Esercizio 40blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato

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Testo (tema d'esame del 30 agosto 2024, problema 1). Un blocchetto di massa $m = 0{,}2\ \text{kg}$ e dimensioni trascurabili è appoggiato su una piattaforma $AB$ di massa $M = 0{,}8\ \text{kg}$ e lunghezza $\ell = 1{,}5\ \text{m}$ ; piattaforma e blocchetto scendono insieme lungo un piano inclinato scabro (il blocchetto è cioè fermo rispetto alla piattaforma, a causa della forza d'attrito statico che si sviluppa tra i due oggetti). L'angolo di inclinazione del piano è $\vartheta = 20°$ e il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e la piattaforma è $\mu_D = 0{,}2$ . Determinare:

a) l'accelerazione del sistema lungo il piano inclinato;

b) la forza d'attrito statico agente sul blocchetto e il minimo valore del coefficiente d'attrito statico tra piattaforma e blocchetto affinché la situazione descritta si verifichi (ossia affinché il blocchetto non scivoli sulla piattaforma).

Nell'ipotesi che non vi sia attrito tra la piattaforma e il blocchetto, determinare:

c) l'accelerazione della piattaforma rispetto al piano inclinato;

d) il tempo impiegato dal blocchetto a raggiungere l'estremo inferiore $B$ della piattaforma, supponendo che inizialmente il blocchetto sia nell'estremo superiore $A$ , con velocità nulla rispetto alla piattaforma.

Figura. Un piano inclinato che scende verso destra; sopra di esso la piattaforma $AB$ , parallela al piano, con $A$ in alto e $B$ in basso; il blocchetto è appoggiato sulla piattaforma vicino ad $A$ .

Grandezze e asse

simbolo	significato	valore
$m$	massa del blocchetto	$0{,}2\ \text{kg}$
$M$	massa della piattaforma	$0{,}8\ \text{kg}$
$\ell$	lunghezza della piattaforma	$1{,}5\ \text{m}$
$\vartheta$	inclinazione del piano	$20°$
$\mu_D$	attrito dinamico piano–piattaforma	$0{,}2$

Si usa un asse $x$ lungo il piano, verso il basso (il verso del moto) e un asse $y$ perpendicolare al piano. Valori utili: $\sin 20° = 0{,}342$ , $\cos 20° = 0{,}940$ , quindi $g\sin\vartheta = 3{,}355\ \text{m/s}^2$ e $g\cos\vartheta = 9{,}218\ \text{m/s}^2$ .

a) Accelerazione del sistema

Blocchetto e piattaforma si muovono insieme, con la stessa accelerazione $a$ : si possono trattare come un solo corpo di massa $m + M$ . Le forze tra blocchetto e piattaforma (normale e attrito statico) sono interne a questo corpo e si cancellano a coppie per il terzo principio. Restano le forze esterne:

il peso totale $(m + M)g$ , con componente lungo il piano $(m + M)g\sin\vartheta$ e perpendicolare $(m + M)g\cos\vartheta$ (scomposizione sul piano inclinato);
la reazione normale del piano, $N = (m + M)g\cos\vartheta$ (lungo $y$ non c'è moto);
l'attrito dinamico del piano sulla piattaforma, $\mu_D N$ , verso l'alto lungo il piano (opposto allo scivolamento).

Seconda legge lungo $x$ :

$(m + M)\,a = (m + M)g\sin\vartheta - \mu_D (m + M) g\cos\vartheta \quad \Longrightarrow \quad a = g(\sin\vartheta - \mu_D\cos\vartheta)$

$a = 3{,}355 - 0{,}2 \cdot 9{,}218 = 3{,}355 - 1{,}844 = 1{,}51\ \text{m/s}^2$

b) Attrito statico sul blocchetto

Ora si guarda il solo blocchetto. Le forze su di lui: peso, normale della piattaforma ( $mg\cos\vartheta$ ) e attrito statico $F_S$ della piattaforma, diretto lungo il piano. Il blocchetto accelera con $a = 1{,}51\ \text{m/s}^2$ , meno di $g\sin\vartheta = 3{,}355\ \text{m/s}^2$ (quanto accelererebbe da solo su un piano liscio): quindi l'attrito lo frena, cioè punta verso l'alto lungo il piano.

$m\,a = m g\sin\vartheta - F_S \quad \Longrightarrow \quad F_S = m(g\sin\vartheta - a) = 0{,}2 \cdot (3{,}355 - 1{,}512) = 0{,}369\ \text{N}$

L'attrito statico non può superare $\mu_S$ per la normale, $\mu_S\,mg\cos\vartheta$ :

$F_S \le \mu_S\,m g\cos\vartheta \quad \Longrightarrow \quad \mu_S \ge \frac{F_S}{m g\cos\vartheta} = \frac{0{,}369}{0{,}2 \cdot 9{,}218} = 0{,}20$

Perché esce proprio $\mu_D$ . Da a), $g\sin\vartheta - a = \mu_D g\cos\vartheta$ , quindi $F_S = m\mu_D g\cos\vartheta$ e $\mu_{S,\min} = \mu_D = 0{,}2$ . Il blocchetto deve essere frenato "quanto" la piattaforma è frenata dal piano, per unità di massa.

c) Accelerazione della piattaforma senza attrito sul blocchetto

Ora tra blocchetto e piattaforma non c'è attrito: i due corpi si muovono separatamente e vanno studiati uno per uno.

