Esercizio 72risonanza di un oscillatore forzato

Testo (esercizio di allenamento sulle oscillazioni forzate). Un corpo di massa $m = 0{,}2$ kg è attaccato a una molla di costante $k = 80$ N/m e subisce una forza viscosa $-b\,\vec v$ con $b = 0{,}8$ kg/s. Un motorino applica al corpo una forza $F(t) = F_0\cos(\Omega t)$ con $F_0 = 1{,}6$ N e pulsazione $\Omega$ regolabile. Determinare, a regime:

a) la pulsazione propria, il coefficiente di smorzamento e il fattore di qualità; b) l'ampiezza e lo sfasamento per $\Omega = 10$, $20$ e $30$ rad/s; c) la pulsazione a cui l'ampiezza è massima e il valore massimo dell'ampiezza; d) la potenza media fornita dal motorino a $\Omega = 20$ rad/s e la banda di pulsazioni in cui la potenza è almeno metà del massimo; e) l'ampiezza a $\Omega = 10$ rad/s se non ci fosse attrito, e che cosa succederebbe senza attrito a $\Omega = 20$ rad/s.

Impostazione

Equazione del moto (Oscillazioni forzate e risonanzaUn oscillatore smorzato spinto da una forza F₀cos(Ωt), dopo un transitorio, oscilla alla pulsazione Ω della forza con ampiezza A(Ω) = (F₀/m)/√((ω₀² − Ω²)² + 4γ²Ω²) e sfasamento δ, con tan δ = 2γΩ/(ω₀² − Ω²). Vicino a Ω = ω₀ l'ampiezza e la potenza assorbita sono massime (risonanza); la larghezza della risonanza è 2γ e l'amplificazione vale Q. Lo stesso schema descrive il circuito RLC.Oscillazioni forzate e risonanza →):

$$m\ddot x + b\dot x + kx = F_0\cos(\Omega t) \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\Omega t)$$

A regime (esaurito il transitorio) $x = A\cos(\Omega t - \delta)$ con

$$A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}, \qquad \tan\delta = \frac{2\gamma\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$$

a) Le grandezze dell'oscillatore

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{400} = 20\ \text{rad/s}, \qquad \gamma = \frac{b}{2m} = \frac{0{,}8}{0{,}4} = 2\ \text{s}^{-1}, \qquad Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = 5$$

Utili per i conti: $F_0/m = 8$ N/kg e la risposta statica $F_0/k = 0{,}02$ m ($2$ cm). Il transitorio si spegne come $e^{-\gamma t} = e^{-2t}$: dopo $2$–$3$ s la formula di regime è accurata.

b) Ampiezza e sfasamento a tre pulsazioni

Nel denominatore servono due pezzi: $(\omega_0^2 - \Omega^2)^2$ (quanto la forza è "stonata" rispetto all'oscillatore) e $4\gamma^2\Omega^2 = 16\,\Omega^2$ (l'attrito).

$\Omega = 10$ rad/s (sotto la risonanza): $$A = \frac{8}{\sqrt{(400 - 100)^2 + 16 \cdot 100}} = \frac{8}{\sqrt{90\,000 + 1600}} = \frac{8}{302{,}7} = 0{,}0264\ \text{m}$$ $$\tan\delta = \frac{2 \cdot 2 \cdot 10}{300} = 0{,}133 \quad\Longrightarrow\quad \delta = 7{,}6°$$ Poco più della risposta statica, quasi in fase con la forza: domina la molla.

$\Omega = 20$ rad/s (alla pulsazione propria): il primo termine si annulla, $$A = \frac{8}{\sqrt{0 + 16 \cdot 400}} = \frac{8}{80} = 0{,}100\ \text{m}, \qquad \delta = 90°$$ ($\tan\delta \to \infty$). Cinque volte la risposta statica: è il fattore $Q$.

