Esercizio 61disco che rotola su una piattaforma trattenuta da un filo

Testo (tema d'esame dell'11 giugno 2024, secondo compitino, problema 2). Un disco omogeneo di massa $m = 0{,}6$ kg e raggio $R = 0{,}2$ m può muoversi con moto di puro rotolamento su una piattaforma di massa $M = 1{,}5$ kg appoggiata su un piano inclinato privo d'attrito. L'angolo di inclinazione del piano è $\vartheta = 15°$. La piattaforma è mantenuta ferma da un filo inestensibile collegato al suo estremo superiore. Determinare:

a) l'accelerazione del centro del disco e la tensione $T$ del filo; b) la velocità angolare del disco quando ha percorso lo spazio $d = 0{,}8$ m sulla piattaforma, supponendo che il disco sia inizialmente fermo.

Successivamente il filo si spezza; determinare:

c) l'accelerazione del centro di massa del sistema disco + piattaforma nella nuova situazione.

Figura. Il piano inclinato sale verso sinistra; la piattaforma (una tavola piatta) è appoggiata sul piano e il filo la collega a un punto fisso in cima. Il disco, di centro $C$, sta sopra la piattaforma e rotola verso il basso.

Impostazione

Assi. Asse $x$ parallelo al piano, verso il basso (il verso in cui scende il disco); asse $y$ perpendicolare al piano. Per il disco si prende positivo il verso di rotazione che lo fa scendere, così il vincolo di rotolamentoSe il punto di contatto non striscia, la velocità del centro è ω R e la sua accelerazione è α R.Moto di puro rotolamento → si scrive $a = \alpha R$.

Due corpi, due tipi di attrito. Tra disco e piattaforma c'è attrito (altrimenti il disco non potrebbe rotolare): poiché il disco rotola senza strisciare, è attrito statico $F_S$, di valore incognito. Tra piattaforma e piano inclinato non c'è attrito.

a) Accelerazione del disco e tensione del filo

Il disco

Forze sul disco: il peso $mg$ nel centro, la normale della piattaforma e l'attrito statico $F_S$ nel punto di contatto $P$. Si ipotizza $F_S$ diretto verso l'alto lungo il piano (opposto al moto); il segno del risultato confermerà o smentirà l'ipotesi.

• Rotazione attorno al centro $C$. Peso e normale passano per $C$ (la normale è diretta lungo il raggio) e non hanno momento. Rimane l'attrito, con braccio $R$; con $F_S$ verso l'alto, applicato in basso, il suo momento fa ruotare il disco proprio nel verso che lo fa scendere rotolando: $$F_S\,R = I_C\,\alpha = \frac12 mR^2\cdot\frac{a}{R} \quad\Longrightarrow\quad F_S = \frac12 m a$$ ($I_C = \frac12 mR^2$ è il momento d'inerzia del disco rispetto al suo asseDisco omogeneo di massa m e raggio R rispetto all'asse perpendicolare per il centro: I = m R²/2.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →.)
• Traslazione lungo $x$ (prima equazione cardinale): $$m a = m g\sin\vartheta - F_S$$

Sostituendo $F_S = \frac12 ma$: $\frac32 m a = m g\sin\vartheta$, quindi

$$a = \frac23\,g\sin\vartheta = \frac23\cdot9{,}81\cdot0{,}2588 = 1{,}69\ \text{m/s}^2, \qquad F_S = \frac12 m a = \frac13 m g\sin\vartheta = 0{,}508\ \text{N}$$

$F_S > 0$: l'attrito sul disco è davvero diretto verso l'alto ✓. È il risultato generale del rotolamento su un piano inclinato con $I_C/(mR^2) = \frac12$: la piattaforma ferma fa da piano inclinato.

Verifica con i momenti rispetto al punto di contatto. Rispetto a $P$ attrito e normale hanno momento nullo, il peso ha braccio $R\sin\vartheta$, e $I_P = \frac32 mR^2$ (Steiner): $mgR\sin\vartheta = \frac32 mR^2\,\frac{a}{R}$, di nuovo $a = \frac23 g\sin\vartheta$ ✓. È il metodo usato dalla soluzione ufficiale.

La piattaforma

La piattaforma è ferma, quindi la somma delle forze su di essa lungo $x$ è zero. Agiscono lungo $x$:

• la componente del suo peso, $Mg\sin\vartheta$, verso il basso;
• l'attrito esercitato dal disco: per il terzo principioSe il corpo A esercita una forza su B, B esercita su A una forza uguale e opposta.Leggi di Newton → è uguale e opposto a quello che la piattaforma esercita sul disco, quindi vale $F_S$ ed è diretto verso il basso;
• la tensione $T$ del filo, verso l'alto.

