Urti tra punti materiali

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Prima: Conservazione della quantità di moto, Teoremi di König ed energia di un sistema, Quantità di moto e impulso. Seguito: Urto elastico e urto completamente anelastico (le formule dei due casi estremi), e per i corpi estesi Urti con corpi rigidi. Esercizi: Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto, Esercizio 28 · due pendoli tenuti aperti da una molla, Esercizio 49 · biglia colpita da una sferetta, Esercizio 50 · proiettile incastrato in un blocco con molla.

Che cos'è un urto

Un urto è un'interazione tra due corpi che dura un intervallo di tempo $\Delta t$ molto breve rispetto ai tempi del resto del moto, durante il quale i corpi si scambiano forze molto intense (forze impulsive). Due palle da biliardo restano a contatto per circa un millesimo di secondo, ma in quel millesimo la forza tra loro può superare il migliaio di newton.

Per questo un urto si studia confrontando due soli istanti: immediatamente prima e immediatamente dopo. Quello che succede durante (deformazioni, forze istantanee) di solito non si conosce e non serve conoscerlo. Si assume anche che durante l'urto le posizioni non cambino: in un tempo così breve i corpi non fanno in tempo a spostarsi apprezzabilmente, cambiano solo le velocità.

Che cosa si conserva

La quantità di moto: sempre (o quasi)

Le forze che i due corpi si scambiano sono interne al sistema "corpo 1 + corpo 2". Le forze esterne ordinarie (peso, attrito, molle collegate a pareti) non sono impulsive e nel tempo $\Delta t$ hanno impulso trascurabile. Quindi

$\boxed{m_1 \vec v_{1i} + m_2 \vec v_{2i} = m_1 \vec v_{1f} + m_2 \vec v_{2f}}$

È un'uguaglianza tra vettori: in un urto nel piano dà due equazioni, una per componente. Equivalentemente: la velocità del CM non cambia nell'urto.

Eccezione: se uno dei corpi è legato a un vincolo che reagisce impulsivamente (un perno, un muro, un filo che si tende di colpo), la quantità di moto non si conserva, o si conserva solo lungo le direzioni in cui il vincolo non agisce. Un pendolo che nel punto più basso urta orizzontalmente un altro corpo va bene: il filo è verticale e l'urto è orizzontale, quindi la tensione non ha componente lungo $x$ e $P_x$ si conserva (tema del 17 giugno 2021, Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto).

L'energia cinetica: dipende

L'energia cinetica totale può diminuire: parte di essa va in deformazioni permanenti, calore, suono. Secondo il primo teorema di König, $K = \frac12 M v_{CM}^2 + K'$ , e siccome $v_{CM}$ non cambia, può cambiare solo $K'$ , l'energia del moto relativo al CM. Classificazione:

tipo di urto	energia cinetica	che cosa succede
elastico	si conserva: $K_f = K_i$	i corpi rimbalzano senza perdite (biglie d'acciaio, palle da biliardo, molecole di un gas)
anelastico	diminuisce: $K_f < K_i$	rimbalzano ma perdono energia (palla di gomma reale)
completamente anelastico	diminuisce il più possibile: tutta $K'$ è persa	i corpi restano attaccati e proseguono insieme con $v_{CM}$ (proiettile che si conficca, due vagoni che si agganciano)

L'energia dissipata nell'urto è $E_{diss} = K_i - K_f \ge 0$ .

(Esistono anche urti "superelastici", con $K_f > K_i$ , quando nell'urto si libera energia interna, per esempio una carica esplosiva tra i due corpi. Le esplosioni sono di questo tipo.)

Coefficiente di restituzione

Per un urto centrale (lungo una retta, in una dimensione) si misura quanto "rimbalzano" i corpi con il coefficiente di restituzione

$e = -\frac{v_{1f} - v_{2f}}{v_{1i} - v_{2i}} = \frac{\text{velocità relativa di allontanamento}}{\text{velocità relativa di avvicinamento}}$

$e = 1$ : urto elastico (si allontanano veloci come si sono avvicinati);
$0 < e < 1$ : urto anelastico;
$e = 0$ : urto completamente anelastico (dopo l'urto la velocità relativa è nulla: restano attaccati).

Insieme alla conservazione della quantità di moto, $e$ dà la seconda equazione che serve per trovare le due velocità finali.

