Esercizio 52gravità e orbite intorno a Marte

Testo (primo compitino del 14 aprile 2025, problema 3, versione B). Il pianeta Marte ha massa $M_M = 6{,}4 \cdot 10^{23}$ kg (circa un decimo della massa terrestre). Ricordando che la costante di gravitazione universale è $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, determinare:

a) il raggio $R_M$ del pianeta, sapendo che la forza peso sulla sua superficie per una persona di massa $m = 80$ kg è $F_{peso} = 295$ N; b) la gittata $d_M$ di un cannoncino che sulla Terra, a parità di velocità iniziale e angolo di inclinazione, sparando da un'altezza iniziale nulla avrebbe una gittata $d_T = 20$ m; c) la velocità orbitale di una navicella spaziale in orbita circolare intorno a Marte ad un'altezza $h = 600$ km dal suolo marziano; d) se in un'orbita ellittica il punto più distante da Marte è a distanza $R_A = 4000$ km dal centro del pianeta e la velocità è $v_A = 11\,500$ km/h, determinare la distanza dal centro $R_P$ e la velocità nel punto $P$ dell'orbita più vicino a Marte.

È la versione "gemella" dell'Esercizio 51 · gravità e orbite intorno alla Luna: i punti b), c), d) si svolgono allo stesso modo, il punto a) invece va percorso al contrario (dal peso al raggio).

Dati in unità SI

Prodotto utile: $G M_M = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23} = 4{,}269 \cdot 10^{13}\ \text{m}^3/\text{s}^2$.

a) Raggio di Marte dal peso

Passo 1: l'accelerazione di gravità. Il peso è $F_{peso} = m\,g_M$, quindi

$$g_M = \frac{F_{peso}}{m} = \frac{295\ \text{N}}{80\ \text{kg}} = 3{,}69\ \text{m/s}^2$$

(un newton è un $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$, quindi N/kg $=$ m/s²).

Passo 2: il legame con il raggio. Il peso sulla superficie è l'attrazione gravitazionale del pianeta, con la persona a distanza $R_M$ dal centro (legge di gravitazioneUna sfera attrae un corpo esterno come se tutta la sua massa fosse nel centro: la distanza da usare è il raggio del pianeta.Legge di gravitazione universale →):

$$m\,g_M = G\,\frac{M_M\,m}{R_M^2} \quad \Longrightarrow \quad g_M = \frac{G M_M}{R_M^2} \quad \Longrightarrow \quad R_M = \sqrt{\frac{G M_M}{g_M}}$$

Numeri:

$$R_M = \sqrt{\frac{4{,}269 \cdot 10^{13}}{3{,}6875}} = \sqrt{1{,}158 \cdot 10^{13}} = 3{,}40 \cdot 10^6\ \text{m} = 3400\ \text{km}$$

Controllo delle unità: $\sqrt{\frac{\text{m}^3/\text{s}^2}{\text{m/s}^2}} = \sqrt{\text{m}^2} = \text{m}$ ✓. Il valore vero del raggio di Marte è circa $3390$ km: ottimo accordo.

(Nella soluzione ufficiale compare la riga "$g_M = \gamma M_M / R_M^2 = 1{,}61$ m/s²": è un refuso copiato dalla versione A, quella sulla Luna. Il valore corretto è $3{,}69$ m/s², ed è quello con cui la stessa soluzione calcola correttamente $R_M = 3400$ km.)

b) Gittata su Marte

Come nell'esercizio sulla Luna, la gittata dal suolo è $d = \frac{2 v_{0x} v_{0y}}{g}$ (Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →); a parità di velocità iniziale il numeratore è lo stesso sulla Terra e su Marte, quindi la gittata è inversamente proporzionale a $g$:

$$d_M = d_T\,\frac{g}{g_M} = 20 \cdot \frac{9{,}81}{3{,}69} = 53{,}2\ \text{m}$$

(La soluzione ufficiale dà $53{,}1$ m usando $g = 9{,}8$ m/s².)

c) Velocità sull'orbita circolare

Distanza dal centro: $r = R_M + h = 3{,}40 \cdot 10^6 + 0{,}60 \cdot 10^6 = 4{,}00 \cdot 10^6$ m. La gravità fa da forza centripetaG M m / r² = m v² / r: la massa della navicella si semplifica.Forza centripeta nel moto curvilineo →:

$$v = \sqrt{\frac{G M_M}{r}} = \sqrt{\frac{4{,}269 \cdot 10^{13}}{4{,}00 \cdot 10^6}} = 3{,}27 \cdot 10^3\ \text{m/s} \approx 11\,760\ \text{km/h}$$

d) Orbita ellittica

Si conservano il momento angolare rispetto al centro di Marte (forza centrale) e l'energia meccanica (forza conservativa). Nei punti estremi la velocità è perpendicolare al raggio:

$$v_A R_A = v_P R_P \qquad\qquad \tfrac12 v_A^2 - \frac{G M_M}{R_A} = \tfrac12 v_P^2 - \frac{G M_M}{R_P}$$

(già divise per la massa della navicella). Controllo qualitativo: a $R_A = 4000$ km la velocità circolare sarebbe $3267$ m/s, quella data è $3194$ m/s, minore: quindi $A$ è davvero il punto più lontano e $R_P < R_A$.

Risolvendo come in Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →:

$$\frac{2 G M_M}{R_A v_A^2} = \frac{2 \cdot 4{,}269 \cdot 10^{13}}{4{,}0 \cdot 10^6 \cdot 3194^2} = 2{,}092 \qquad R_P = \frac{R_A}{2{,}092 - 1} = \frac{4000}{1{,}092}\ \text{km} = 3664\ \text{km}$$

cioè a quota $R_P - R_M = 3664 - 3402 = 262$ km. La velocità nel punto più vicino:

$$v_P = v_A\,\frac{R_A}{R_P} = 11\,500 \cdot \frac{4000}{3664}\ \text{km/h} = 12\,554\ \text{km/h}$$

La soluzione ufficiale riporta $3670$ km, quota $270$ km e $12\,535$ km/h: stesse cifre a meno degli arrotondamenti intermedi.

Risultati

Errori comuni

• Confondere massa e peso: $m = 80$ kg è la massa, $295$ N il peso; il rapporto dà $g_M$.
• Calcolare la quota del perigeo con il raggio della Terra o della Luna invece di quello di Marte trovato al punto a).
• Gli stessi errori dell'esercizio sulla Luna: distanze dal centro, unità SI, energia potenziale $-\frac{GMm}{r}$ e non $mgh$.