Tensione dei fili e carrucole

I fili collegano tra loro più corpi: è il caso più comune di problema con più incognite. Prima: Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →. Seguito: Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →. Esercizi: Esercizio 21 · due blocchi su due piani inclinati collegati da un filo, Esercizio 22 · blocchetto su piattaforma mobile tirato da un filo, Esercizio 23 · due blocchetti e una molla su un piano inclinato scabro.

Il filo ideale

Un filo teso esercita sul corpo a cui è attaccato una forza, la tensione $\vec T$, diretta lungo il filo e che tira sempre (verso il filo, mai in verso opposto). Un filo non può spingere: se dai conti la tensione esce negativa, il filo in realtà si è allentato e non agisce più.

Nei problemi i fili sono ideali:

1. di massa trascurabile;
2. inestensibili: la loro lunghezza non cambia.

Conseguenza della massa nulla: la tensione è la stessa in tutto il filo. Si prende un pezzetto di filo: agli estremi è tirato in versi opposti dalle tensioni $T_1$ e $T_2$, e per la seconda legge $T_2 - T_1 = m_{\text{filo}}\,a$. Se $m_{\text{filo}} = 0$, allora $T_1 = T_2$, qualunque sia l'accelerazione. Quindi un filo ideale tira con la stessa forza $T$ entrambi i corpi che collega (ciascuno verso l'altro).

Conseguenza dell'inestensibilità: i corpi collegati hanno accelerazioni di uguale modulo. Se un estremo del filo si sposta di $1$ cm, l'altro deve spostarsi di $1$ cm (lungo il filo), altrimenti il filo si allungherebbe. Derivando due volte: velocità e accelerazioni lungo il filo sono uguali in modulo. Basta quindi un'unica incognita $a$ per tutti i corpi collegati, scegliendo per ciascuno l'asse nel verso in cui si muove quando il sistema "va avanti".

Carrucola ideale

Una carrucola (rotellina) serve a cambiare la direzione del filo. Se è ideale (massa trascurabile e senza attrito nel perno) la tensione è la stessa dai due lati: la carrucola cambia la direzione della forza ma non il suo modulo. Su una carrucola con massa invece le tensioni dai due lati sono diverse, e la differenza fa ruotare la carrucola: serve la dinamica del corpo rigido (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →).

Il perno della carrucola deve reggere entrambi i tratti di filo: se i due tratti sono paralleli e verticali, il supporto tira la carrucola verso l'alto con $2T$.

Metodo

1. Un diagramma di corpo libero per ogni corpo: il filo compare come una tensione $T$ (la stessa su tutti i corpi collegati dallo stesso filo ideale), diretta lungo il filo verso il punto in cui il filo va.
2. Assi "che seguono il filo": per ogni corpo, asse nel verso in cui si muove quando il sistema avanza. Così tutti i corpi hanno la stessa accelerazione $a$ (con lo stesso segno).
3. Una equazione di Newton per corpo lungo il suo asse. Le incognite sono $a$ e $T$ (più eventuali normali, dalle equazioni perpendicolari).
4. Trucco per trovare subito $a$: si sommano le equazioni dei vari corpi. Le tensioni si elidono (compaiono con $+T$ in un'equazione e $-T$ nell'altra) e resta

$$(m_1 + m_2 + \dots)\,a = \text{somma delle forze esterne "motrici" meno quelle "frenanti" lungo il filo}$$

come se il sistema fosse un unico corpo di massa totale tirato dalle sole forze esterne. Poi $T$ si ricava da una sola delle equazioni.

Macchina di Atwood

Due masse $m_1 < m_2$ appese ai due lati di una carrucola ideale fissa. Il sistema avanza con $m_2$ che scende e $m_1$ che sale; asse di $m_1$ verso l'alto, asse di $m_2$ verso il basso.

$$m_1: \quad T - m_1 g = m_1 a \qquad\qquad m_2: \quad m_2 g - T = m_2 a$$

Sommando: $(m_2 - m_1)g = (m_1 + m_2)a$, quindi

$$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = m_1(g + a) = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g$$

Controlli. Con $m_1 = m_2$: $a = 0$ (equilibrio) e $T = m_1 g$ ✓. Con $m_1 = 0$: $a = g$, caduta libera di $m_2$, e $T = 0$ ✓. La tensione sta sempre tra i due pesi: $m_1 g < T < m_2 g$ (deve accelerare $m_1$ verso l'alto e frenare la caduta di $m_2$).

Esempio. $m_1 = 2$ kg, $m_2 = 3$ kg: $a = \frac{1}{5}\,9{,}81 = 1{,}96\ \text{m/s}^2$, $T = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{5}\,9{,}81 = 23{,}5$ N (tra $19{,}6$ N e $29{,}4$ N ✓). Il supporto della carrucola regge $2T = 47{,}1$ N, meno del peso totale $49{,}1$ N: il sistema sta accelerando, il suo centro di massa scende accelerando.

L'utilità storica: la macchina di Atwood "diluisce" $g$ in un'accelerazione piccola e misurabile, come il piano inclinato.

Blocco sul tavolo e massa appesa

Un blocco $m_1$ su un tavolo orizzontale scabro (coefficiente $\mu_d$), collegato da un filo che passa su una carrucola sul bordo a una massa $m_2$ appesa. Il sistema avanza con $m_2$ che scende.

$$m_1 \ (\text{orizzontale}): \quad T - \mu_d m_1 g = m_1 a \qquad (N_1 = m_1 g)$$ $$m_2 \ (\text{verso il basso}): \quad m_2 g - T = m_2 a$$

Sommando:

$$a = \frac{m_2 - \mu_d m_1}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = m_2(g - a)$$

Esempio. $m_1 = 2$ kg, $\mu_d = 0{,}2$, $m_2 = 1$ kg: $a = \frac{1 - 0{,}4}{3}\,9{,}81 = 1{,}96\ \text{m/s}^2$, $T = 1 \cdot (9{,}81 - 1{,}96) = 7{,}85$ N. La tensione è minore del peso di $m_2$ ($9{,}81$ N): se fosse uguale, $m_2$ non accelererebbe.

Se il sistema parte da fermo bisogna prima controllare che si muova: con attrito statico serve $m_2 g > \mu_s m_1 g$, cioè $m_2 > \mu_s m_1$.

Riassunto

Errori comuni

• Porre la tensione uguale al peso della massa appesa: vale solo se il sistema non accelera.
• Usare accelerazioni con segni incoerenti per corpi collegati: si orientano gli assi "lungo il filo", nel verso in cui il sistema avanza.
• Dimenticare di controllare $T \ge 0$: in alcuni problemi un filo può allentarsi (per esempio se il corpo davanti accelera più di quello dietro).
• Considerare uguali le tensioni ai due lati di una carrucola con massa: vale solo per la carrucola ideale.