Esercizio 64disco che rotola e urta un'asta imperniata

Testo (tema d'esame del 16 giugno 2022, secondo compitino, problema 1; lo stesso problema è il n. 2 dell'appello completo dello stesso giorno). Un disco omogeneo di massa $M = 0{,}4$ kg e raggio $R = 0{,}3$ m rotola senza strisciare lungo un piano scabro inclinato di $\vartheta = 15°$ rispetto alla direzione orizzontale. Il disco parte da fermo e dopo aver percorso il tratto $s = 1{,}5$ m urta anelasticamente un'asta omogenea di massa $m = 0{,}25$ kg e lunghezza $\ell = 3R$ inizialmente ferma e diretta perpendicolarmente al piano inclinato, vincolata nel suo estremo superiore $O$ (l'asta non tocca il piano nel suo estremo inferiore). Dopo l'urto si osserva che la velocità del CM del disco è $v'_{CM} = 1{,}5$ m/s, mentre la sua velocità angolare di rotazione $\omega'$ è uguale alla velocità angolare $\omega$ subito prima dell'urto. Determinare:

a) l'energia cinetica $E_k$ del disco e la sua velocità angolare $\omega$ subito prima dell'urto; b) il momento angolare del disco rispetto al polo $O$ subito prima dell'urto; c) la velocità angolare dell'asta subito dopo l'urto; d) la velocità $v_P$ rispetto al piano con la quale il punto di appoggio $P$ del disco sul piano striscia subito dopo l'urto e il modulo dell'accelerazione angolare $\alpha$ del disco, sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il disco e il piano è $\mu_D = 0{,}1$.

Figura. Il piano scende verso destra. Il disco parte in alto a sinistra e rotola verso destra (in senso orario). Più in basso un'asta è appesa per l'estremo $O$ e sporge perpendicolare al piano, con l'estremo inferiore appena sopra il piano. Il disco la colpisce con il suo punto più avanzato, che sta alla distanza $R$ dal piano, cioè a distanza $3R - R = 2R$ da $O$ lungo l'asta.

Impostazione

Versi. Asse $x$ lungo il piano verso il basso (verso il moto del disco). Rotazioni positive in senso antiorario: il disco, che rotola verso destra, ruota in senso orario, quindi la sua rotazione propria ha segno negativo. Questa scelta conviene per l'asta, che dopo l'urto ruoterà in senso antiorario (spinta verso destra sotto il perno).

a) Energia cinetica e velocità angolare prima dell'urto

Durante la discesa il disco rotola senza strisciare: l'attrito è statico e non compie lavoroNel puro rotolamento l'attrito statico agisce sul punto di contatto, che è fermo: il suo lavoro è nullo e l'energia meccanica si conserva.Moto di puro rotolamento →. Anche la normale non lavora (è perpendicolare allo spostamento). L'energia cinetica guadagnata è il lavoro del peso; il centro scende di $s\sin\vartheta$:

$$E_k = M g\,s\sin\vartheta = 0{,}4\cdot9{,}81\cdot1{,}5\cdot0{,}2588 = 1{,}52\ \text{J}$$

Per il teorema di KönigL'energia cinetica di un corpo rigido è quella del CM più quella di rotazione attorno al CM: K = M v²/2 + I ω²/2.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →, con $v_{CM} = \omega R$:

$$E_k = \frac12 M\omega^2R^2 + \frac12\cdot\frac12 MR^2\omega^2 = \frac34 MR^2\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{4E_k}{3MR^2}} = \sqrt{\frac{4\cdot1{,}523}{3\cdot0{,}4\cdot0{,}09}} = 7{,}51\ \text{rad/s}$$

e il centro del disco viaggia a $v_{CM} = \omega R = 2{,}25$ m/s.

b) Momento angolare del disco rispetto a $O$

Anche il momento angolare si scompone come l'energia (teorema di König per il momento angolareIl momento angolare rispetto a un polo è quello del CM, con tutta la massa, più quello del moto attorno al CM.Teoremi di König ed energia di un sistema →):

$$L_O = \underbrace{\vec r_{CM}\times M\vec v_{CM}}_{\text{moto del centro}} + \underbrace{I\,\vec\omega}_{\text{rotazione propria}}$$

• Moto del centro. Il centro del disco si muove parallelamente al piano, alla distanza $R$ dal piano; $O$ è a distanza $3R$ dal piano. Quindi il braccio di $M\vec v_{CM}$ rispetto a $O$ è $2R$. Il centro passa sotto $O$ andando verso destra: gira attorno a $O$ in senso antiorario, contributo positivo $+M v_{CM}\,2R$.
• Rotazione propria. Il disco ruota in senso orario: contributo negativo $-I\omega$.

$$L_O = M v_{CM}\,2R - I\omega = 2MR^2\omega - \frac12 MR^2\omega = \frac32 MR^2\omega = 1{,}5\cdot0{,}4\cdot0{,}09\cdot7{,}51 = 0{,}406\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$$

(L'unità kg·m²/s si può scrivere anche N·m·s, come nella soluzione ufficiale.)

c) Velocità angolare dell'asta dopo l'urto

Che cosa si conserva. Il sistema è disco + asta. L'asta è imperniata in $O$: durante l'urto il perno esercita una forza impulsiva, che però passa per $O$ e ha momento nullo rispetto a $O$. Peso, normale e attrito sul disco sono forze finite, di impulso trascurabile durante l'urto. Quindi si conserva il momento angolare totale rispetto a $O$Con un vincolo fisso in O la quantità di moto non si conserva, ma il momento angolare rispetto a O sì: la reazione impulsiva del vincolo ha braccio nullo.Urti con corpi rigidi → (e non la quantità di moto).

