Esercizio 71oscillatore smorzato in un fluido

Testo (esercizio di allenamento sull'oscillatore smorzato). Un corpo di massa $m = 0{,}25$ kg, appeso a una molla di costante $k = 16$ N/m, è immerso in un liquido che esercita su di esso una forza viscosa $-b\,\vec v$ con $b = 0{,}3$ kg/s. Il corpo viene spostato di $x_0 = 5$ cm dalla posizione di equilibrio e lasciato andare da fermo. Determinare:

a) la pulsazione propria, il coefficiente di smorzamento, il regime del moto, la pulsazione e il periodo delle oscillazioni; b) l'ampiezza dopo $3$ oscillazioni complete, e dopo quante oscillazioni l'ampiezza si è dimezzata; c) l'energia meccanica iniziale, quella dopo un periodo e la frazione dissipata nella prima oscillazione; d) il fattore di qualità e il valore di $b$ per lo smorzamento critico; e) dopo quanto tempo l'energia si è ridotta all'$1\%$ di quella iniziale.

Impostazione

Asse $x$ verticale, origine nella posizione di equilibrio. Il peso sposta solo l'equilibrio della molla e non entra nell'equazione per lo spostamento dall'equilibrio (Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →). Restano la forza elastica $-kx$ e quella viscosa $-b\dot x$ (la spinta di Archimede è costante e, come il peso, sposta solo l'equilibrio):

$$m\ddot x + b\dot x + kx = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0$$

È l'equazione dell'Oscillatore armonico smorzatoMassa, molla e attrito viscoso: m x'' + b x' + k x = 0. Con γ = b/(2m) e ω₀ = √(k/m) ci sono tre regimi: sottosmorzato (γ < ω₀, oscillazioni con ampiezza che decade come e^(−γt) e pulsazione ω₁ = √(ω₀² − γ²)), critico (γ = ω₀, ritorno più rapido senza oscillare) e sovrasmorzato (γ > ω₀). L'energia decade come e^(−2γt); il fattore di qualità è Q = ω₀/(2γ).Oscillatore armonico smorzato →.

a) Le grandezze del moto

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{16}{0{,}25}} = 8\ \text{rad/s}, \qquad \gamma = \frac{b}{2m} = \frac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6\ \text{s}^{-1}$$

Regime. $\gamma = 0{,}6 < \omega_0 = 8$: sottosmorzato, il corpo oscilla con ampiezza che decresce. La pulsazione delle oscillazioni:

$$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{64 - 0{,}36} = 7{,}98\ \text{rad/s}, \qquad T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = 0{,}788\ \text{s}$$

Senza liquido il periodo sarebbe $2\pi/\omega_0 = 0{,}785$ s: lo smorzamento allunga il periodo di appena lo $0{,}3\%$. L'effetto vistoso dello smorzamento è sull'ampiezza, non sul ritmo.

Legge oraria. $x(t) = A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_1 t - \varphi)$. Le condizioni iniziali $x(0) = x_0$, $\dot x(0) = 0$ danno $\tan\varphi = \gamma/\omega_1 = 0{,}075$ e $A_0 = x_0/\cos\varphi = 5{,}01$ cm: praticamente $A_0 \approx x_0$ e $\varphi \approx 0$, perché lo smorzamento è debole.

b) Ampiezza dopo $3$ oscillazioni e tempo di dimezzamento

Dopo ogni periodo il corpo torna allo stesso punto della fase (per esempio a un massimo) con l'ampiezza moltiplicata per

$$e^{-\gamma T_1} = e^{-0{,}6 \cdot 0{,}788} = e^{-0{,}473} = 0{,}623$$

($\gamma T_1 = 0{,}473$ è il decremento logaritmico). Dopo $3$ oscillazioni:

$$A_3 = x_0 \cdot 0{,}623^3 = 5 \cdot 0{,}242 = 1{,}21\ \text{cm}$$

Dimezzamento. Si cerca $n$ (numero di oscillazioni, anche non intero) tale che $e^{-n\gamma T_1} = \frac12$:

$$n = \frac{\ln 2}{\gamma T_1} = \frac{0{,}693}{0{,}473} = 1{,}47$$

L'ampiezza si dimezza dopo circa una oscillazione e mezza, cioè dopo $t = \ln 2/\gamma = 1{,}16$ s.

c) Energia iniziale, dopo un periodo e frazione dissipata

Iniziale. Il corpo è fermo a $x_0$: tutta l'energia è elastica (misurata dall'equilibrio, vedi la molla verticale in Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →):

$$E_0 = \tfrac12 k x_0^2 = \tfrac12 \cdot 16 \cdot 0{,}05^2 = 0{,}020\ \text{J}$$

Dopo un periodo. Il corpo è di nuovo fermo in un massimo, con ampiezza $0{,}623\,x_0$. L'energia va con il quadrato dell'ampiezza:

$$E_1 = E_0 \cdot 0{,}623^2 = 0{,}020 \cdot 0{,}389 = 0{,}0078\ \text{J}$$

Frazione dissipata nella prima oscillazione:

$$\frac{E_0 - E_1}{E_0} = 1 - e^{-2\gamma T_1} = 1 - 0{,}389 = 0{,}61$$

Il $61\%$ dell'energia se ne va in una sola oscillazione e diventa calore nel liquido. Attenzione all'approssimazione $\Delta E/E \approx 2\pi/Q$: qui darebbe $0{,}94$, molto lontano dal valore vero, perché vale solo per smorzamenti piccoli ($Q$ grande), quando l'esponente $2\gamma T_1$ è piccolo e $1 - e^{-y} \approx y$.

d) Fattore di qualità e smorzamento critico

$$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{8}{1{,}2} = 6{,}7$$

Un oscillatore piuttosto smorzato: dopo poche oscillazioni è quasi fermo.

Smorzamento critico. Si ha per $\gamma = \omega_0$, cioè $\frac{b}{2m} = \sqrt{\frac{k}{m}}$:

$$b_{crit} = 2\sqrt{k m} = 2\sqrt{16 \cdot 0{,}25} = 4\ \text{kg/s}$$

Con un liquido $13$ volte più viscoso il corpo tornerebbe all'equilibrio senza oscillare, nel tempo più breve possibile.

e) Tempo per ridurre l'energia all'$1\%$

L'energia decade come $e^{-2\gamma t}$:

$$e^{-2\gamma t} = 0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 100}{2\gamma} = \frac{4{,}61}{1{,}2} = 3{,}84\ \text{s}$$

cioè circa $4{,}9$ oscillazioni. A quel punto l'ampiezza è il $10\%$ di quella iniziale ($\sqrt{0{,}01}$), cioè $5$ mm.

Risultati

Errori comuni

• Mettere il peso nell'equazione per lo spostamento dall'equilibrio: sposta solo il centro di oscillazione.
• Far decadere l'energia come l'ampiezza: l'energia va con il quadrato, $e^{-2\gamma t}$.
• Usare $\Delta E/E \approx 2\pi/Q$ con smorzamento non piccolo: si usa il valore esatto $1 - e^{-2\gamma T_1}$.
• Calcolare $\gamma$ come $b/m$: con l'equazione scritta come $\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0$, $\gamma = b/(2m)$.