$\Omega = 30$ rad/s (sopra la risonanza): $$A = \frac{8}{\sqrt{(400 - 900)^2 + 16 \cdot 900}} = \frac{8}{\sqrt{250\,000 + 14\,400}} = \frac{8}{514{,}2} = 0{,}0156\ \text{m}$$ $$\tan\delta = \frac{120}{-500} = -0{,}24$$ Il denominatore è negativo, quindi $\delta$ sta nel secondo quadrante: $\delta = 180° - 13{,}5° = 166{,}5°$. Il corpo si muove quasi in opposizione alla forza: domina l'inerzia.

c) Massimo dell'ampiezza

$$\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} = \sqrt{400 - 8} = 19{,}80\ \text{rad/s}$$

appena sotto $\omega_0$. L'ampiezza massima:

$$A_{\max} = \frac{8}{\sqrt{(400 - 392)^2 + 16 \cdot 392}} = \frac{8}{\sqrt{64 + 6272}} = \frac{8}{79{,}6} = 0{,}1005\ \text{m}$$

praticamente uguale ad $A(\omega_0) = 0{,}100$ m: con $Q = 5$ la differenza tra i due è dello $0{,}5\%$.

d) Potenza media e banda

A regime la potenza media fornita dal motorino è uguale a quella dissipata dall'attrito, $\langle P\rangle = \frac12 b\,(A\Omega)^2$. A $\Omega = \omega_0 = 20$ rad/s la velocità ha ampiezza $A\Omega = 0{,}100 \cdot 20 = 2$ m/s:

$$\langle P\rangle_{\max} = \tfrac12 \cdot 0{,}8 \cdot 2^2 = 1{,}6\ \text{W}$$

Controllo con la formula $\frac{F_0^2}{2b} = \frac{2{,}56}{1{,}6} = 1{,}6$ W ✓. A risonanza la velocità è in fase con la forza: il motorino spinge sempre nel verso del moto.

Banda a metà potenza. Per smorzamento debole la potenza vale metà del massimo a $\Omega \approx \omega_0 \pm \gamma$, cioè tra circa $18$ e $22$ rad/s: larghezza $\Delta\Omega = 2\gamma = 4$ rad/s $= \omega_0/Q$ ✓. Verifica diretta:

Ai due estremi la potenza è circa metà di $1{,}6$ W, come previsto (la banda non è perfettamente simmetrica perché $Q = 5$ non è molto grande).

e) Senza attrito

A $\Omega = 10$ rad/s. Con $\gamma = 0$: $$A = \frac{F_0/m}{|\omega_0^2 - \Omega^2|} = \frac{8}{300} = 0{,}0267\ \text{m}$$ quasi uguale a quella con attrito ($0{,}0264$ m): lontano dalla risonanza l'attrito conta poco, perché il denominatore è dominato da $(\omega_0^2 - \Omega^2)^2$.

A $\Omega = 20$ rad/s. La formula darebbe un denominatore nullo. Non vuol dire un'ampiezza infinita da subito: senza attrito non c'è nessun meccanismo che dissipi l'energia fornita dalla forza, e l'ampiezza cresce linearmente nel tempo senza limite (in pratica finché la molla si rompe o smette di seguire la legge di Hooke). È l'attrito a fissare l'ampiezza di regime: a risonanza $A = F_0/(b\,\omega_0)$, inversamente proporzionale a $b$.

Risultati

Errori comuni

• Prendere $\delta = \arctan(\dots)$ negativo sopra la risonanza: lo sfasamento sta tra $0$ e $180°$; con denominatore negativo si aggiunge $180°$.
• Usare $\omega_0$ come pulsazione del moto a regime: il corpo oscilla alla pulsazione $\Omega$ del motorino.
• Calcolare la potenza con l'ampiezza dello spostamento: serve quella della velocità, $A\Omega$.
• Pensare che l'attrito conti sempre molto: conta solo vicino alla risonanza.