$

Il CM del sistema sta sulla sbarretta (il CM del disco è in $O$), a distanza

$$d_{CM} = \frac{M \cdot 0 + m\,\ell/2}{M + m} = \frac{1{,}5 \cdot 0{,}225}{4{,}5} = 0{,}075\ \text{m}$$

da $O$. Nell'istante considerato la sbarretta è verticale verso il basso, quindi anche il CM è sotto $O$. Il CM percorre una circonferenza di raggio $d_{CM}$:

• l'accelerazione tangenziale è $\alpha\,d_{CM}$, ma qui $\alpha = 0$: con la sbarretta verticale il peso passa per l'asse e non ha momento;
• resta l'accelerazione centripeta $\omega^2 d_{CM}$, diretta verso $O$, cioè verso l'alto.

Proiettando in verticale (positivo verso l'alto):

$$\Phi - (M + m)\,g = (M + m)\,\omega^2 d_{CM}$$

$$\Phi = (M + m)\,(g + \omega^2 d_{CM}) = 4{,}5 \cdot (9{,}81 + 19{,}4 \cdot 0{,}075) = 4{,}5 \cdot 11{,}27 = 50{,}7\ \text{N}$$

Il perno deve reggere il peso ($44{,}1$ N) e in più fornire la forza centripeta al CM ($6{,}5$ N).

c) L'urto elastico con il blocchetto

Che cosa si conserva.

• Momento angolare rispetto a $O$: durante l'urto il perno esercita una forza impulsiva, ma applicata in $O$, quindi con momento nullo rispetto a $O$. Il peso non è impulsivo. Si conserva $L_O$ del sistema disco + sbarretta + blocchetto (Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →). (La quantità di moto invece non si conserva, per l'impulso del perno.)
• Energia cinetica: l'urto è elastico.

Le equazioni. Prima dell'urto ruota solo il sistema ($L = I\omega$), il blocchetto è fermo. Dopo, il sistema è fermo e il blocchetto si muove orizzontalmente con velocità $v_b$, a distanza $\ell$ sotto $O$ (l'urto avviene all'estremità della sbarretta): il suo momento angolare rispetto a $O$ è $m_b v_b \ell$.

$$I\omega = m_b\,v_b\,\ell \tag{1}$$

$$\tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12 m_b v_b^2 \tag{2}$$

Risoluzione. Dividendo la (2) per la (1) membro a membro (dopo aver semplificato gli $\frac12$):

$$\omega = \frac{v_b}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad v_b = \omega\,\ell = 4{,}40 \cdot 0{,}45 = 1{,}98\ \text{m/s}$$

Il blocchetto parte con la stessa velocità che aveva l'estremità della sbarretta. Dalla (1):

$$m_b = \frac{I\omega}{v_b\,\ell} = \frac{I}{\ell^2} = \frac{0{,}341}{0{,}2025} = 1{,}68\ \text{kg}$$

Il significato di $I/\ell^2$. È la "massa equivalente" del sistema rotante vista dall'estremità della sbarretta: un punto di massa $I/\ell^2$ a distanza $\ell$ dall'asse ha lo stesso momento d'inerzia del sistema. L'urto elastico tra due masse uguali, una ferma, scambia le velocità: il corpo che urta si ferma e l'altro parte con la sua velocità. È esattamente quello che succede qui.

Risultati

Errori comuni

• Usare $\frac{1}{12} m\ell^2$ per la sbarretta: quello è rispetto al centro; l'asse passa per un estremo, quindi $\frac13 m\ell^2$.
• Mettere il peso del disco nel momento delle forze: è applicato in $O$, sull'asse.
• Scrivere $\Phi = (M + m) g$: nell'istante dell'urto il CM sta girando e serve anche la forza centripeta.
• Conservare la quantità di moto nell'urto: il perno dà un impulso; si conserva il momento angolare rispetto al perno.