Teoremi di König ed energia di un sistema

Prima: Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa →, Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →, Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →. Seguito: Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali → e, per i corpi estesi, Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →. Esercizi: Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera, Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto.

L'idea

Il moto di un sistema si può sempre pensare come moto del CM (tutto il sistema che trasla come un punto di massa $M$) più moto dei punti attorno al CM (quello che si vede dal sistema del CMIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa →). I teoremi di König dicono che energia cinetica e momento angolare si dividono esattamente in queste due parti, senza termini misti.

Notazione: \vec v_i\,' = \vec v_i - \vec v_{CM} e \vec r_i\,' = \vec r_i - \vec r_{CM} sono velocità e posizione del punto $i$ nel sistema del CM, dove \sum_i m_i \vec v_i\,' = \vec 0 e \sum_i m_i \vec r_i\,' = \vec 0.

Primo teorema di König (energia cinetica)

L'energia cinetica del sistema è $K = \sum_i \frac12 m_i v_i^2$. Sostituendo \vec v_i = \vec v_{CM} + \vec v_i\,':

K = \sum_i \tfrac12 m_i (\vec v_{CM} + \vec v_i\,')\cdot(\vec v_{CM} + \vec v_i\,') = \tfrac12 \Big(\sum_i m_i\Big) v_{CM}^2 + \vec v_{CM}\cdot \underbrace{\sum_i m_i \vec v_i\,'}_{= \vec 0} + \sum_i \tfrac12 m_i v_i'^2

Il termine misto si annulla perché nel sistema del CM la quantità di moto totale è zero. Resta

$$\boxed{K = \tfrac12 M v_{CM}^2 + K'} \qquad K' = \sum_i \tfrac12 m_i v_i'^2$$

L'energia cinetica è quella del CM (come se tutta la massa si muovesse con il CM) più l'energia cinetica del moto relativo al CM.

Due punti: la massa ridotta

Per due punti la parte relativa si scrive con la sola velocità relativa $v_{rel} = |\vec v_1 - \vec v_2|$:

$$K' = \tfrac12 \mu\, v_{rel}^2 \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \ \text{(massa ridotta)}$$

Esempio numerico. $m_1 = 2$ kg a $v_1 = 4$ m/s e $m_2 = 3$ kg a $v_2 = -1$ m/s (in verso opposto).

• Energia totale: $K = \frac12 \cdot 2 \cdot 16 + \frac12 \cdot 3 \cdot 1 = 16 + 1{,}5 = 17{,}5$ J.
• CM: $v_{CM} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1)}{5} = 1$ m/s, quindi $\frac12 M v_{CM}^2 = \frac12 \cdot 5 \cdot 1 = 2{,}5$ J.
• Parte relativa: $\mu = \frac{6}{5} = 1{,}2$ kg, $v_{rel} = 5$ m/s, $K' = \frac12 \cdot 1{,}2 \cdot 25 = 15$ J.
• Controllo: $2{,}5 + 15 = 17{,}5$ J ✓.

Perché è importante: l'energia "disponibile"

Se il sistema è isolato, $\vec v_{CM}$ è costante e quindi anche $\frac12 M v_{CM}^2$ è costante: nessuna forza interna può cambiarla. Le forze interne possono solo trasformare $K'$ (in energia elastica, in calore, in deformazioni). Per questo in un urto l'energia che può essere dissipata è al massimo $K'$: nell'esempio sopra, se i due corpi restano attaccati, l'energia persa è esattamente $15$ J e restano $2{,}5$ J di energia cinetica del CM (Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →).

Secondo teorema di König (momento angolare)

Con un ragionamento simile (si sostituiscono \vec r_i = \vec r_{CM} + \vec r_i\,' e \vec v_i = \vec v_{CM} + \vec v_i\,', e i termini misti contengono \sum m_i \vec r_i\,' = \vec 0 o \sum m_i \vec v_i\,' = \vec 0):

\boxed{\vec L_O = \vec r_{CM} \times M\vec v_{CM} + \vec L\,'}

dove \vec L\,' = \sum_i \vec r_i\,' \times m_i \vec v_i\,' è il momento angolare rispetto al CM calcolato nel sistema del CM. Il primo termine è il momento angolare di un punto di massa $M$ che si muove con il CM ("momento angolare orbitale"), il secondo il momento angolare del moto attorno al CM ("di spin"). Per la Terra: il primo è dovuto al giro attorno al Sole, il secondo alla rotazione su se stessa.

Teorema dell'energia cinetica per i sistemi

Per ogni punto vale il teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →, $\Delta K_i = W_i$, dove $W_i$ è il lavoro di tutte le forze sul punto $i$. Sommando su tutti i punti:

$$\boxed{\Delta K = W^{(E)} + W^{(I)}}$$

A differenza della quantità di moto, qui le forze interne contano: come visto in Sistemi di punti - forze interne ed esterneUn sistema è un insieme di punti materiali scelto da noi; le forze si dividono in interne (tra punti del sistema, a coppie opposte per il terzo principio) ed esterne. Le interne si annullano nella somma: il moto d'insieme dipende solo dalle esterne.Sistemi di punti - forze interne ed esterne →, il loro lavoro è diverso da zero ogni volta che le distanze tra i punti cambiano.

Energia meccanica di un sistema

Se tutte le forze, interne ed esterne, sono conservative, ciascun lavoro si scrive come meno la variazione di un'energia potenziale (Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →):

$$W^{(E)} = -\Delta U^{(E)} \qquad W^{(I)} = -\Delta U^{(I)}$$

e si conserva l'energia meccanica totale

$$E = K + U^{(E)} + U^{(I)} = \text{costante}$$

• $U^{(E)}$: energia potenziale delle forze esterne. Per la forza peso $U = \sum_i m_i g\,y_i = M g\,y_{CM}$: l'energia potenziale gravitazionale di un sistema è quella di un punto di massa $M$ posto nel CM.
• $U^{(I)}$: energia potenziale delle forze interne, che dipende solo dalle distanze tra i punti. Per una molla tra due corpi: $\frac12 k (\Delta l)^2$, con $\Delta l$ deformazione della molla.

Se ci sono forze non conservative (attrito, urti anelastici), $\Delta E = W_{nc}$, il lavoro delle forze non conservative, interne ed esterne.

Esempio (pendolo sulla piattaforma liscia, Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera). Pesi e tensione del filo sono conservative o non compiono lavoro (il filo è inestensibile), il piano è liscio: si conserva $E$. Insieme alla conservazione di $P_x$ dà le due velocità finali.

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare il lavoro delle forze interne nel bilancio energetico (molla tra due corpi, attrito tra blocchetto e piattaforma).
• Pensare che un sistema isolato possa fermarsi del tutto: l'energia del CM, $\frac12 M v_{CM}^2$, resta comunque.
• Scrivere $K = \frac12 M v_{CM}^2$ e basta: vale solo se tutti i punti hanno la stessa velocità (traslazione pura).