Esercizio 82ciclo con isoterma, isocora e adiabatica

Testo (tema d'esame del 18 marzo 2006, problema 3). Due moli di gas ideale biatomico sono contenute in un recipiente chiuso da un pistone, inizialmente con volume $V_A = 30$ dm³, in contatto termico con un serbatoio a temperatura $T_A = 400$ K (stato $A$). Mantenendo il contatto termico, il gas viene fatto espandere reversibilmente fino allo stato $B$ con pressione $p_B = 1{,}33 \cdot 10^5$ Pa. Il pistone viene quindi bloccato ed il gas viene messo in contatto termico con un secondo serbatoio, che sostituisce il primo, alla temperatura $T_C = 326$ K, finché il gas raggiunge l'equilibrio termico col secondo serbatoio (stato $C$). Infine si riporta il gas nello stato iniziale $A$ con una compressione adiabatica reversibile. Si disegni nel diagramma di Clapeyron la curva rappresentativa del ciclo $A$-$B$-$C$-$A$ descritto, e si determini (si ricordi che per un gas ideale biatomico $c_V = \frac52 R$, con $R = 8{,}31$ J/(K·mol)):

a) il volume dello stato $B$ ed il calore assorbito nella trasformazione $AB$; b) il calore scambiato nella trasformazione $BC$; c) il rendimento del ciclo.

Impostazione

Le tre trasformazioni (Trasformazioni dei gas idealiPer ogni trasformazione di un gas ideale si calcolano ΔU = n c_V ΔT, il lavoro W e il calore Q = ΔU + W. Isocora: W = 0. Isobara: W = nRΔT, Q = n c_p ΔT. Isoterma reversibile: ΔU = 0, Q = W = nRT ln(Vf/Vi). Adiabatica reversibile: Q = 0, pV^γ costante. Adiabatica irreversibile: n c_V ΔT = −p_est ΔV.Trasformazioni dei gas ideali →):

Per il biatomico $c_V = \frac52 R = 20{,}8$ J/(mol·K), $\gamma = \frac75$.

a) Volume di $B$ e calore in $AB$

$AB$ è isoterma, quindi $T_B = T_A = 400$ K. Dall'equazione di stato (Gas ideali - equazione di statoUn gas abbastanza rarefatto obbedisce all'equazione di stato pV = nRT, con R = 8,31 J/(mol·K) e T in kelvin. Riassume le leggi di Boyle (isoterma), di Gay-Lussac (isobara e isocora) e di Avogadro. Per n fisso: pV/T è costante tra due stati qualsiasi.Gas ideali - equazione di stato →):

$$V_B = \frac{n R T_B}{p_B} = \frac{2 \cdot 8{,}31 \cdot 400}{1{,}33 \cdot 10^5} = \frac{6648}{133\,000} = 0{,}0500\ \text{m}^3 = 50\ \text{dm}^3$$

Calore. In un'isoterma del gas ideale l'energia interna non cambia (dipende solo da $T$), quindi per il primo principio il calore assorbito è uguale al lavoro compiuto (Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica →):

$$Q_{AB} = W_{AB} = n R T_A \ln\frac{V_B}{V_A} = 6648 \cdot \ln\frac{50}{30} = 6648 \cdot 0{,}511 = 3394\ \text{J}$$

Positivo: il gas assorbe calore dal primo serbatoio e lo trasforma tutto in lavoro.

b) Calore in $BC$

Volume costante: niente lavoro, il calore è tutto variazione di energia interna (Energia interna e calori specifici dei gas idealiL'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura: ΔU = n c_V ΔT in qualunque trasformazione. I calori molari a volume e a pressione costante sono legati dalla relazione di Mayer c_p = c_V + R. Monoatomico: c_V = 3R/2; biatomico: c_V = 5R/2; γ = c_p/c_V.Energia interna e calori specifici dei gas ideali →):

$$Q_{BC} = n c_V\,(T_C - T_B) = 2 \cdot 20{,}78 \cdot (326 - 400) = 41{,}55 \cdot (-74) = -3075\ \text{J}$$

Negativo: il gas cede calore al secondo serbatoio, più freddo.