(La componente lungo $x$ della normale del disco è nulla, e il piano liscio non dà attrito.)

$$-T + F_S + M g\sin\vartheta = 0 \quad\Longrightarrow\quad T = F_S + Mg\sin\vartheta = 0{,}508 + 1{,}5\cdot9{,}81\cdot0{,}2588 = 0{,}508 + 3{,}808 = 4{,}32\ \text{N}$$

Interpretazione. Il filo deve trattenere la piattaforma e in più la spinta verso il basso che il disco le dà rotolando. Si noti che $T$ non è il peso totale lungo il piano, $(M + m)g\sin\vartheta = 5{,}33$ N: il disco accelera, e la parte del suo peso che lo fa accelerare non grava sul filo.

b) Velocità angolare dopo $d = 0{,}8$ m

Il disco parte da fermo e, rotolando, il suo centro percorre $d$ lungo il piano, scendendo di una quota $d\sin\vartheta$. La piattaforma è ferma, quindi il punto di contatto è fermo: l'attrito statico non compie lavoroL'attrito statico nel puro rotolamento è applicato nel punto di contatto, che ha velocità nulla, quindi il suo lavoro è zero.Energia cinetica e lavoro nella rotazione → e l'energia meccanica del disco si conserva:

$$m g\,d\sin\vartheta = \frac12 I_P\,\omega^2 = \frac12\cdot\frac32 mR^2\,\omega^2 = \frac34 mR^2\omega^2$$

dove si è scritta l'energia cinetica come pura rotazione attorno all'asse istantaneo per $P$ (equivalente a $\frac12 mv^2 + \frac12 I_C\omega^2$ con $v = \omega R$). Quindi

$$\omega = \sqrt{\frac{4 g\,d\sin\vartheta}{3R^2}} = \sqrt{\frac{4\cdot9{,}81\cdot0{,}8\cdot0{,}2588}{3\cdot0{,}04}} = \sqrt{67{,}7} = 8{,}23\ \text{rad/s}$$

Controllo con la cinematica. L'accelerazione è costante, quindi vale la formula senza il tempov² = v0² + 2 a (x − x0), valida con accelerazione costante.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →: $v = \sqrt{2ad} = \sqrt{2\cdot1{,}69\cdot0{,}8} = 1{,}65$ m/s, e $\omega = v/R = 8{,}23$ rad/s ✓.

c) Accelerazione del CM dopo che il filo si spezza

Ora la piattaforma è libera di scivolare sul piano liscio, e il moto di disco e piattaforma diventa complicato (il disco continua a rotolare sulla piattaforma, che a sua volta scivola). Ma la domanda riguarda il centro di massa del sistema, e per quello basta la prima equazione cardinaleLa somma delle sole forze esterne è uguale alla massa totale per l'accelerazione del centro di massa; le forze interne si cancellano a coppie.Corpo rigido e suo centro di massa →:

$$(m + M)\,\vec a_{CM} = \vec F^{(e)}$$

Forze esterne sul sistema disco + piattaforma: i due pesi e la normale del piano inclinato (perpendicolare al piano). L'attrito tra disco e piattaforma è una forza interna e si cancella. Il piano è liscio, il filo non c'è più. Lungo $x$ restano solo le componenti dei pesi:

$$(m + M)\,a_{CM} = (m + M)\,g\sin\vartheta \quad\Longrightarrow\quad a_{CM} = g\sin\vartheta = 9{,}81\cdot0{,}2588 = 2{,}54\ \text{m/s}^2$$

Lungo $y$ il CM non accelera (il sistema resta appoggiato al piano), quindi $\vec a_{CM}$ è parallela al piano, verso il basso.

Interpretazione. Il sistema nel suo insieme si comporta come un unico corpo che scivola su un piano liscio: il CM ha la stessa accelerazione di un blocco senza attrito, qualunque cosa facciano i singoli pezzi.

Risultati

La soluzione ufficiale riporta $T = 4{,}33$ N, $\omega = 8{,}25$ rad/s e $a_{CM} = 2{,}55\ \text{m/s}^2$: differenze di arrotondamento nell'ultima cifra.

Errori comuni

• Scrivere $F_S = \mu_s N$: l'attrito statico vale quanto serve per il rotolamento ($\frac13 mg\sin\vartheta$); qui il coefficiente d'attrito non è neppure dato.
• Dimenticare che l'attrito agisce anche sulla piattaforma, con verso opposto: è per questo che la tensione supera $Mg\sin\vartheta$.
• Mettere l'attrito tra disco e piattaforma nella prima equazione cardinale del sistema al punto c): è una forza interna.
• Usare solo $\frac12 mv^2$ come energia cinetica del disco: manca l'energia di rotazione.