Esercizio 45pendolo appeso a una piattaforma libera

In questa pagina 8

Testo (tema d'esame del 2 settembre 2022, problema 1). Un pendolo semplice di massa $m = 0{,}1$ kg è appeso a una struttura di massa trascurabile, montata su una piattaforma di massa $M = 0{,}5$ kg libera di muoversi su un piano orizzontale privo di attrito (vedi figura). Il filo inestensibile di lunghezza $\ell = 0{,}8$ m che sostiene la massa $m$ forma inizialmente l'angolo $\vartheta = 41{,}4°$ con la direzione verticale, ed il punto di sospensione $O$ del pendolo è sulla verticale del centro della piattaforma, con coordinata orizzontale $x = 0$ ; il pendolo e la piattaforma sono fermi. Il pendolo viene lasciato libero di muoversi sotto l'azione della forza peso. Determinare:

a) la posizione iniziale del CM del sistema pendolo + piattaforma: $x_{CM}$ ; b) la quantità di moto totale del sistema nell'istante finale in cui la massa sospesa passa per la direzione verticale: $P_f$ (suggerimento: si osservi che la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è sempre diretta verticalmente); c) la velocità finale assoluta (ossia nel sistema di riferimento inerziale solidale con il piano su cui poggia la piattaforma) di $m$ : $v_m$ ; d) la velocità relativa di $m$ rispetto alla piattaforma: $v_m'$ .

Figura. Asse $x$ orizzontale lungo il piano, asse $y$ verticale verso l'alto passante per $x = 0$ . La piattaforma è un rettangolo appoggiato sul piano, centrato in $x = 0$ ; sopra di essa un'asta verticale con un braccio porta il punto di sospensione $O$ , sulla verticale $x = 0$ . Il filo parte da $O$ e scende verso sinistra, formando l'angolo $\vartheta$ con la verticale; la pallina $m$ sta quindi a sinistra dell'asse $y$ .

Impostazione

Il sistema e le forze

Si considera come sistema pendolo + piattaforma (la struttura ha massa trascurabile). Le forze:

forza	interna o esterna	direzione
peso di $m$ e peso di $M$	esterna (la esercita la Terra)	verticale
reazione del piano sulla piattaforma	esterna; il piano è liscio, quindi è solo normale	verticale
tensione del filo	interna	lungo il filo

Tutte le forze esterne sono verticali. È l'osservazione chiave del suggerimento: la risultante delle forze esterne ha componente orizzontale nulla, $R_x^{(E)} = 0$ .

Le conseguenze

Lungo $x$ la quantità di moto si conserva: $P_x$ = costante. Siccome all'inizio tutto è fermo, $P_x = 0$ sempre.
Equivalentemente il centro di massa non si sposta mai in orizzontale: $x_{CM}$ resta quella iniziale.
L'energia meccanica si conserva: i pesi sono conservativi, la reazione del piano liscio è perpendicolare allo spostamento della piattaforma (non fa lavoro), e la tensione del filo inestensibile, presa nel suo complesso (sulla pallina e sulla struttura), compie lavoro totale nullo.

a) Posizione iniziale del CM

Servono le ascisse dei due corpi:

la piattaforma (con la struttura) ha il CM in $x_M = 0$ (è centrata sull'asse $y$ );
la pallina sta a sinistra di $O$ , a distanza orizzontale $\ell \sin\vartheta$ (il filo è l'ipotenusa, lungo $\ell$ , e l'angolo $\vartheta$ è misurato dalla verticale, quindi il cateto orizzontale è opposto all'angolo): $x_m = -\ell\sin\vartheta = -0{,}8 \cdot \sin 41{,}4° = -0{,}8 \cdot 0{,}661 = -0{,}529\ \text{m}$

Media pesata con le masse:

$x_{CM} = \frac{m\,x_m + M\,x_M}{m + M} = \frac{0{,}1 \cdot (-0{,}529) + 0{,}5 \cdot 0}{0{,}1 + 0{,}5} = \frac{-0{,}0529}{0{,}6} = -0{,}088\ \text{m}$

Il CM sta molto più vicino alla piattaforma che alla pallina, perché la piattaforma è cinque volte più pesante.

b) Quantità di moto totale quando il filo è verticale

Componente orizzontale. Si conserva, ed era nulla all'inizio (tutto fermo):

$P_{f,x} = P_{i,x} = 0$

Componente verticale. Nell'istante in cui il filo passa per la verticale la pallina è nel punto più basso della sua traiettoria rispetto a $O$ : la sua velocità relativa alla piattaforma è perpendicolare al filo, cioè orizzontale; e la piattaforma si muove solo in orizzontale. Quindi entrambe le velocità sono orizzontali e $P_{f,y} = 0$ .

$\boxed{P_f = 0}$

Attenzione: $P_f = 0$ non vuol dire che i corpi siano fermi. Vuol dire che si muovono in versi opposti con quantità di moto uguali in modulo: $m\,v_m + M\,v_M = 0$ .

