Statica dei fluidi: pressione e legge di Stevino

In questa pagina 11

Inizio del capitolo sui fluidi. Si usano le Leggi di Newton (equilibrio delle forze) applicate a una porzione di fluido. Seguito: Principio di Archimede, Dinamica dei fluidi - continuità e Bernoulli. La pressione tornerà come variabile di stato dei gas in Gas ideali - equazione di stato. Esercizi: Esercizio 81 · mercurio e due gas in cilindri comunicanti, Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia.

Cos'è un fluido

Un fluido è un corpo che non ha forma propria: liquidi e gas. A differenza di un solido, un fluido in quiete non riesce a sopportare forze tangenziali (che lo farebbero scorrere): se si prova a "spingerlo di lato", scorre. Quindi in un fluido in quiete le forze sulle superfici sono sempre perpendicolari alle superfici.

I liquidi sono praticamente incomprimibili: il loro volume non cambia apprezzabilmente con la pressione. Si trattano con densità costante.
I gas sono molto comprimibili: occupano tutto il volume disponibile e la loro densità dipende da pressione e temperatura (se ne parla in termodinamica).

Densità

La densità è la massa per unità di volume:

$\rho = \frac{m}{V} \qquad [\text{kg/m}^3]$

Valori da ricordare:

sostanza	$\rho$ (kg/m³)
aria (a $0\ °\text{C}$ e 1 atm)	$1{,}29$
acqua	$1000$ ( $= 1\ \text{kg/dm}^3 = 1\ \text{g/cm}^3$ )
ghiaccio	$917$
acqua di mare	$\approx 1025$
mercurio	$13{,}6 \times 10^3$
piombo	$11{,}35 \times 10^3$

Conversione utile: $1\ \text{g/cm}^3 = \frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} = 10^3\ \text{kg/m}^3$ .

Pressione

Si prende una piccola superficie di area $\Delta S$ dentro il fluido (o sulla parete del recipiente). Il fluido da una parte esercita su di essa una forza $\Delta F$ , perpendicolare alla superficie. La pressione è

$p = \frac{\Delta F}{\Delta S} \qquad (\text{al limite } \Delta S \to 0: \ p = \frac{dF}{dS})$

È uno scalare (non un vettore): la forza su una superficie si ottiene come $\vec F = p\,S\,\hat n$ , con $\hat n$ perpendicolare alla superficie e diretto verso di essa (il fluido spinge).

Unità di misura: pascal, $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$ . È un'unità piccola: si usano anche

unità	valore in Pa
atmosfera (atm)	$1{,}013 \times 10^5$
bar	$10^5$
millimetro di mercurio (mmHg, o torr)	$133{,}3$

La pressione non dipende dall'orientazione. In un punto di un fluido in quiete la pressione è la stessa su qualunque superficie passante per quel punto, comunque orientata. (Si dimostra imponendo l'equilibrio di un prisma di fluido piccolissimo: se le pressioni sulle facce fossero diverse, il prisma accelererebbe.) Per questo si può parlare di "pressione in un punto" senza dire in che direzione.

La legge di Stevino

Domanda: in un liquido in quiete, come cambia la pressione con la profondità?

Ragionamento. Si prende un asse $z$ verticale verso l'alto e si isola dentro il liquido un cilindretto di fluido con le basi orizzontali di area $S$ , alle quote $z$ e $z + dz$ . Le forze verticali su di esso sono tre:

sulla base inferiore il fluido sottostante spinge verso l'alto: $+p(z)\,S$ ;
sulla base superiore il fluido soprastante spinge verso il basso: $-p(z + dz)\,S$ ;
il peso del cilindretto, verso il basso: $-dm\,g = -\rho\,S\,dz\,g$ .