Impulso ricevuto in un urto

Per il teorema dell'impulso applicato a un solo corpo, l'impulso che riceve nell'urto è la variazione della sua quantità di moto:

$\vec J_1 = \int_{\Delta t} \vec F_{12}\,dt = m_1 \vec v_{1f} - m_1 \vec v_{1i}$

e per il terzo principio il secondo corpo riceve l'impulso opposto, $\vec J_2 = -\vec J_1$ .

Esempio da esame (tema del 4 febbraio 2022). Due sferette di $m = 0{,}2$ kg si scontrano arrivando ciascuna a $v = 0{,}53$ m/s e rimbalzano con velocità di modulo $v' = 0{,}4$ m/s. Quella di sinistra arriva verso destra ( $+0{,}53$ m/s) e riparte verso sinistra ( $-0{,}4$ m/s):

$J_x = m\,(v_f - v_i) = 0{,}2\,(-0{,}4 - 0{,}53) = -0{,}186\ \text{N}\cdot\text{s}$

Il segno meno vuol dire che l'impulso è diretto verso sinistra, cioè contro il moto iniziale. Questo urto è anelastico: $e = \frac{0{,}8}{1{,}06} = 0{,}75$ . Svolgimento completo: Esercizio 28 · due pendoli tenuti aperti da una molla.

Urti nel piano

Se le velocità non stanno tutte sulla stessa retta (urto obliquo), la conservazione della quantità di moto si scrive per componenti:

$m_1 v_{1i,x} + m_2 v_{2i,x} = m_1 v_{1f,x} + m_2 v_{2f,x} \qquad m_1 v_{1i,y} + m_2 v_{2i,y} = m_1 v_{1f,y} + m_2 v_{2f,y}$

Esempio. Una pallina di $0{,}2$ kg a $3$ m/s lungo $x$ urta una pallina ferma di $0{,}3$ kg e dopo l'urto si muove a $1{,}2$ m/s lungo $y$ . Con che velocità parte la seconda?

lungo $x$ : $0{,}2 \cdot 3 = 0{,}3\,v_{2x} \Rightarrow v_{2x} = 2$ m/s;
lungo $y$ : $0 = 0{,}2 \cdot 1{,}2 + 0{,}3\,v_{2y} \Rightarrow v_{2y} = -0{,}8$ m/s.

Quindi $v_2 = \sqrt{2^2 + 0{,}8^2} = 2{,}15$ m/s, a $\arctan(-0{,}8/2) = -21{,}8°$ sotto l'asse $x$ . Controllo energetico: $K_i = 0{,}9$ J, $K_f = \frac12 \cdot 0{,}2 \cdot 1{,}44 + \frac12 \cdot 0{,}3 \cdot 4{,}64 = 0{,}84$ J, quindi l'urto è anelastico e dissipa $0{,}06$ J (se fosse uscito $K_f > K_i$ i dati sarebbero stati impossibili senza una fonte di energia).

Come si risolve un problema con un urto

Quasi sempre il problema ha tre fasi, ciascuna con le sue leggi:

Prima dell'urto: il moto porta i corpi al punto d'impatto. Di solito si usa la conservazione dell'energia (un pendolo che scende, un blocco spinto da una molla) o la cinematica (un proiettile).
L'urto: conservazione della quantità di moto (o del momento angolare rispetto a un perno), più l'informazione sul tipo di urto (elastico, attaccati, una velocità finale nota).
Dopo l'urto: di nuovo energia o dinamica, con le nuove velocità come condizioni iniziali.

Errore tipico: usare la conservazione dell'energia attraverso l'urto. In un urto anelastico l'energia si perde proprio lì: si conserva prima e dopo, ma non a cavallo dell'urto.

Errori comuni

Conservare l'energia cinetica in un urto che non è dichiarato elastico. Se il testo non dice "elastico", non lo è.
Dimenticare un vincolo impulsivo (perno, parete): in quel caso $\vec P$ non si conserva.
Scrivere le velocità senza segno in una dimensione: un corpo che rimbalza cambia segno della velocità.
Considerare l'impulso sul sistema invece che sul singolo corpo: l'impulso totale delle forze interne è nullo, quello ricevuto da un corpo no.