Esercizio 41blocchetto su una piattaforma frenata da una molla

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Testo (compitino del 14 aprile 2025, problema 2). Un blocchetto di massa $m = 0{,}3\ \text{kg}$ è poggiato su una piattaforma di massa $M = 1{,}2\ \text{kg}$ che scorre su un piano orizzontale liscio. Tra il blocchetto e la piattaforma vi è attrito, con coefficiente d'attrito statico $\mu_S = 0{,}4$ e dinamico $\mu_D = 0{,}25$ . Inizialmente il blocchetto e la piattaforma procedono insieme sul piano orizzontale, con velocità $v_0 = 2\ \text{m/s}$ . Ad un certo punto la piattaforma entra in contatto con una molla vincolata ad una parete fissa nell'altro suo estremo (vedi figura); la molla ha costante elastica $k = 15\ \text{N/m}$ ed inizialmente è a riposo. Determinare:

a) l'accelerazione del sistema lungo l'asse $x$ orientato come in figura quando la molla è compressa di $\Delta = 0{,}1\ \text{m}$ e la forza d'attrito statico agente in quell'istante sul blocchetto, sapendo che questo è ancora fermo relativamente alla piattaforma;

b) la compressione $\Delta_1$ della molla quando il blocchetto inizia a muoversi sulla piattaforma e la velocità di blocchetto e piattaforma in quell'istante;

c) l'accelerazione della piattaforma e l'accelerazione del blocchetto relativa rispetto alla piattaforma in quell'istante.

Figura. La piattaforma $M$ con sopra il blocchetto $m$ si muove verso destra con velocità $v_0$ ; più a destra c'è una molla orizzontale fissata a una parete. L'asse $x$ è orizzontale, verso destra.

Grandezze

simbolo	significato	valore
$m$	massa del blocchetto	$0{,}3\ \text{kg}$
$M$	massa della piattaforma	$1{,}2\ \text{kg}$
$\mu_S$ , $\mu_D$	attrito statico e dinamico blocchetto–piattaforma	$0{,}4$ e $0{,}25$
$v_0$	velocità iniziale comune	$2\ \text{m/s}$
$k$	costante della molla	$15\ \text{N/m}$

La molla tocca solo la piattaforma. Quando è compressa di $x$ la spinge verso sinistra con forza $-kx$ (legge di Hooke). Il blocchetto "sente" la molla solo attraverso l'attrito con la piattaforma.

a) Accelerazione comune e attrito statico con $\Delta = 0{,}1\ \text{m}$

Accelerazione

Finché il blocchetto non scivola, blocchetto e piattaforma hanno la stessa accelerazione e si trattano come un unico corpo di massa $m + M$ . L'attrito tra loro è interno e non conta. Lungo $x$ l'unica forza esterna è la molla (il piano è liscio, peso e normali sono verticali):

$(m + M)\,a_x = -k\Delta \quad \Longrightarrow \quad a_x = -\frac{k\Delta}{m + M} = -\frac{15 \cdot 0{,}1}{1{,}5} = -1\ \text{m/s}^2$

Negativa: il sistema rallenta.

Attrito statico sul blocchetto

Sul blocchetto, lungo $x$ , agisce solo l'attrito statico della piattaforma. È lui che fa rallentare il blocchetto insieme alla piattaforma:

$F_{\text{attr},x} = m\,a_x = 0{,}3 \cdot (-1) = -0{,}3\ \text{N}$

diretta verso sinistra.

Lo stesso visto dalla piattaforma. Nel riferimento della piattaforma (che decelera, quindi non è inerziale) il blocchetto è fermo. Su di lui agisce la forza di trascinamento $-m a_x = +0{,}3\ \text{N}$ , in avanti (come il passeggero spinto in avanti quando l'autobus frena), e l'attrito statico deve bilanciarla: $F_{\text{attr},x} = -0{,}3\ \text{N}$ .

b) Quando il blocchetto comincia a scivolare

La compressione $\Delta_1$

Con la molla compressa di $x$ , l'attrito statico necessario ha modulo $m\,\frac{kx}{m + M}$ : cresce con la compressione. Ma l'attrito statico non può superare $\mu_S N = \mu_S m g$ (la normale sul blocchetto è $mg$ , piattaforma orizzontale). Il blocchetto inizia a scivolare quando il valore necessario raggiunge il massimo:

$m\,\frac{k\Delta_1}{m + M} = \mu_S m g \quad \Longrightarrow \quad \Delta_1 = \frac{\mu_S g\,(m + M)}{k} = \frac{0{,}4 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}5}{15} = 0{,}392\ \text{m}$

In quell'istante l'accelerazione comune vale $-\mu_S g = -3{,}92\ \text{m/s}^2$ : è la massima decelerazione che l'attrito statico può imporre al blocchetto.

