Esercizio 49biglia colpita da una sferetta

Testo (tema d'esame del 9 febbraio 2024, problema 1). Una biglia di dimensioni trascurabili e massa $m_1 = 0{,}02$ kg è appesa al punto $O$ mostrato in figura tramite un filo inestensibile di lunghezza $\ell = 0{,}8$ m. Il filo è inizialmente disposto verticalmente con la sferetta nella posizione $x = 0$; la sferetta viene messa in moto con velocità iniziale $v_0 = 0{,}6$ m/s diretta orizzontalmente. Determinare:

a) la velocità $v_1$ della sferetta quando l'angolo tra il filo e la direzione verticale è $\vartheta_1 = 8°$ e la tensione $T$ del filo in quell'istante.

Nel punto di massima ampiezza di oscillazione la sferetta viene colpita da una seconda sferetta di dimensioni trascurabili e massa $m_2 = 0{,}015$ kg, in moto con velocità orizzontale $v_2 = 10$ m/s diretta come in figura. L'urto è completamente anelastico. Determinare:

b) il tempo impiegato dalle due sferette a raggiungere la posizione $x = 0$, nell'ipotesi che il filo cui sono attaccate non entri in tensione durante il moto fino all'istante considerato; c) dimostrare che l'ipotesi assunta nel punto b) è corretta.

Figura. $O$ in alto, asse $x$ orizzontale con origine sulla verticale di $O$. La biglia parte da $x = 0$ verso destra e sale fino all'angolo massimo; la seconda sferetta arriva da destra, muovendosi verso sinistra, e la colpisce in quel punto.

Impostazione

Due fasi: prima un Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice → (energia e seconda legge lungo il filo), poi un urto completamente anelastico seguito da un moto senza filo teso, cioè un moto parabolico.

a) Velocità e tensione a $8°$

Velocità. La tensione è perpendicolare alla traiettoria circolare e non compie lavoro: si conserva l'energia meccanica (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →). Rispetto al punto più basso, a $\vartheta_1$ la biglia è salita di $\ell(1 - \cos\vartheta_1)$:

$$\tfrac12 m_1 v_0^2 = \tfrac12 m_1 v_1^2 + m_1 g\,\ell\,(1 - \cos\vartheta_1)$$

$$v_1 = \sqrt{v_0^2 - 2 g \ell\,(1 - \cos\vartheta_1)} = \sqrt{0{,}36 - 2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}00973} = \sqrt{0{,}36 - 0{,}153} = 0{,}455\ \text{m/s}$$

Tensione. Lungo il filo, verso $O$, agiscono la tensione $T$ e la componente del peso $-m_1 g\cos\vartheta_1$; la loro somma è la forza centripeta (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →):

$$T - m_1 g\cos\vartheta_1 = \frac{m_1 v_1^2}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad T = m_1\left(g\cos\vartheta_1 + \frac{v_1^2}{\ell}\right) = 0{,}02\,(9{,}714 + 0{,}259) = 0{,}199\ \text{N}$$

b) Tempo per tornare a $x = 0$

Ampiezza massima. Nel punto più alto la biglia è ferma; tutta l'energia cinetica iniziale è diventata potenziale:

$$\tfrac12 m_1 v_0^2 = m_1 g\,\ell\,(1 - \cos\vartheta_{\max}) \quad\Longrightarrow\quad \cos\vartheta_{\max} = 1 - \frac{v_0^2}{2 g \ell} = 1 - \frac{0{,}36}{15{,}7} = 0{,}977$$

$$\vartheta_{\max} = 12{,}3°, \qquad x_{\max} = \ell\sin\vartheta_{\max} = 0{,}8 \cdot 0{,}213 = 0{,}170\ \text{m}$$

L'urto. La biglia è ferma e la sferetta arriva orizzontalmente. Nell'urto completamente anelastico le due restano unite; lungo l'orizzontale non agiscono forze esterne impulsive (vedi sotto per il filo), quindi si conserva la quantità di moto orizzontale (Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →):

$$m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v' \quad\Longrightarrow\quad v' = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}015 \cdot 10}{0{,}035} = 4{,}29\ \text{m/s}$$

verso sinistra. (Si dissipano $\frac12 m_2 v_2^2 - \frac12 (m_1 + m_2) v'^2 = 0{,}75 - 0{,}32 = 0{,}43$ J, più della metà dell'energia della sferetta.)

Perché il filo non dà un impulso. Il filo può solo tirare verso $O$, e lo fa in modo impulsivo solo se il corpo tende ad allontanarsi da $O$. Subito dopo l'urto la velocità è orizzontale verso sinistra: la sua componente lungo il filo (direzione da $O$ verso la biglia, che punta in basso e a destra) è $-v'\sin\vartheta_{\max} < 0$, cioè verso $O$. Le sferette si avvicinano a $O$, il filo si allenta e non esercita nessun impulso.

Il moto dopo l'urto. Con il filo allentato sulle sferette agisce solo il peso: è un moto parabolicoMoto con accelerazione costante g verso il basso: in orizzontale velocità costante, in verticale moto uniformemente accelerato.Moto parabolico → con velocità iniziale orizzontale $v'$. In orizzontale il moto è uniforme, e per arrivare a $x = 0$ devono percorrere $x_{\max}$:

$$t = \frac{x_{\max}}{v'} = \frac{0{,}170}{4{,}29} = 0{,}0397\ \text{s}$$

c) Il filo resta davvero allentato?

L'ipotesi è corretta se la distanza delle sferette da $O$ resta minore di $\ell$: il filo inestensibile non può allungarsi, ma può incurvarsi.

All'istante finale. In verticale le sferette partono con velocità nulla e cadono di

$$\Delta y = \tfrac12 g t^2 = \tfrac12 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0397^2 = 0{,}0078\ \text{m}$$

Al momento dell'urto erano a $\ell\cos\vartheta_{\max} = 0{,}8 \cdot 0{,}977 = 0{,}781$ m sotto $O$; in $x = 0$ sono esattamente sotto $O$, a distanza

$$d = \ell\cos\vartheta_{\max} + \Delta y = 0{,}781 + 0{,}008 = 0{,}789\ \text{m} < \ell = 0{,}8\ \text{m} \;✓$$

Durante tutto il tragitto. Il quadrato della distanza da $O$, con $c = \ell\cos\vartheta_{\max}$, è $d^2(t) = (x_{\max} - v' t)^2 + (c + \tfrac12 g t^2)^2$. Sottraendo $\ell^2 = x_{\max}^2 + c^2$:

$$d^2 - \ell^2 = t\left[-2 x_{\max} v' + (v'^2 + c\,g)\,t + \tfrac14 g^2 t^3\right]$$

La parentesi parte negativa ($-2 \cdot 0{,}170 \cdot 4{,}29 = -1{,}46$) e cresce con $t$; all'istante finale vale $-1{,}46 + 26{,}0 \cdot 0{,}0397 + \dots = -0{,}43$, ancora negativa. Quindi è negativa per tutto il tragitto: le sferette restano sempre più vicine a $O$ di $\ell$, e il filo non entra mai in tensione ✓.

Il senso fisico. Le sferette vanno così veloci in orizzontale ($4{,}29$ m/s) che in $0{,}04$ s cadono di meno di un centimetro: tagliano la corda dell'arco, che sta tutta dentro la circonferenza di raggio $\ell$.

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare il termine centripeto nella tensione: a $8°$ la biglia si muove ancora, quindi $T > m_1 g\cos\vartheta_1$.
• Usare la massa della sola sferetta dopo l'urto: nell'urto completamente anelastico si muovono insieme, con massa $m_1 + m_2$.
• Studiare il moto dopo l'urto come un pendolo: il filo è allentato, quindi è un moto parabolico.
• Controllare la distanza solo alla fine senza giustificare il tratto intermedio: bisogna essere sicuri che il filo non si tenda prima.