Esercizio 78riscaldare e fondere un blocco di ghiaccio

Testo (tema d'esame del 7 febbraio 2025, problema 3). Un blocco di ghiaccio di massa $m = 0{,}4$ kg inizialmente alla temperatura $T_i = -15$ °C viene riscaldato fino alla temperatura di fusione e successivamente fuso completamente. Sapendo che il calore specifico del ghiaccio è $c_g = 2051$ J/(kg·K) e che il suo calore latente di fusione è $\lambda = 3{,}3 \cdot 10^5$ J/kg, determinare:

a) la variazione di energia interna del ghiaccio nel processo complessivo, trascurando la variazione di densità del ghiaccio; b) il lavoro compiuto dal sistema, tenendo conto che la densità del ghiaccio è $\rho_g = 0{,}92$ kg/dm³ e assumendo che l'ambiente esterno sia alla pressione atmosferica $p_{atm} = 1{,}013 \cdot 10^5$ Pa (si ricordi che la densità dell'acqua liquida è $\rho_a = 1$ kg/dm³); c) la variazione di entropia del sistema.

Impostazione

Due tappe, ciascuna con il suo calore (Calore, calori specifici e cambiamenti di fasePer scaldare un corpo di massa m di ΔT serve il calore Q = m c ΔT (c calore specifico). Nei cambiamenti di fase la temperatura resta costante e serve Q = m λ (calore latente). In un calorimetro isolato la somma dei calori scambiati è zero: da qui la temperatura di equilibrio.Calore, calori specifici e cambiamenti di fase →):

Temperature assolute: $T_i = 273{,}15 - 15 = 258{,}15$ K, $T_f = 273{,}15$ K. Una differenza di temperatura è la stessa in gradi Celsius e in kelvin: $\Delta T = 15$ K.

a) Variazione di energia interna

Calore assorbito.

$$Q_1 = m c_g\,\Delta T = 0{,}4 \cdot 2051 \cdot 15 = 12\,306\ \text{J}$$

$$Q_2 = m\lambda = 0{,}4 \cdot 3{,}3 \cdot 10^5 = 132\,000\ \text{J}$$

$$Q = Q_1 + Q_2 = 144\,306\ \text{J}$$

La fusione richiede più di dieci volte il calore del riscaldamento: rompere il reticolo cristallino del ghiaccio costa molto.

Primo principio. $\Delta U = Q - W$ (Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica →). Se si trascura la variazione di densità, il volume non cambia e il sistema non compie lavoro contro l'atmosfera, $W = 0$:

$$\Delta U = Q = 1{,}443 \cdot 10^5\ \text{J}$$

b) Il lavoro, tenendo conto della densità

Ora si guarda più da vicino: il ghiaccio è meno denso dell'acqua (per questo galleggia), quindi fondendo il volume diminuisce.

$$V_i = \frac{m}{\rho_g} = \frac{0{,}4}{0{,}92} = 0{,}435\ \text{dm}^3, \qquad V_f = \frac{m}{\rho_a} = \frac{0{,}4}{1} = 0{,}400\ \text{dm}^3$$

Il sistema cambia volume contro l'atmosfera, a pressione esterna costante: il lavoro compiuto è (Lavoro termodinamicoUn gas che cambia volume compie lavoro W = ∫ p_est dV sull'ambiente; per una trasformazione quasistatica p_est = p e W è l'area sotto la curva nel piano p-V. Il lavoro dipende dal percorso, non solo dagli stati iniziale e finale; in un ciclo è l'area racchiusa.Lavoro termodinamico →)

$$W = p_{atm}\,(V_f - V_i) = 1{,}013 \cdot 10^5 \cdot (0{,}400 - 0{,}435) \cdot 10^{-3} = 1{,}013 \cdot 10^5 \cdot (-3{,}48 \cdot 10^{-5}) = -3{,}52\ \text{J}$$

Negativo: il volume si riduce, ed è l'atmosfera a compiere lavoro sul sistema. Quanto conta? $3{,}5$ J contro $144\,306$ J di calore: due parti su centomila. Per questo per solidi e liquidi si scrive tranquillamente $\Delta U \approx Q$ (a rigore $\Delta U = Q - W = 144\,310$ J). Per i gas, che cambiano volume molto di più, il lavoro non è mai trascurabile.

c) Variazione di entropia

L'entropia è una funzione di stato: si calcola lungo una trasformazione reversibile che porti dallo stesso stato iniziale allo stesso stato finale, sommando $dQ/T$ (Calcolo delle variazioni di entropiaLe formule di ΔS per i casi d'esame: serbatoio Q/T, corpo che cambia temperatura mc ln(T2/T1), cambiamento di fase mλ/T, gas ideale n cV ln(T2/T1) + nR ln(V2/V1). Per le trasformazioni irreversibili si integra lungo una reversibile con gli stessi estremi.Calcolo delle variazioni di entropia →).

Riscaldamento. La temperatura cambia, quindi si integra: con $dQ = m c_g\,dT$,

$$\Delta S_1 = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c_g\,dT}{T} = m c_g \ln\frac{T_f}{T_i} = 0{,}4 \cdot 2051 \cdot \ln\frac{273{,}15}{258{,}15} = 820{,}4 \cdot 0{,}0565 = 46{,}3\ \text{J/K}$$

Fusione. A temperatura costante l'integrale è semplicemente il calore diviso per la temperatura:

$$\Delta S_2 = \frac{m\lambda}{T_f} = \frac{132\,000}{273{,}15} = 483{,}3\ \text{J/K}$$

$$\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = 529{,}6\ \text{J/K}$$

Positiva: il sistema riceve calore. Il passaggio da solido (ordinato) a liquido (disordinato) dà quasi tutto l'aumento.

Errore tipico: scrivere $\Delta S_1 = Q_1/T$ con una temperatura "media": va bene solo come stima ($12\,306/265{,}65 = 46{,}3$ J/K, quasi uguale perché l'intervallo di temperature è piccolo), ma il valore esatto richiede il logaritmo.

Risultati

Errori comuni

• Usare le temperature in Celsius nel logaritmo: $\ln(0/(-15))$ non ha senso; servono i kelvin.
• Dimenticare il calore del riscaldamento o quello della fusione: sono due tappe distinte.
• Sbagliare il segno del lavoro: il volume diminuisce, quindi $W < 0$.
• Scrivere $\Delta S = Q/T$ per il riscaldamento: la temperatura non è costante, serve $m c \ln(T_f/T_i)$.