La velocità in quell'istante

Fino a quel momento blocchetto e piattaforma si muovono insieme. Sul sistema compiono lavoro solo la molla (conservativa) e le forze d'attrito statico tra i due corpi. Queste ultime sono uguali e opposte e agiscono su due corpi che hanno lo stesso spostamento (non c'è strisciamento), quindi i loro lavori si annullano. Si conserva l'energia meccanica del sistema:

$\tfrac12 (m + M) v_1^2 + \tfrac12 k\Delta_1^2 = \tfrac12 (m + M) v_0^2$

$v_1 = \sqrt{v_0^2 - \frac{k\Delta_1^2}{m + M}} = \sqrt{4 - \frac{15 \cdot 0{,}154}{1{,}5}} = \sqrt{4 - 1{,}54} = 1{,}57\ \text{m/s}$

c) Accelerazioni subito dopo l'inizio dello scivolamento

Ora il blocchetto scivola: l'attrito diventa dinamico, di modulo $\mu_D m g = 0{,}25 \cdot 0{,}3 \cdot 9{,}81 = 0{,}736\ \text{N}$ , e i due corpi vanno studiati separatamente.

Verso dell'attrito. La piattaforma è frenata dalla molla molto più del blocchetto, quindi il blocchetto scivola in avanti (verso $+x$ ) rispetto alla piattaforma. L'attrito dinamico si oppone allo scivolamento relativo: sul blocchetto punta verso $-x$ , sulla piattaforma (per il terzo principio) verso $+x$ .

Piattaforma. Forze lungo $x$ : molla $-k\Delta_1$ e attrito $+\mu_D m g$ :

$M a_M = -k\Delta_1 + \mu_D m g \quad \Longrightarrow \quad a_M = \frac{-15 \cdot 0{,}392 + 0{,}736}{1{,}2} = \frac{-5{,}886 + 0{,}736}{1{,}2} = -4{,}29\ \text{m/s}^2$

Blocchetto (accelerazione assoluta, rispetto al piano):

$m a_m = -\mu_D m g \quad \Longrightarrow \quad a_m = -\mu_D g = -2{,}45\ \text{m/s}^2$

Accelerazione relativa. La piattaforma trasla, quindi per il teorema delle accelerazioni relative:

$a'_m = a_m - a_M = -2{,}45 - (-4{,}29) = +1{,}84\ \text{m/s}^2$

Positiva: rispetto alla piattaforma il blocchetto accelera in avanti, come previsto.

Controllo dal riferimento della piattaforma: $m a'_m = -\mu_D m g - m a_M$ (attrito dinamico più forza di trascinamento $-m a_M$ , che ora vale $+1{,}29\ \text{N}$ in avanti): $a'_m = -2{,}45 + 4{,}29 = 1{,}84\ \text{m/s}^2$ ✓.

Risultati

grandezza	valore
a) accelerazione comune con $\Delta = 0{,}1\ \text{m}$	$a_x = -1\ \text{m/s}^2$
a) attrito statico sul blocchetto	$F_{\text{attr},x} = -0{,}3\ \text{N}$
b) compressione all'inizio dello scivolamento	$\Delta_1 = 0{,}392\ \text{m}$
b) velocità comune in quell'istante	$v_1 = 1{,}57\ \text{m/s}$
c) accelerazione della piattaforma	$a_M = -4{,}29\ \text{m/s}^2$
c) accelerazione relativa del blocchetto	$a'_m = 1{,}84\ \text{m/s}^2$

Errori comuni

Applicare la molla anche al blocchetto: la molla tocca solo la piattaforma.
Usare $\mu_D$ per la condizione di inizio scivolamento: finché il blocchetto è fermo sulla piattaforma l'attrito è statico, la soglia è $\mu_S m g$ .
Sbagliare il verso dell'attrito dinamico: dipende dal verso dello scivolamento relativo, non dal verso del moto rispetto al suolo (entrambi i corpi si muovono ancora verso destra).
Dimenticare l'energia della molla nel bilancio del punto b.