Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner

Prima: Corpo rigido e suo centro di massaUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa →. Il momento d'inerzia compare in tutte le formule delle rotazioni: Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →, Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →, Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →, Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento →. Esercizi: Esercizio 60 · due dischi incollati appesi con un blocchetto, Esercizio 66 · asta e disco con momento d'inerzia composto.

Da dove nasce

Si consideri un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso $z$ con velocità angolare $\omega$. Un pezzetto di massa $dm$ a distanza $r$ dall'asse descrive una circonferenza di raggio $r$ con velocità $v = \omega r$ (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →). La sua energia cinetica è $\frac12 dm\,v^2 = \frac12 dm\,\omega^2 r^2$, e sommando su tutto il corpo ($\omega$ è la stessa per tutti i pezzetti, quindi esce dall'integrale):

$$K = \frac12\,\omega^2 \int r^2\,dm$$

Allo stesso modo il momento angolare lungo l'asse viene $L_z = \omega\int r^2\,dm$. In entrambe le formule compare la stessa quantità, che dipende solo da come è distribuita la massa attorno all'asse. Le si dà un nome.

Definizione

Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse è

$$I = \int r^2\,dm \qquad \Big(\text{per punti: } I = \sum_i m_i r_i^2\Big) \qquad [\text{kg}\cdot\text{m}^2]$$

dove $r$ è la distanza del pezzetto dall'asse (non dall'origine!).

Significato. Nelle rotazioni $I$ fa la parte che la massa fa nelle traslazioni: $K = \frac12 I\omega^2$ come $K = \frac12 m v^2$, e $M_z = I\alpha$ come $F = ma$. Più massa c'è lontano dall'asse, più è grande $I$ e più è difficile mettere in rotazione il corpo (o fermarlo). Una ruota con tutta la massa sul bordo ha $I$ doppio di un disco pieno della stessa massa e dello stesso raggio.

Osservazioni.

• $I$ dipende dall'asse: la stessa asta ha $I$ diversi se ruota attorno al centro o attorno a un estremo.
• $I$ è additivo: il momento d'inerzia di un corpo composto, rispetto a un asse, è la somma dei momenti d'inerzia dei pezzi rispetto allo stesso asse.
• Un punto materiale di massa $m$ a distanza $d$ dall'asse ha $I = m d^2$.

Calcolo per i corpi fondamentali

In ogni calcolo si sceglie il pezzetto $dm$ in modo che tutti i suoi punti abbiano la stessa distanza $r$ dall'asse: così $r^2$ è costante sul pezzetto.

Anello sottile (o cilindro cavo) rispetto al suo asse

Tutta la massa $M$ sta alla distanza $R$ dall'asse, quindi $r = R$ per ogni pezzetto:

$$I = \int R^2\,dm = R^2\int dm = M R^2$$

Asta sottile rispetto a un asse perpendicolare passante per il centro

Asta di massa $M$ e lunghezza $\ell$ sull'asse $x$, da $-\ell/2$ a $\ell/2$; l'asse di rotazione è perpendicolare all'asta e passa per $x = 0$. Il pezzetto tra $x$ e $x + dx$ ha massa $dm = \frac{M}{\ell}dx$ e distanza $|x|$ dall'asse:

$$I_{CM} = \int_{-\ell/2}^{\ell/2} x^2\,\frac{M}{\ell}\,dx = \frac{M}{\ell}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-\ell/2}^{\ell/2} = \frac{M}{\ell}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\ell^3}{8} = \frac{1}{12}M\ell^2$$

Asta sottile rispetto a un asse perpendicolare per un estremo

Stesso calcolo con l'asta da $0$ a $\ell$:

$$I_{estr} = \int_0^\ell x^2\,\frac{M}{\ell}\,dx = \frac{M}{\ell}\cdot\frac{\ell^3}{3} = \frac13 M\ell^2$$

Quattro volte $I_{CM}$: lo stesso risultato si ottiene con il teorema di Steiner (sotto).

Disco (o cilindro pieno) rispetto al suo asse

Disco di massa $M$ e raggio $R$, densità superficiale $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$. Si divide in corone circolari di raggio $r$ e spessore $dr$: tutti i punti di una corona distano $r$ dall'asse. Area della corona: lunghezza della circonferenza per spessore, $dS = 2\pi r\,dr$. Quindi $dm = \sigma\,2\pi r\,dr$ e

$$I = \int_0^R r^2\,\sigma\,2\pi r\,dr = 2\pi\sigma\,\frac{R^4}{4} = 2\pi\,\frac{M}{\pi R^2}\,\frac{R^4}{4} = \frac12 M R^2$$

Lo stesso vale per un cilindro pieno di qualsiasi altezza rispetto al suo asse: è una pila di dischi, tutti con $\frac12 (\text{massa}) R^2$.

Sfera piena rispetto a un diametro

Si divide la sfera (massa $M$, raggio $R$, densità $\rho = \frac{M}{\frac43\pi R^3}$) in dischi sottili perpendicolari all'asse $z$. Il disco alla quota $z$ ha raggio $\sqrt{R^2 - z^2}$ e spessore $dz$, quindi massa $dm = \rho\,\pi(R^2 - z^2)\,dz$ e momento d'inerzia $\frac12 dm\,(R^2 - z^2)$ (formula del disco):

$$I = \int_{-R}^{R}\frac12\,\rho\,\pi\,(R^2 - z^2)^2\,dz = \frac{\rho\pi}{2}\Big[R^4 z - \frac{2R^2z^3}{3} + \frac{z^5}{5}\Big]_{-R}^{R} = \frac{\rho\pi}{2}\cdot\frac{16}{15}R^5 = \frac25 M R^2$$

(nell'ultimo passaggio si sostituisce $\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}$: $\frac{3M}{8R^3}\cdot\frac{16R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2$.)

Tabella dei momenti d'inerzia

I primi sei vanno saputi a memoria: compaiono in quasi ogni secondo problema d'esame.

Teorema di Huygens-Steiner (degli assi paralleli)

Sia $I_{CM}$ il momento d'inerzia di un corpo di massa $M$ rispetto a un asse passante per il suo centro di massa, e sia $a$ un asse parallelo al primo a distanza $d$. Allora $$I_a = I_{CM} + M d^2$$

Dimostrazione. Si prende l'asse $z$ passante per il CM e si mette l'origine nel CM. L'asse $a$ è parallelo a $z$ e passa per il punto $(d, 0)$ del piano $xy$ (si scelgono gli assi in modo che sia così). Un pezzetto in $(x, y, z)$ ha distanza al quadrato $x^2 + y^2$ dall'asse $z$ e $(x - d)^2 + y^2$ dall'asse $a$. Quindi

$$I_a = \int\big[(x - d)^2 + y^2\big]dm = \int (x^2 + y^2)\,dm - 2d\int x\,dm + d^2\int dm$$

Il primo integrale è $I_{CM}$; il terzo è $Md^2$; il secondo è $M x_{CM} = 0$, perché l'origine è proprio nel CM. Resta $I_a = I_{CM} + Md^2$. $\square$

Conseguenze.

• Tra tutti gli assi paralleli a una direzione, il momento d'inerzia è minimo per quello che passa per il CM (il termine $Md^2$ è sempre $\ge 0$).
• Il teorema collega solo un asse per il CM a un asse parallelo. Per passare tra due assi che non passano per il CM si passa dal CM: $I_b = I_a - Md_a^2 + Md_b^2$.

Esempi.

1. Asta attorno a un estremo: $d = \frac{\ell}{2}$, $I = \frac{1}{12}M\ell^2 + M\frac{\ell^2}{4} = \frac{1 + 3}{12}M\ell^2 = \frac13 M\ell^2$ ✓ (coincide con il calcolo diretto).
2. Disco attorno a un punto del bordo (asse parallelo a quello di simmetria): $I_P = \frac12 MR^2 + MR^2 = \frac32 MR^2$. È il momento d'inerzia rispetto al punto di contatto che si usa nel Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento →.
3. Disco piccolo incollato su uno grande (tema dell'11 giugno 2024): il disco di massa $m$ e raggio $R_2$ ha il centro a distanza $R_2$ dall'asse di rotazione, quindi rispetto a quell'asse $I = \frac12 mR_2^2 + mR_2^2 = \frac32 mR_2^2$.

Esempio numerico. Un'asta omogenea di massa $0{,}6$ kg e lunghezza $0{,}8$ m appesa per un estremo, con un corpo puntiforme di $0{,}1$ kg incollato all'altro estremo (tema del 14 giugno 2023):

$$I = \frac13 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}8^2 + 0{,}1 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}128 + 0{,}064 = 0{,}192\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$

Ogni pezzo si calcola rispetto allo stesso asse (quello per l'estremo) e poi si somma.

Raggio d'inerzia

Si definisce raggio d'inerzia la distanza $\rho_g$ alla quale andrebbe concentrata tutta la massa per avere lo stesso momento d'inerzia: $I = M\rho_g^2$, cioè $\rho_g = \sqrt{I/M}$. Per un disco rispetto al suo asse $\rho_g = R/\sqrt2 \approx 0{,}71\,R$; per un anello $\rho_g = R$.

Errori comuni

• Usare la distanza dall'origine invece della distanza dall'asse in $\int r^2\,dm$.
• Applicare Steiner tra due assi nessuno dei quali passa per il CM: la formula $I_a = I_b + Md^2$ in quel caso è sbagliata.
• Sommare momenti d'inerzia calcolati rispetto ad assi diversi: prima si porta ogni pezzo sull'asse di rotazione (con Steiner), poi si somma.
• Confondere disco e anello: $\frac12 MR^2$ contro $MR^2$. Nel dubbio: la massa del disco è in media più vicina all'asse, quindi il suo $I$ è più piccolo.