(Durante la discesa, invece, $P_y$ non è nulla: la pallina ha anche una velocità verticale. La componente verticale della quantità di moto non si conserva, perché la risultante verticale delle forze esterne, pesi meno reazione del piano, in generale non è zero.)

c) Velocità assoluta della pallina

Due incognite, $v_m$ e $v_M$ (velocità orizzontali nel riferimento del piano, con segno), e due equazioni.

Quantità di moto lungo $x$ :

$m\,v_m + M\,v_M = 0 \quad \Longrightarrow \quad v_M = -\frac{m}{M}\,v_m \tag{1}$

Energia meccanica. All'inizio tutto è fermo; alla fine la pallina è scesa di

$h = \ell - \ell\cos\vartheta = \ell\,(1 - \cos\vartheta) = 0{,}8\,(1 - 0{,}750) = 0{,}2\ \text{m}$

(all'inizio è a $\ell\cos\vartheta$ sotto $O$ , alla fine a $\ell$ sotto $O$ ; la piattaforma non cambia quota). L'energia potenziale persa dalla pallina diventa energia cinetica di entrambi i corpi:

$m g h = \tfrac12 M v_M^2 + \tfrac12 m v_m^2 \tag{2}$

Mettere insieme. Sostituendo la (1) nella (2):

$m g h = \tfrac12 M\,\frac{m^2}{M^2}\,v_m^2 + \tfrac12 m\,v_m^2 = \tfrac12 m\,v_m^2\left(\frac{m}{M} + 1\right) = \tfrac12 m\,v_m^2\,\frac{m + M}{M}$

Si semplifica $m$ e si ricava $v_m$ :

$v_m = \sqrt{\frac{2 M g h}{m + M}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}2}{0{,}6}} = \sqrt{3{,}27} = 1{,}81\ \text{m/s}$

diretta verso destra ( $+x$ : la pallina era partita da sinistra). La piattaforma, dalla (1), va verso sinistra:

$v_M = -\frac{0{,}1}{0{,}5} \cdot 1{,}81 = -0{,}362\ \text{m/s}$

Confronto con il pendolo fisso. Se la piattaforma fosse bloccata, tutta l'energia andrebbe alla pallina e si avrebbe $v = \sqrt{2gh} = 1{,}98$ m/s. Qui la pallina va un po' più piano perché una parte dell'energia, $\frac12 M v_M^2 = 0{,}033$ J su $mgh = 0{,}196$ J, se la prende la piattaforma.

Verifica dell'energia: $\frac12 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}362^2 + \frac12 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}81^2 = 0{,}0327 + 0{,}1634 = 0{,}196$ J $= mgh$ ✓.

d) Velocità della pallina rispetto alla piattaforma

Per la composizione delle velocità tra il riferimento del piano e quello della piattaforma (che trasla senza ruotare):

$v_m = v_m' + v_M \quad \Longrightarrow \quad v_m' = v_m - v_M = 1{,}81 - (-0{,}362) = 2{,}17\ \text{m/s}$

Equivalentemente, usando la (1), $v_m' = v_m\left(1 + \frac{m}{M}\right) = 1{,}81 \cdot 1{,}2 = 2{,}17$ m/s. È la velocità che misurerebbe un osservatore seduto sulla piattaforma: più grande di quella assoluta, perché la piattaforma gli scappa sotto in verso opposto.

Un'informazione in più: di quanto si è spostata la piattaforma

Il CM non si sposta in orizzontale. Quando il filo è verticale la pallina si trova esattamente sotto $O$ , cioè sulla stessa verticale del centro della piattaforma: pallina e piattaforma hanno la stessa ascissa $X$ . Allora $x_{CM} = X$ , cioè

$X = x_{CM} = -0{,}088\ \text{m}$

La piattaforma si è spostata di $8{,}8$ cm verso sinistra, mentre la pallina si è spostata di $-0{,}088 - (-0{,}529) = 0{,}441$ m verso destra. Il rapporto degli spostamenti, $0{,}441 / 0{,}088 = 5 = M/m$ , è lo stesso delle velocità: è la conservazione della quantità di moto integrata nel tempo.

Risultati

punto	grandezza	valore
a	$x_{CM}$ iniziale	$-0{,}088$ m
b	quantità di moto totale finale	$0$
c	velocità assoluta della pallina	$1{,}81$ m/s (verso $+x$ )
c	velocità della piattaforma	$-0{,}362$ m/s
d	velocità della pallina rispetto alla piattaforma	$2{,}17$ m/s

Errori comuni

Usare $v = \sqrt{2gh}$ come se la piattaforma fosse ferma: lo sarebbe solo con un piano scabro o una piattaforma bloccata.
Pensare che $P_f = 0$ significhi corpi fermi.
Conservare anche $P_y$ : la reazione del piano non bilancia i pesi durante il moto, quindi in verticale la quantità di moto cambia.
Sommare le velocità con il segno sbagliato nel moto relativo: la piattaforma va in verso opposto alla pallina, quindi la velocità relativa è la somma dei moduli.