Esercizio 20due blocchetti uniti da un'asta su un piano inclinato

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Testo (tema d'esame del 15 luglio 2004, problema 1). Due blocchetti di eguale massa $m = 0{,}85$ kg, collegati da una sottile asta rigida di massa trascurabile, scendono lungo un piano inclinato ( $\theta = 15°$ ) con accelerazione costante $a = 1{,}14\ \text{m/s}^2$ . Il coefficiente di attrito dinamico fra il blocchetto 1 e il piano vale $\mu = 0{,}18$ , il coefficiente di attrito dinamico fra il blocchetto 2 e il piano è trascurabile. Al blocchetto 2 è applicata la forza costante $\vec F$ parallela al piano e con il verso indicato.

Calcolare il modulo $F$ della forza applicata al blocchetto 2.
Calcolare quanto deve valere il modulo $F$ per fare in modo che la discesa avvenga con velocità costante.
Calcolare quanto deve valere il modulo $F$ per fare in modo che invece il moto avvenga in salita con velocità costante.

Figura: il piano sale verso destra; il blocchetto 1 è più in basso, il blocchetto 2 più in alto, uniti dall'asta. La forza $\vec F$ agisce sul blocchetto 2 ed è diretta in salita lungo il piano; l'accelerazione $\vec a$ è diretta in discesa.

In più (non richiesto dal tema, ma utile per capire il ruolo dell'asta): in ciascuno dei tre casi, l'asta è compressa o tesa?

Impostazione

Le grandezze

simbolo	significato	valore
$m$	massa di ciascun blocchetto	$0{,}85$ kg
$\theta$	inclinazione del piano	$15°$ ( $\sin\theta = 0{,}259$ , $\cos\theta = 0{,}966$ )
$a$	accelerazione (caso 1), in discesa	$1{,}14\ \text{m/s}^2$
$\mu$	attrito dinamico del blocchetto 1	$0{,}18$
	attrito del blocchetto 2	nullo

Assi e forze

Assi lungo il piano e perpendicolare: asse $x$ lungo il piano verso il basso (il verso dell'accelerazione nel caso 1), asse $y$ perpendicolare, uscente.

Forze lungo $x$ , che servono in tutto l'esercizio:

componente del peso su ciascun blocchetto: $mg\sin\theta = 0{,}85 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}259 = 2{,}158$ N, verso il basso ( $+x$ );
attrito dinamico sul solo blocchetto 1: la normale è $N_1 = mg\cos\theta$ (lungo $y$ non c'è accelerazione e non ci sono altre forze perpendicolari al piano), quindi il modulo è $\mu mg\cos\theta = 0{,}18 \cdot 0{,}85 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}966 = 1{,}450$ N, opposto alla velocità;
la forza $F$ sul blocchetto 2, in salita: $-F$ lungo $x$ ;
la forza dell'asta: interna al sistema dei due blocchetti.

Il trucco: un unico corpo

L'asta è rigida: i due blocchetti si muovono insieme, con la stessa velocità e la stessa accelerazione. Si possono quindi trattare come un unico corpo di massa $2m$ . Le forze che l'asta esercita sui due blocchetti sono uguali e opposte (terza legge) e nella seconda legge per il corpo unico non compaiono: restano solo le forze esterne. È lo stesso ragionamento dei fili in Tensione dei fili e carrucole.

1. Discesa accelerata: quanto vale $F$

Il sistema scende, quindi l'attrito sul blocchetto 1 è in salita ( $-x$ ). Seconda legge lungo $x$ per il corpo unico:

$2m\,a = 2mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta - F$

Notare che l'attrito ha solo un $m$ : agisce su un solo blocchetto. Si ricava $F$ :

$F = 2mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta - 2m\,a = 4{,}316 - 1{,}450 - 2 \cdot 0{,}85 \cdot 1{,}14 = 4{,}316 - 1{,}450 - 1{,}938 = 0{,}93\ \text{N}$

Controllo di sensatezza. Senza $F$ l'accelerazione sarebbe $\frac{4{,}316 - 1{,}450}{1{,}7} = 1{,}69\ \text{m/s}^2$ ; con la forza in salita il sistema accelera meno ( $1{,}14$ ), quindi $F$ deve essere positiva: lo è ✓.

