Esercizio 53satellite su orbita circolare ed ellittica

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Testo (primo compitino del 18 aprile 2024, problema 3, versione A). Un satellite di massa $m$ viene lanciato in un'orbita ad altezza $h_S = 7500$ km rispetto alla superficie terrestre. Il razzo che porta il satellite lo rilascia con velocità iniziale $v_0$ rispetto al centro della Terra, tangente alla circonferenza di raggio $r_S$ concentrica alla Terra. Conoscendo la massa della Terra $M = 6 \cdot 10^{24}$ kg, il raggio della Terra $R_T = 6400$ km e ricordando il valore della costante di gravitazione universale $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ , determinare il valore della velocità iniziale per cui:

a) il satellite descriverebbe un'orbita circolare con raggio $r_S$ ; b) il satellite descriverebbe un'orbita ellittica con distanze $r_A = r_S$ (apogeo) e $r_P = 8000$ km (perigeo) dal centro della Terra.

Grandezze e dati

simbolo	significato	valore in SI
$h_S$	quota del punto di rilascio	$7{,}5 \cdot 10^6$ m
$R_T$	raggio terrestre	$6{,}4 \cdot 10^6$ m
$r_S = R_T + h_S$	distanza dal centro del punto di rilascio	$1{,}39 \cdot 10^7$ m
$r_P$	distanza del perigeo dal centro	$8{,}0 \cdot 10^6$ m
$GM$	prodotto costante × massa della Terra	$6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} = 4{,}002 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$

Attenzione: $h_S$ è una quota (dalla superficie), $r_P$ è invece una distanza dal centro. Nelle formule della gravitazione servono sempre le distanze dal centro, quindi la quota va trasformata: $r_S = 6400 + 7500 = 13\,900$ km.

La massa $m$ del satellite non è data: non servirà, perché in tutte le leggi della gravitazione si semplifica.

a) Orbita circolare

Il satellite è rilasciato con velocità tangente alla circonferenza di raggio $r_S$ . Perché resti su quella circonferenza, la gravità deve fornire esattamente la forza centripeta necessaria:

$G\,\frac{M m}{r_S^2} = m\,\frac{v_0^2}{r_S} \quad \Longrightarrow \quad v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_S}} = \sqrt{\frac{4{,}002 \cdot 10^{14}}{1{,}39 \cdot 10^7}} = \sqrt{2{,}879 \cdot 10^7} = 5{,}37 \cdot 10^3\ \text{m/s}$

Se la velocità fosse diversa da questa, la gravità non basterebbe (o sarebbe troppa) per curvare la traiettoria esattamente su quel cerchio, e l'orbita diventerebbe un'ellisse.

b) Orbita ellittica con apogeo nel punto di rilascio

Perché il punto di rilascio è l'apogeo

Il testo dice che $r_A = r_S$ : il satellite viene rilasciato nel punto più lontano della sua futura orbita, con velocità perpendicolare al raggio. Per farlo "cadere" verso il perigeo $r_P = 8000$ km la velocità deve essere minore di quella circolare trovata in a): ci si aspetta $v_0 < 5{,}37 \cdot 10^3$ m/s.

Le due leggi di conservazione

Dopo il rilascio sul satellite agisce solo la gravità terrestre, che è:

centrale → si conserva il momento angolare rispetto al centro della Terra;
conservativa → si conserva l'energia meccanica.

All'apogeo ( $r_S$ , velocità $v_0$ ) e al perigeo ( $r_P$ , velocità $v_P$ ) la velocità è perpendicolare al raggio, quindi:

$m\,r_S\,v_0 = m\,r_P\,v_P \tag{1}$

$\tfrac12 m v_0^2 - \frac{G M m}{r_S} = \tfrac12 m v_P^2 - \frac{G M m}{r_P} \tag{2}$

Eliminare $v_P$

Da (1): $v_P = v_0\,\dfrac{r_S}{r_P}$ . Si sostituisce in (2), si divide per $m$ e si moltiplica per $2$ :

$v_0^2 - \frac{2GM}{r_S} = v_0^2\,\frac{r_S^2}{r_P^2} - \frac{2GM}{r_P}$

Portando i termini con $v_0^2$ a sinistra e gli altri a destra:

$v_0^2\left(1 - \frac{r_S^2}{r_P^2}\right) = 2GM\left(\frac{1}{r_S} - \frac{1}{r_P}\right)$

che è proprio la relazione scritta nella soluzione ufficiale. Entrambi i membri sono negativi ( $r_S > r_P$ , quindi $\frac{r_S}{r_P} > 1$ e $\frac{1}{r_S} < \frac{1}{r_P}$ ), e il rapporto è positivo come deve essere per un quadrato. Semplificando (si raccoglie e si divide per $r_S - r_P$ ) si arriva alla forma più compatta

$v_0^2 = \frac{2GM\,r_P}{r_S\,(r_S + r_P)}$

Numeri

$v_0^2 = \frac{2 \cdot 4{,}002 \cdot 10^{14} \cdot 8{,}0 \cdot 10^6}{1{,}39 \cdot 10^7 \cdot 2{,}19 \cdot 10^7} = \frac{6{,}403 \cdot 10^{21}}{3{,}044 \cdot 10^{14}} = 2{,}103 \cdot 10^7\ \text{m}^2/\text{s}^2$

$v_0 = 4{,}59 \cdot 10^3\ \text{m/s}$

Minore della velocità circolare, come previsto. (La soluzione ufficiale scrive $4{,}57 \cdot 10^3$ m/s; il calcolo senza arrotondamenti intermedi dà $4{,}586 \cdot 10^3$ m/s.)

Verifiche

Velocità al perigeo: $v_P = v_0 \frac{r_S}{r_P} = 4586 \cdot \frac{13\,900}{8000} = 7969$ m/s. Al perigeo va molto più veloce, come vuole la legge delle aree.
Energia: per unità di massa, in $A$ : $\frac12 \cdot 4586^2 - \frac{4{,}002 \cdot 10^{14}}{1{,}39 \cdot 10^7} = 1{,}052 \cdot 10^7 - 2{,}879 \cdot 10^7 = -1{,}827 \cdot 10^7$ J/kg; in $P$ : $\frac12 \cdot 7969^2 - \frac{4{,}002 \cdot 10^{14}}{8 \cdot 10^6} = 3{,}175 \cdot 10^7 - 5{,}003 \cdot 10^7 = -1{,}827 \cdot 10^7$ J/kg ✓.
Formula dell'energia dell'ellisse: $E/m = -\frac{GM}{2a} = -\frac{GM}{r_S + r_P} = -\frac{4{,}002 \cdot 10^{14}}{2{,}19 \cdot 10^7} = -1{,}827 \cdot 10^7$ J/kg ✓.

Risultati

caso	velocità di rilascio
a) orbita circolare di raggio $13\,900$ km	$5{,}37 \cdot 10^3$ m/s
b) ellisse con apogeo $13\,900$ km e perigeo $8000$ km	$4{,}59 \cdot 10^3$ m/s (al perigeo $7{,}97 \cdot 10^3$ m/s)

Errori comuni

Usare la quota $7500$ km come raggio dell'orbita.
Conservare solo l'energia: con due incognite ( $v_0$ e $v_P$ ) servono due equazioni; la seconda è la conservazione del momento angolare.
Sbagliare il segno nel portare i termini da un membro all'altro: il controllo " $v_0$ deve essere minore della velocità circolare" smaschera subito l'errore.