(Le forze sulla superficie laterale sono orizzontali e si annullano a due a due.) Il cilindretto è fermo, quindi la somma delle forze verticali è zero:

$p(z)\,S - p(z + dz)\,S - \rho g\,S\,dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dp}{dz} = -\rho g$

La pressione diminuisce salendo (e aumenta scendendo) con pendenza $\rho g$ . Per un liquido $\rho$ è costante, e integrando tra due quote $z_1$ e $z_2$ :

$p(z_2) - p(z_1) = -\rho g\,(z_2 - z_1)$

Detta $p_0$ la pressione sulla superficie libera e $h$ la profondità sotto la superficie, si ottiene la legge di Stevino:

$\boxed{p(h) = p_0 + \rho g h}$

Significato: il termine $\rho g h$ è il peso della colonna di liquido di altezza $h$ e base unitaria che sta sopra il punto. Il liquido "sotto" deve sostenere il peso di tutto quello che ha sopra (aria compresa, ed è $p_0$ ).

Esempio. Un sub a $h = 10\ \text{m}$ di profondità in acqua dolce, con $p_0 = 1{,}013 \times 10^5\ \text{Pa}$ :

$p = 1{,}013 \times 10^5 + 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 10 = 1{,}013 \times 10^5 + 0{,}981 \times 10^5 \approx 1{,}99 \times 10^5\ \text{Pa}$

Circa due atmosfere: ogni $10$ metri d'acqua la pressione aumenta di circa un'atmosfera.

Grafico interattivo: Pressione nell'acqua in funzione della profondità (ascissa: h in m, ordinata: p in unità di 10⁵ Pa). Retta di pendenza ρg

Conseguenze immediate.

Punti alla stessa quota dentro lo stesso liquido (in quiete e connesso) hanno la stessa pressione. Le superfici di uguale pressione (isobare) sono piani orizzontali.
La pressione non dipende dalla forma del recipiente, ma solo dalla profondità (il cosiddetto "paradosso idrostatico": sul fondo di un vaso largo e di uno stretto, pieni alla stessa altezza, c'è la stessa pressione).
La differenza di pressione tra due punti dipende solo dalla loro differenza di quota: $\Delta p = \rho g\,\Delta h$ .

Pressione assoluta e relativa. $p$ è la pressione assoluta; $p - p_0 = \rho g h$ si chiama pressione relativa (o manometrica): è quella che segnano i manometri delle gomme, che misurano quanto la pressione supera quella atmosferica.

Principio di Pascal

Se si aumenta la pressione $p_0$ sulla superficie (per esempio con un pistone) di una quantità $\Delta p_0$ , per Stevino la pressione $p_0 + \rho g h$ aumenta della stessa quantità in ogni punto del liquido. È il principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido chiuso si trasmette inalterata a tutto il fluido.

Pressa idraulica. Due cilindri collegati, pieni di liquido, chiusi da pistoni di aree $S_1$ (piccolo) e $S_2$ (grande), alla stessa quota. La pressione sotto i due pistoni è la stessa:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \quad \Longrightarrow \quad F_2 = F_1\,\frac{S_2}{S_1}$

La forza viene moltiplicata per il rapporto delle aree. Esempio: pistoni di raggio $2$ cm e $20$ cm, rapporto delle aree $\left(\frac{20}{2}\right)^2 = 100$ : con $98{,}1\ \text{N}$ (il peso di $10$ kg) si sostiene il peso di una tonnellata. Non si crea energia: il volume spostato è lo stesso, $S_1\,d_1 = S_2\,d_2$ , quindi il pistone piccolo si abbassa di $100$ volte di più di quanto si alzi quello grande, e il lavoro $F_1 d_1 = F_2 d_2$ è lo stesso.

Vasi comunicanti

Recipienti collegati alla base, con lo stesso liquido e aperti all'atmosfera: il liquido si dispone alla stessa altezza in tutti. Motivo: alla base la pressione è unica, $p_0 + \rho g h_1 = p_0 + \rho g h_2$ , quindi $h_1 = h_2$ .

Con liquidi diversi (tubo a U con acqua da una parte e olio dall'altra, non mescolabili): si prende come riferimento la quota della superficie di separazione tra i due liquidi. Lì, e alla stessa quota nell'altro ramo (stesso liquido sotto, quindi stessa pressione):

$p_0 + \rho_1 g h_1 = p_0 + \rho_2 g h_2 \quad \Longrightarrow \quad \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$

Il liquido più denso sta più in basso: le altezze sono inversamente proporzionali alle densità.

Con gas chiusi sopra i liquidi (come nell'Esercizio 81 · mercurio e due gas in cilindri comunicanti): le superfici libere non sono più alla pressione atmosferica, ma alla pressione del gas che le sovrasta. Se i livelli differiscono di $\Delta h$ , allora $p_{\text{gas sopra il livello più basso}} = p_{\text{gas sopra il livello più alto}} + \rho g\,\Delta h$ .

Barometro di Torricelli

Un tubo lungo circa un metro, chiuso a un'estremità, si riempie di mercurio e si capovolge in una bacinella di mercurio. Il mercurio scende e si ferma a un'altezza $h$ sopra il livello della bacinella; sopra resta il vuoto (pressione praticamente zero). Alla quota della superficie della bacinella, dentro e fuori dal tubo la pressione è la stessa:

$p_{\text{atm}} = 0 + \rho_{\text{Hg}}\,g\,h \quad \Longrightarrow \quad h = \frac{p_{\text{atm}}}{\rho_{\text{Hg}}\,g} = \frac{1{,}013 \times 10^5}{13{,}6 \times 10^3 \cdot 9{,}81} \approx 0{,}76\ \text{m}$

Da qui l'unità "760 mmHg = 1 atm". Con l'acqua, molto meno densa, servirebbe un tubo alto $\frac{1{,}013 \times 10^5}{1000 \cdot 9{,}81} \approx 10{,}3\ \text{m}$ : è anche il motivo per cui una pompa aspirante non riesce a sollevare l'acqua per più di circa $10$ m.

Manometro a tubo aperto

Un tubo a U con liquido di densità $\rho$ , con un ramo collegato a un recipiente di gas a pressione $p$ e l'altro aperto all'atmosfera. Se il liquido nel ramo aperto sta più in alto di $h$ :

$p = p_{\text{atm}} + \rho g h$

cioè il dislivello misura direttamente la pressione relativa del gas. Se sta più in basso, il gas è in depressione: $p = p_{\text{atm}} - \rho g h$ .

Forza su una parete

La forza totale su una superficie si ottiene sommando $p\,dS$ su tutta la superficie. Se la superficie è orizzontale (il fondo di un recipiente) la pressione è uniforme e $F = p\,S$ . Se è verticale la pressione cresce con la profondità e bisogna integrare. Per una parete rettangolare di larghezza $b$ , immersa dalla superficie fino a profondità $H$ , considerando solo la pressione relativa (l'atmosfera spinge anche dall'altra parte e si compensa):

$F = \int_0^H \rho g h \cdot b\,dh = \frac12 \rho g b H^2$

È come se su tutta la parete agisse la pressione media, quella a metà profondità $\rho g \frac{H}{2}$ .

Riassunto

concetto	formula
densità	$\rho = m / V$
pressione	$p = F / S$ , unità Pa $=$ N/m²
equilibrio di un fluido pesante	$dp/dz = -\rho g$ ( $z$ verso l'alto)
legge di Stevino	$p = p_0 + \rho g h$ ( $h$ profondità)
principio di Pascal / pressa	$F_1/S_1 = F_2/S_2$
liquidi diversi in un tubo a U	$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$
barometro	$p_{\text{atm}} = \rho_{\text{Hg}} g h$ , $h \approx 760$ mm

Errori comuni

Misurare $h$ dal fondo invece che dalla superficie: in Stevino $h$ è la profondità, cioè la distanza verticale sotto la superficie libera.
Dimenticare $p_0$ : la pressione assoluta in un punto del liquido comprende quella dell'aria sopra. Si omette solo quando interessa una differenza di pressione o una forza che l'atmosfera esercita su entrambe le facce.
Confrontare pressioni a quote uguali in liquidi diversi: "stessa quota, stessa pressione" vale solo dentro lo stesso liquido connesso.
Usare densità in g/cm³ con $g$ in m/s²: la densità va in kg/m³ ( $1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3$ ).