Controllo di coerenza. L'adiabatica $CA$ deve davvero riportare il gas in $A$: per Poisson $T V^{\gamma - 1}$ è costante lungo un'adiabatica reversibile. In $C$: $326 \cdot 50^{0{,}4} = 326 \cdot 4{,}78 = 1559$; in $A$: $400 \cdot 30^{0{,}4} = 400 \cdot 3{,}90 = 1559$ ✓. I dati del testo sono coerenti (è per questo che $T_C$ vale proprio $326$ K).

c) Rendimento

Nel tratto $CA$ (adiabatico) $Q_{CA} = 0$. Il gas assorbe calore solo in $AB$ e lo cede solo in $BC$. Il lavoro del ciclo è la somma dei calori (in un ciclo $\Delta U = 0$):

$$W = Q_{AB} + Q_{BC} = 3394 - 3075 = 319\ \text{J}$$

$$\eta = \frac{W}{Q_{ass}} = 1 + \frac{Q_{BC}}{Q_{AB}} = 1 - \frac{3075}{3394} = 0{,}094$$

Circa il $9{,}4\%$ (Macchine termiche e frigorifereUna macchina termica ripete un ciclo: assorbe calore, ne cede una parte e trasforma il resto in lavoro, con rendimento η = W/Qass = 1 − |Qced|/Qass. Il frigorifero percorre il ciclo al contrario. Cicli di Stirling, Otto e Diesel.Macchine termiche e frigorifere →).

Lavoro nella compressione adiabatica. $W_{CA} = -\Delta U_{CA} = -n c_V (T_A - T_C) = -3075$ J: il gas subisce lavoro e si riscalda da $326$ a $400$ K. Si nota che vale proprio $Q_{BC}$ cambiato di segno: l'energia interna persa nell'isocora viene restituita dall'adiabatica.

Confronto con Carnot. Una macchina di Carnot tra le stesse temperature estreme avrebbe $\eta_C = 1 - \frac{326}{400} = 0{,}185$, il doppio (Ciclo di Carnot e teorema di CarnotIl ciclo di Carnot (due isoterme e due adiabatiche reversibili) ha rendimento 1 − T1/T2. Teorema di Carnot: nessuna macchina tra due serbatoi fa meglio di una reversibile, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento. Da qui la temperatura termodinamica assoluta.Ciclo di Carnot e teorema di Carnot →). Il motivo: nell'isocora il gas cede calore a un serbatoio a $326$ K mentre la sua temperatura scende da $400$ a $326$ K, cioè lo scambio avviene con una differenza di temperatura finita. Per essere reversibile l'isocora richiederebbe infinite sorgenti a temperature intermedie; con un solo serbatoio a $326$ K, come dice il testo, il tratto $BC$ è irreversibile, e un ciclo con un tratto irreversibile ha rendimento minore di quello di Carnot (Secondo principio della termodinamicaNon esiste una macchina ciclica che trasformi in lavoro tutto il calore preso da un solo serbatoio (Kelvin-Planck), né una che porti calore dal freddo al caldo senza lavoro (Clausius): i due enunciati sono equivalenti. Trasformazioni reversibili e irreversibili.Secondo principio della termodinamica →).

Risultati

Errori comuni

• Calcolare $Q_{AB}$ con $c_p \Delta T$ o $c_V \Delta T$: in un'isoterma $\Delta T = 0$ ma il calore non è zero; vale $Q = W = nRT\ln(V_f/V_i)$.
• Usare $c_p$ nell'isocora: a volume costante si usa $c_V$.
• Mettere un calore nell'adiabatica: per definizione $Q_{CA} = 0$; il lavoro di $CA$ c'è, ma è già contato nel bilancio attraverso i calori.
• Dividere per il calore netto invece che per quello assorbito nel rendimento.