Disco dopo l'urto: $v'_{CM} = 1{,}5$ m/s e $\omega' = \omega = 7{,}51$ rad/s (la rotazione propria non cambia perché la forza dell'urto, applicata nel punto più avanzato del disco, è diretta verso il centro e non ha momento rispetto al centro). Con la stessa scomposizione del punto b):

$$L'_O = M v'_{CM}\,2R - I\omega' = 0{,}4\cdot1{,}5\cdot0{,}6 - 0{,}018\cdot7{,}51 = 0{,}360 - 0{,}135 = 0{,}225\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$$

Asta dopo l'urto: ruota attorno a $O$ con $\omega_a$; momento d'inerzia rispetto all'estremo $I_a = \frac13 m\ell^2 = \frac13 m(3R)^2 = 3mR^2 = 0{,}0675\ \text{kg}\,\text{m}^2$.

Conservazione:

$$L_O = L'_O + I_a\,\omega_a \quad\Longrightarrow\quad \omega_a = \frac{L_O - L'_O}{I_a} = \frac{0{,}406 - 0{,}225}{0{,}0675} = 2{,}68\ \text{rad/s}$$

positivo: l'asta ruota in senso antiorario, come previsto.

Controllo energetico (l'urto è anelastico, l'energia deve diminuire):

$$E'_k = \frac12 M v'^2_{CM} + \frac12 I\omega'^2 + \frac12 I_a\omega_a^2 = 0{,}450 + 0{,}508 + 0{,}242 = 1{,}20\ \text{J} < 1{,}52\ \text{J} \ ✓$$

Nell'urto si dissipano $0{,}32$ J.

d) Strisciamento dopo l'urto e accelerazione angolare

Velocità del punto di contatto. Per la formula delle velocità di un corpo rigidoLa velocità di un punto P è quella del centro più ω × (P − C): per il punto più basso di un disco la rotazione aggiunge ω R all'indietro.Corpo rigido e suo centro di massa →, il punto più basso del disco ha la velocità del centro meno $\omega' R$ (la rotazione oraria lo porta all'indietro):

$$v_P = v'_{CM} - \omega' R = 1{,}5 - 7{,}51\cdot0{,}3 = 1{,}5 - 2{,}25 = -0{,}75\ \text{m/s}$$

Il punto di contatto striscia all'indietro (verso l'alto del piano) a $0{,}75$ m/s: l'urto ha rallentato il centro ma non la rotazione, e il disco "gira troppo" per la sua velocità. Non c'è più puro rotolamento.

Attrito dinamico. Finché c'è strisciamento l'attrito è dinamico, di modulo

$$F_D = \mu_D N = \mu_D M g\cos\vartheta = 0{,}1\cdot0{,}4\cdot9{,}81\cdot0{,}9659 = 0{,}379\ \text{N}$$

ed è opposto alla velocità di strisciamento: il punto $P$ striscia verso l'alto, quindi l'attrito è diretto verso il basso lungo il piano.

Accelerazione angolare. Rispetto al centro del disco solo l'attrito ha momento (peso e normale passano per il centro), con braccio $R$. Un attrito diretto in avanti applicato nel punto più basso tende a far ruotare il disco in senso antiorario, cioè frena la rotazione oraria. Dalla seconda equazione cardinale rispetto al CMM = I α vale anche rispetto al centro di massa quando questo si muove.Rotazione attorno a un asse fisso →:

$$|\alpha| = \frac{F_D\,R}{I} = \frac{0{,}379\cdot0{,}3}{0{,}018} = 6{,}32\ \text{rad/s}^2$$

(Nello stesso tempo l'attrito, diretto in avanti, accelera il centro: $a_{CM} = g\sin\vartheta + \mu_D g\cos\vartheta = 3{,}49\ \text{m/s}^2$. Il centro accelera e la rotazione rallenta finché $v_{CM} = \omega R$ e il disco torna a rotolare senza strisciare.)

Risultati

La soluzione ufficiale riporta $\omega = 7{,}52$ rad/s e $v_P = -0{,}756$ m/s: differenze di arrotondamento.

Errori comuni

• Calcolare il momento angolare del disco solo con $I\omega$ (o solo con $Mv\,2R$): servono entrambi i termini di König, con segni opposti.
• Usare come braccio la distanza $3R$ tra $O$ e il piano: il centro del disco sta a distanza $R$ dal piano, quindi il braccio è $2R$.
• Conservare la quantità di moto nell'urto: il perno dell'asta la cambia.
• Pensare che dopo l'urto il disco continui a rotolare senza strisciare: $v'_{CM} \ne \omega' R$, quindi l'attrito diventa dinamico.