Blocchetto. Lungo il piano agisce solo la componente del peso (la piattaforma lo spinge solo perpendicolarmente). La sua accelerazione rispetto al piano inclinato (fisso, inerziale) è

$a_m = g\sin\vartheta = 3{,}355\ \text{m/s}^2$

Perpendicolarmente al piano il blocchetto non si muove, quindi la piattaforma lo spinge con $N_m = mg\cos\vartheta$ , e per il terzo principio il blocchetto preme sulla piattaforma con $mg\cos\vartheta$ .

Piattaforma. Perpendicolarmente al piano: il piano deve reggere il peso della piattaforma più la spinta del blocchetto, quindi la normale del piano è

$N = Mg\cos\vartheta + mg\cos\vartheta = (m + M)g\cos\vartheta$

e l'attrito dinamico vale $\mu_D (m + M)g\cos\vartheta$ . Lungo il piano agiscono la componente del peso $Mg\sin\vartheta$ (in giù) e l'attrito (in su). Il blocchetto non dà forze lungo il piano (niente attrito tra loro):

$M a_M = M g\sin\vartheta - \mu_D (m + M)g\cos\vartheta \quad \Longrightarrow \quad a_M = g\sin\vartheta - \mu_D\,\frac{m + M}{M}\,g\cos\vartheta$

$a_M = 3{,}355 - 0{,}2 \cdot \frac{1{,}0}{0{,}8} \cdot 9{,}218 = 3{,}355 - 2{,}305 = 1{,}05\ \text{m/s}^2$

La piattaforma accelera meno di prima: l'attrito dipende dalla normale totale, che include il blocchetto, ma ora la forza motrice lungo il piano è solo il peso della piattaforma.

d) Tempo per arrivare in fondo alla piattaforma

Accelerazione relativa

Interessa il moto del blocchetto rispetto alla piattaforma, che è un riferimento in moto traslatorio accelerato. Per il teorema delle accelerazioni relative, con trascinamento $a_M$ :

$a'_m = a_m - a_M = 3{,}355 - 1{,}051 = 2{,}30\ \text{m/s}^2$

(Si noti che $a'_m = \mu_D\,\frac{m + M}{M}\,g\cos\vartheta$ : è positiva, quindi il blocchetto scivola in avanti rispetto alla piattaforma, verso $B$ .)

Stesso risultato dal riferimento della piattaforma. Nel riferimento della piattaforma (non inerziale) sul blocchetto agisce anche la forza di trascinamento $-m a_M$ , verso l'alto lungo il piano: $m a'_m = m g\sin\vartheta - m a_M$ , la stessa equazione.

Tempo

Rispetto alla piattaforma il blocchetto parte da fermo in $A$ e si muove con accelerazione costante $a'_m$ : è un moto uniformemente accelerato lungo la piattaforma. Deve percorrere $\ell$ :

$\ell = \tfrac12 a'_m t^2 \quad \Longrightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2\ell}{a'_m}} = \sqrt{\frac{3}{2{,}305}} = 1{,}14\ \text{s}$

Confronto con la soluzione ufficiale. La soluzione del tema riporta $a_M = 1{,}098\ \text{m/s}^2$ , $a'_m = 2{,}25\ \text{m/s}^2$ e $t = 1{,}15\ \text{s}$ . La formula è la stessa, ma il calcolo numerico di $a_M$ contiene un piccolo errore: $\mu_D\,\frac{m + M}{M}\,g\cos\vartheta = 0{,}25 \cdot 9{,}218 = 2{,}305\ \text{m/s}^2$ , quindi $a_M = 1{,}05\ \text{m/s}^2$ (verificato numericamente).

Risultati

grandezza	valore
a) accelerazione del sistema	$a = 1{,}51\ \text{m/s}^2$
b) attrito statico sul blocchetto	$F_S = 0{,}369\ \text{N}$ , verso l'alto lungo il piano
b) coefficiente statico minimo	$\mu_{S,\min} = 0{,}20$
c) accelerazione della piattaforma	$a_M = 1{,}05\ \text{m/s}^2$
d) accelerazione relativa del blocchetto	$a'_m = 2{,}30\ \text{m/s}^2$
d) tempo per arrivare in $B$	$t = 1{,}14\ \text{s}$

Errori comuni

Calcolare l'attrito del piano con la sola massa $M$ : la normale del piano include la spinta del blocchetto, $(m + M)g\cos\vartheta$ .
Usare l'accelerazione assoluta del blocchetto per il tempo di percorrenza della piattaforma: la piattaforma si muove anch'essa; conta l'accelerazione relativa.
Sbagliare il verso dell'attrito statico nel punto b: il blocchetto da solo accelererebbe di più, quindi l'attrito lo trattiene.