2. Discesa a velocità costante

Velocità costante vuol dire accelerazione nulla: la risultante lungo $x$ deve essere zero. L'attrito è ancora in salita (il moto è in discesa):

$0 = 2mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta - F \quad \Longrightarrow \quad F = 2mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = 4{,}316 - 1{,}450 = 2{,}87\ \text{N}$

Rispetto al caso 1 serve una forza più grande, perché ora deve annullare l'accelerazione invece di ridurla.

3. Salita a velocità costante

Ancora accelerazione nulla, ma ora il sistema sale: l'attrito dinamico, opposto alla velocità, è in discesa ( $+x$ ), e si somma al peso.

$0 = 2mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta - F \quad \Longrightarrow \quad F = 2mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta = 4{,}316 + 1{,}450 = 5{,}77\ \text{N}$

Perché la risposta cambia tanto tra i casi 2 e 3 (da $2{,}87$ a $5{,}77$ N): nella discesa l'attrito "aiuta" $F$ a trattenere il sistema, nella salita le si oppone. La differenza tra le due forze è il doppio dell'attrito, $2 \cdot 1{,}450 = 2{,}90$ N ✓.

Domanda in più: compressione o tensione dell'asta

Per trovare la forza interna bisogna isolare un solo blocchetto: si sceglie il blocchetto 1, su cui agiscono peso, normale, attrito e la forza $R$ dell'asta (lungo $x$ , con segno da trovare: $R > 0$ vuol dire che l'asta spinge il blocchetto 1 in discesa, cioè lontano dal blocchetto 2).

Caso 1 (attrito in salita, accelerazione $a$ ):

$m\,a = mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta + R \quad \Longrightarrow \quad R = m\,a - mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta = 0{,}969 - 2{,}158 + 1{,}450 = +0{,}26\ \text{N}$

L'asta spinge il blocchetto 1 verso il basso, lontano dal 2: è compressa. Ha senso: il blocchetto 1, frenato dall'attrito, da solo scenderebbe con $g\sin\theta - \mu g\cos\theta = 0{,}83\ \text{m/s}^2$ , meno dei $1{,}14$ del sistema; è il blocchetto 2 che lo spinge.

Caso 2 ( $a = 0$ , attrito in salita): $R = -2{,}158 + 1{,}450 = -0{,}71$ N. Negativo: l'asta tira il blocchetto 1 verso il 2, cioè è tesa (è il blocchetto 2, trattenuto da $F$ , a tenere su il blocchetto 1).

Caso 3 ( $a = 0$ , attrito in discesa): $R = -2{,}158 - 1{,}450 = -3{,}61$ N: asta tesa, e molto: è lei a trascinare in salita il blocchetto 1 contro peso e attrito.

Un filo al posto dell'asta funzionerebbe nei casi 2 e 3 (tensione) ma non nel caso 1: un filo non può spingere, si allenterebbe e i due blocchetti si muoverebbero separatamente.

Risultati

caso	$F$	asta
1. discesa con $a = 1{,}14\ \text{m/s}^2$	$0{,}93$ N	compressa ( $0{,}26$ N)
2. discesa a velocità costante	$2{,}87$ N	tesa ( $0{,}71$ N)
3. salita a velocità costante	$5{,}77$ N	tesa ( $3{,}61$ N)

Errori comuni

Scrivere l'attrito come $\mu(2m)g\cos\theta$ : c'è attrito solo sotto il blocchetto 1.
Tenere l'attrito nello stesso verso nei casi 2 e 3: l'attrito dinamico è opposto alla velocità, che in salita e in discesa ha verso opposto.
Pensare che velocità costante richieda una forza nulla: richiede risultante nulla. $F$ deve bilanciare peso e attrito.
Mettere la forza dell'asta nell'equazione del sistema intero: è interna e si elide; compare solo quando si isola un blocchetto.