Principio di Archimede

In questa pagina 8

Conseguenza diretta della legge di Stevino: la pressione cresce con la profondità, quindi su un corpo immerso spinge più forte dal basso che dall'alto. Seguito: Dinamica dei fluidi - continuità e Bernoulli. Esercizio: Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia.

Enunciato

Un corpo immerso (in tutto o in parte) in un fluido in quiete riceve una forza verticale verso l'alto, detta spinta di Archimede, uguale al peso del fluido spostato: $F_A = \rho_f\,V_{\text{imm}}\,g$

dove $\rho_f$ è la densità del fluido (non del corpo!) e $V_{\text{imm}}$ è il volume della parte immersa del corpo, cioè il volume di fluido che il corpo "ha tolto di posto".

Perché vale: due ragionamenti

1. Con le pressioni (caso di un cilindro). Un cilindro di base $S$ e altezza $L$ , con l'asse verticale, completamente immerso: la base superiore sta a profondità $h_1$ , quella inferiore a $h_2 = h_1 + L$ . Le forze del fluido sulle facce laterali sono orizzontali e si annullano a due a due. Sulle basi:

base superiore, spinta verso il basso: $(p_0 + \rho_f g h_1)\,S$ ;
base inferiore, spinta verso l'alto: $(p_0 + \rho_f g h_2)\,S$ .

La risultante, verso l'alto, è

$F_A = \rho_f g\,(h_2 - h_1)\,S = \rho_f g\,L\,S = \rho_f\,V\,g$

perché $L\,S$ è il volume del cilindro. La spinta nasce dalla differenza di pressione tra sotto e sopra, e non dipende dalla profondità a cui si trova il corpo (finché è tutto immerso).

2. Con la sostituzione (vale per qualunque forma). Si immagina di togliere il corpo e di riempire il buco con lo stesso fluido. Quella porzione di fluido sta ferma, quindi il fluido circostante la sostiene con una forza uguale e opposta al suo peso, $\rho_f V g$ verso l'alto. Ma il fluido circostante "non sa" cosa c'è dentro il buco: esercita le stesse pressioni anche sul corpo. Quindi il corpo riceve la stessa forza.

Peso apparente

Su un corpo completamente immerso di densità $\rho_c$ e volume $V$ agiscono il peso $mg = \rho_c V g$ verso il basso e la spinta $\rho_f V g$ verso l'alto. La risultante verticale (verso il basso) è

$P_{\text{app}} = (\rho_c - \rho_f)\,V\,g$

detto peso apparente: è quello che segnerebbe un dinamometro a cui il corpo è appeso dentro il fluido.

Esempio. Un sasso di volume $V = 1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$ e densità $\rho_c = 2500\ \text{kg/m}^3$ , immerso in acqua:

peso: $2500 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 = 24{,}5\ \text{N}$ ;
spinta: $1000 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 = 9{,}81\ \text{N}$ ;
peso apparente: $24{,}5 - 9{,}81 = 14{,}7\ \text{N}$ . In acqua il sasso "pesa" il $60\%$ di quanto pesa in aria.

Il confronto tra peso in aria e peso in acqua permette di misurare il volume (e quindi la densità) di un oggetto di forma irregolare: è il metodo con cui, secondo la tradizione, Archimede scoprì se la corona del re era d'oro puro.

Tre casi: affonda, sale, galleggia

Per un corpo completamente immerso, il confronto tra le densità decide il moto:

densità	risultante	cosa succede
$\rho_c > \rho_f$	verso il basso	il corpo affonda
$\rho_c = \rho_f$	nulla	il corpo resta fermo a qualunque profondità (equilibrio indifferente; è il caso dei pesci e dei sottomarini, che regolano la loro densità)
$\rho_c < \rho_f$	verso l'alto	il corpo sale fino a emergere in parte, e poi galleggia

Galleggiamento

Un corpo meno denso del fluido emerge finché la spinta, che diminuisce perché diminuisce il volume immerso, non uguaglia il peso:

$\rho_f\,V_{\text{imm}}\,g = \rho_c\,V\,g \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{\rho_c}{\rho_f}}$

La frazione immersa è il rapporto tra le densità (non dipende da $g$ né dalla forma del corpo).

Esempio: l'iceberg. Ghiaccio $\rho_c = 917\ \text{kg/m}^3$ in acqua di mare $\rho_f = 1025\ \text{kg/m}^3$ : $\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{917}{1025} = 0{,}895$ . Circa il $90\%$ dell'iceberg è sott'acqua: da qui "la punta dell'iceberg".

Esempio: un cubo di legno. Lato $20$ cm, densità $600\ \text{kg/m}^3$ , in acqua: frazione immersa $0{,}6$ , quindi la faccia inferiore sta $0{,}6 \cdot 20 = 12$ cm sotto il pelo dell'acqua e $8$ cm emergono. Lo sviluppo completo, con la forza necessaria per affondarlo, è nell'Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia.

Dove si applica la spinta

La spinta di Archimede si applica nel centro di spinta, cioè nel baricentro del volume di fluido spostato (che coincide con il baricentro del corpo solo se il corpo è omogeneo e tutto immerso). Questo conta per la stabilità delle navi: se peso e spinta non sono sulla stessa verticale formano una coppia che fa ruotare lo scafo (Statica del corpo rigido).

Archimede anche nei gas

Il principio vale per qualunque fluido, aria compresa. Un pallone di volume $V$ riempito di elio riceve dall'aria la spinta $\rho_{\text{aria}}\,V\,g$ e sale se questa supera il peso dell'elio più quello dell'involucro. In quasi tutti i problemi di meccanica la spinta dell'aria su un corpo solido si trascura, perché $\rho_{\text{aria}} \approx 1{,}3\ \text{kg/m}^3$ è circa mille volte più piccola della densità dei solidi.

Riassunto

grandezza	formula
spinta di Archimede	$F_A = \rho_f V_{\text{imm}} g$ , verticale verso l'alto
peso apparente (tutto immerso)	$(\rho_c - \rho_f) V g$
condizione di galleggiamento	$\rho_c < \rho_f$
frazione immersa	$V_{\text{imm}} / V = \rho_c / \rho_f$

Errori comuni

Usare la densità del corpo nella spinta: la spinta dipende dalla densità del fluido e dal volume immerso; la densità del corpo entra solo nel peso.
Usare il volume totale per un corpo che galleggia: per un corpo parzialmente emerso conta solo $V_{\text{imm}}$ .
Pensare che la spinta aumenti con la profondità: per un corpo tutto immerso in un liquido incomprimibile è costante; cresce solo mentre il corpo si immerge, perché aumenta il volume immerso.
Dimenticare il peso apparente nei problemi con fili e dinamometri: la tensione di un filo che regge un corpo immerso è il peso apparente, non il peso.

Esercizi su questo argomento

Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia