Urto elastico e urto completamente anelastico

Prima: Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali → (che cosa si conserva e perché). Esercizi: Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto (urto anelastico, con il confronto con il caso elastico), Esercizio 49 · biglia colpita da una sferetta e Esercizio 50 · proiettile incastrato in un blocco con molla (completamente anelastici).

In tutta la nota l'urto è centrale (tutte le velocità sulla stessa retta, asse $x$), le velocità sono numeri con segno e gli indici $i$, $f$ indicano "subito prima" e "subito dopo".

Urto completamente anelastico

Dopo l'urto i due corpi restano attaccati e si muovono con la stessa velocità $V$. La sola conservazione della quantità di moto basta a trovarla:

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2)\,V \quad \Longrightarrow \quad \boxed{V = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} = v_{CM}}$$

Il corpo unico prosegue con la velocità che il CM aveva prima dell'urto (che l'urto non cambia).

Energia dissipata

Per il primo teorema di KönigTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema → l'energia prima dell'urto è $\frac12 M v_{CM}^2 + K'$; dopo resta solo $\frac12 M V^2 = \frac12 M v_{CM}^2$, perché nel sistema del CM il corpo unico è fermo. Quindi si perde tutta l'energia del moto relativo:

$$\boxed{E_{diss} = K' = \tfrac12\,\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,(v_{1i} - v_{2i})^2}$$

È la massima energia che un urto può dissipare compatibilmente con la conservazione della quantità di moto: per questo l'urto si dice "completamente" anelastico.

Caso del bersaglio fermo ($v_{2i} = 0$): la frazione di energia persa è

$$\frac{E_{diss}}{K_i} = \frac{\frac12 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_{1i}^2}{\frac12 m_1 v_{1i}^2} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$$

Un proiettile leggero che si conficca in un blocco pesante perde quasi tutta la sua energia; un camion che tampona un'auto ferma ne perde una frazione piccola.

Il pendolo balistico

Serve a misurare la velocità di un proiettile. Un proiettile di massa $m$ e velocità $v$ incognita si conficca in un blocco di massa $M$ appeso a un filo, e il blocco sale di un'altezza $h$ misurabile. Due fasi, con due leggi diverse:

1. Urto (completamente anelastico, il filo è verticale e non dà impulsi orizzontali): $m v = (m + M)\,V$.
2. Salita (il filo non compie lavoro, nessun attrito): si conserva l'energia meccanica, $\frac12 (m + M) V^2 = (m + M) g h$, quindi $V = \sqrt{2gh}$.

Mettendo insieme:

$$v = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh}$$

Numeri: $m = 10$ g, $M = 2$ kg, $h = 10$ cm. $V = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}1} = 1{,}40$ m/s e $v = \frac{2{,}01}{0{,}01} \cdot 1{,}40 = 282$ m/s. L'energia cinetica del proiettile era $\frac12 \cdot 0{,}01 \cdot 282^2 \approx 396$ J, quella del blocco dopo l'urto solo $\frac12 \cdot 2{,}01 \cdot 1{,}40^2 \approx 1{,}97$ J: si è perso il $99{,}5\%$ $\left(= \frac{M}{m + M}\right)$.

Perché non si può usare l'energia dall'inizio alla fine: l'equazione $\frac12 m v^2 = (m + M) g h$ sarebbe sbagliata, perché nell'urto quasi tutta l'energia si dissipa. L'energia si conserva solo dopo l'urto.

Urto elastico

Si conservano sia la quantità di moto sia l'energia cinetica:

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$

$$\tfrac12 m_1 v_{1i}^2 + \tfrac12 m_2 v_{2i}^2 = \tfrac12 m_1 v_{1f}^2 + \tfrac12 m_2 v_{2f}^2$$

Due equazioni nelle due incognite $v_{1f}$, $v_{2f}$.

Il trucco per risolvere

La seconda equazione è quadratica; conviene non sostituire brutalmente ma raccogliere i termini di ciascun corpo da una parte:

$$m_1 (v_{1i} - v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i}) \qquad \text{(quantità di moto)}$$

$$m_1 (v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2 (v_{2f}^2 - v_{2i}^2) \qquad \text{(energia, moltiplicata per 2)}$$

Scomponendo le differenze di quadrati, $m_1 (v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i})(v_{2f} + v_{2i})$, e dividendo per la prima equazione (si può, se l'urto avviene davvero e quindi $v_{1i} \ne v_{1f}$):

$$v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f} \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{v_{1f} - v_{2f} = -(v_{1i} - v_{2i})}$$

Nell'urto elastico la velocità relativa si inverte (coefficiente di restituzione $e = 1$). Questa equazione è lineare: insieme alla conservazione della quantità di moto dà subito

$$\boxed{v_{1f} = \frac{(m_1 - m_2)\,v_{1i} + 2 m_2\,v_{2i}}{m_1 + m_2} \qquad v_{2f} = \frac{(m_2 - m_1)\,v_{2i} + 2 m_1\,v_{1i}}{m_1 + m_2}}$$

(la seconda si ottiene dalla prima scambiando gli indici 1 e 2).

Visto dal CM è ancora più semplice: nel sistema del CM ciascun corpo rimbalza con la stessa velocità, cambiata di segno, $v_{1f}' = -v_{1i}'$ e $v_{2f}' = -v_{2i}'$. Tornando al laboratorio, $v_f = 2 v_{CM} - v_i$ per ciascun corpo: è un modo rapido di ricordare le formule.

Casi particolari (bersaglio fermo, $v_{2i} = 0$)

Le formule diventano $v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i}$ e $v_{2f} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i}$.

Esempio numerico. $m_1 = 0{,}3$ kg a $2$ m/s urta elasticamente $m_2 = 0{,}1$ kg ferma: $v_{1f} = \frac{0{,}2}{0{,}4} \cdot 2 = 1$ m/s, $v_{2f} = \frac{0{,}6}{0{,}4} \cdot 2 = 3$ m/s. Verifiche: quantità di moto $0{,}6 = 0{,}3 + 0{,}3$ ✓; energia $0{,}6 = 0{,}15 + 0{,}45$ J ✓; velocità relativa $2 \to -(1 - 3) = 2$, invertita ✓.

Frazione di energia trasferita al bersaglio: $\frac{\frac12 m_2 v_{2f}^2}{\frac12 m_1 v_{1i}^2} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$. Vale $1$ (tutta) solo per masse uguali. È il motivo per cui nei reattori nucleari i neutroni si rallentano facendoli urtare contro nuclei leggeri (idrogeno, carbonio): urti tra masse simili tolgono molta energia al neutrone.

Confronto sullo stesso urto

Tema del 17 giugno 2021: $m_1 = 0{,}15$ kg a $v_{1i} = 1{,}45$ m/s urta $m_2 = 0{,}09$ kg ferma.

L'urto reale sta in mezzo tra i due casi estremi, come deve. Svolgimento nell'Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto.

Riassunto

Errori comuni

• Usare le formule dell'urto elastico per un urto che non lo è, o viceversa.
• Conservare l'energia attraverso un urto anelastico (pendolo balistico: l'energia si conserva solo nella salita successiva).
• Dimenticare che le formule valgono con i segni: se il secondo corpo va incontro al primo, $v_{2i}$ è negativa.
• Dividere per $v_{1i} - v_{1f}$ quando è zero: corrisponde al caso "nessun urto", che va escluso a parte.