Esercizio 75riscaldamento isobaro di un gas biatomico

Testo (tema d'esame del 4 febbraio 2022, problema 3, domande a e b). $n = 0{,}5$ moli di gas ideale biatomico alla temperatura iniziale $T_i = 300$ K vengono riscaldate in maniera isobara. Nella trasformazione il gas compie il lavoro $W = 500$ J. Ricordando che la costante universale del gas ideale vale $R = 8{,}31$ J/(K·mole), determinare:

a) la temperatura finale della trasformazione: $T_f = \dots$

b) il volume finale del gas, se la pressione alla quale avviene la trasformazione è $p = 10^5$ Pa: $V_f = \dots$

(Le domande c, d, e del tema chiedono variazioni di entropia: si svolgono nel capitolo sul secondo principio, Calcolo delle variazioni di entropiaLe formule di ΔS per i casi d'esame: serbatoio Q/T, corpo che cambia temperatura mc ln(T2/T1), cambiamento di fase mλ/T, gas ideale n cV ln(T2/T1) + nR ln(V2/V1). Per le trasformazioni irreversibili si integra lungo una reversibile con gli stessi estremi.Calcolo delle variazioni di entropia →. Qui si aggiunge invece il calcolo di $\Delta U$ e $Q$, utile per completare il bilancio energetico.)

Le grandezze in gioco

"Gas ideale biatomico" significa c_V = 5R/2 e c_p = 7R/2Valori dei calori specifici molari per molecole fatte di due atomi, come azoto e ossigeno: 3 gradi di libertà di traslazione più 2 di rotazione. (Energia interna e calori specifici dei gas idealiL'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura: ΔU = n c_V ΔT in qualunque trasformazione. I calori molari a volume e a pressione costante sono legati dalla relazione di Mayer c_p = c_V + R. Monoatomico: c_V = 3R/2; biatomico: c_V = 5R/2; γ = c_p/c_V.Energia interna e calori specifici dei gas ideali →).

"Riscaldate in maniera isobara" significa che la pressione resta la stessa durante tutta la trasformazione: il gas è chiuso da un pistone libero, sotto una pressione esterna costante, e si espande mentre si scalda.

a) Temperatura finale

Il lavoro in un'isobara

A pressione costante il lavoro fatto dal gas è il rettangolo sotto il segmento orizzontaleW = ∫p dV, e con p costante l'integrale vale p per la variazione di volume.Lavoro termodinamico → nel piano di Clapeyron:

$$W = p\,(V_f - V_i)$$

Non si conoscono i volumi, ma si conoscono le temperature (una sola, per ora). Si usa l'equazione di statoUn gas abbastanza rarefatto obbedisce all'equazione di stato pV = nRT, con R = 8,31 J/(mol·K) e T in kelvin. Riassume le leggi di Boyle (isoterma), di Gay-Lussac (isobara e isocora) e di Avogadro. Per n fisso: pV/T è costante tra due stati qualsiasi.Gas ideali - equazione di stato → nei due stati, $pV_i = nRT_i$ e $pV_f = nRT_f$, con la stessa $p$. Sottraendo:

$$p\,(V_f - V_i) = nR\,(T_f - T_i) \quad \Longrightarrow \quad W = nR\,\Delta T$$

Perché è comodo: il lavoro di un'isobara si può scrivere con le sole temperature, senza conoscere la pressione. È proprio quello che serve qui, dove la pressione viene data solo nella domanda b.

Il calcolo

$$\Delta T = \frac{W}{nR} = \frac{500\ \text{J}}{0{,}5\ \text{mol} \cdot 8{,}31\ \text{J/(mol·K)}} = \frac{500}{4{,}155}\ \text{K} = 120{,}3\ \text{K}$$

Unità: $\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})} = \text{K}$ ✓.

$$T_f = T_i + \Delta T = 300 + 120{,}3 = 420{,}3\ \text{K}$$

Il gas si è scaldato, come deve succedere in un'espansione isobara ($V/T$ costante: se $V$ aumenta, aumenta anche $T$).

La strada della soluzione ufficiale è la stessa scritta in un altro modo: dal primo principio $W = Q - \Delta U = n c_p \Delta T - n c_V \Delta T = n(c_p - c_V)\Delta T = nR\,\Delta T$, per la relazione di Mayerc_p − c_V = R: a pressione costante serve più calore che a volume costante, perché una parte esce come lavoro.Energia interna e calori specifici dei gas ideali →.

b) Volume finale

Ora si conosce $p = 10^5$ Pa. Dall'equazione di stato nello stato finale:

$$V_f = \frac{nRT_f}{p} = \frac{0{,}5 \cdot 8{,}31 \cdot 420{,}3}{10^5}\ \text{m}^3 = 1{,}746 \times 10^{-2}\ \text{m}^3 = 17{,}46\ \text{dm}^3$$

(da m³ a dm³ si moltiplica per $1000$, perché $1\ \text{m}^3 = (10\ \text{dm})^3 = 1000\ \text{dm}^3$).

Controllo. Il volume iniziale è $V_i = \frac{nRT_i}{p} = \frac{0{,}5 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{10^5} = 12{,}46\ \text{dm}^3$. La variazione di volume è $V_f - V_i = 5{,}00\ \text{dm}^3$, e infatti $p\,\Delta V = 10^5 \cdot 5 \times 10^{-3} = 500\ \text{J} = W$ ✓. (La soluzione del tema riporta proprio $\Delta V = W/p = 5\ \text{dm}^3$.)

Complemento: energia interna e calore

Per completare il bilancio, con le formule delle trasformazioni isobareIn un'isobara: W = nRΔT, ΔU = n c_V ΔT, Q = n c_p ΔT.Trasformazioni dei gas ideali →:

$$\Delta U = n c_V \Delta T = 0{,}5 \cdot \tfrac52 \cdot 8{,}31 \cdot 120{,}3 = 1250\ \text{J}$$

$$Q = n c_p \Delta T = 0{,}5 \cdot \tfrac72 \cdot 8{,}31 \cdot 120{,}3 = 1750\ \text{J}$$

Verifica con il primo principioΔU = Q − W, con Q assorbito e W fatto dal gas.Primo principio della termodinamica →: $Q - W = 1750 - 500 = 1250\ \text{J} = \Delta U$ ✓.

I numeri sono "tondi" per un motivo: per un biatomico in un'isobara $W : \Delta U : Q = R : c_V : c_p = 2 : 5 : 7$. Con $W = 500$ J si ha $\Delta U = 1250$ J e $Q = 1750$ J. Dei $1750$ J assorbiti, i $\frac57$ scaldano il gas e i $\frac27$ escono come lavoro.

Risultati

Errori comuni

• Usare $W = n c_p \Delta T$ o $W = n c_V \Delta T$: in un'isobara il lavoro è $nR\,\Delta T$; $n c_p \Delta T$ è il calore, $n c_V \Delta T$ l'energia interna.
• Dare $V_f$ in m³ senza accorgersi dell'ordine di grandezza: $0{,}0175\ \text{m}^3$ sono $17{,}5$ litri, un valore ragionevole per mezza mole di gas a pressione atmosferica (una mole a $0\ °\text{C}$ occupa $22{,}4$ litri).
• Pensare che serva la pressione per la domanda a: il lavoro di un'isobara si scrive con le temperature, $nR\,\Delta T$.