Esercizio 51gravità e orbite intorno alla Luna

Testo (primo compitino del 14 aprile 2025, problema 3, versione A). La Luna ha massa $M_L = 7{,}3 \cdot 10^{22}$ kg e raggio $R_L = 1740$ km. Ricordando che la costante di gravitazione universale è $\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, determinare:

a) la forza peso sulla sua superficie per una persona di massa $m = 80$ kg; b) la gittata $d_L$ di un cannoncino che sulla Terra, a parità di velocità iniziale e angolo di inclinazione, sparando da un'altezza iniziale nulla avrebbe una gittata $d_T = 20$ m; c) la velocità orbitale di una navicella spaziale in orbita circolare intorno alla Luna ad un'altezza $h = 260$ km dal suolo lunare; d) se in un'orbita ellittica il punto più distante dalla Luna è a distanza $R_A = 2000$ km dal centro della Luna e la velocità è $v_A = 5500$ km/h, determinare la distanza $R_P$ dal centro e la velocità nel punto $P$ dell'orbita più vicino alla Luna.

(Nel testo la costante di gravitazione si chiama $\gamma$; negli appunti la indichiamo con $G$, è la stessa cosa.)

Dati in unità SI

Prima di tutto si convertono i dati in metri, secondi e kilogrammi, perché $G$ è espressa in unità SI (regola d'oroConvertire tutti i dati in unità SI prima di sostituire: così il risultato esce in unità SI senza fattori nascosti.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni →):

Un prodotto che comparirà sempre è $G M_L = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}3 \cdot 10^{22} = 4{,}869 \cdot 10^{12}\ \text{m}^3/\text{s}^2$: conviene calcolarlo una volta sola.

a) Forza peso sulla Luna

Il peso di un corpo sulla superficie di un corpo celeste è la forza di attrazione gravitazionale che subisce. Per la legge di gravitazioneF = G M m / r², con r distanza tra i centri: per un corpo sulla superficie r è il raggio della Luna, perché una sfera attrae come se la sua massa fosse tutta nel centro.Legge di gravitazione universale →, con la persona a distanza $R_L$ dal centro:

$$F_{peso} = G\,\frac{M_L\,m}{R_L^2} = m\,g_L \qquad \text{con} \qquad g_L = \frac{G M_L}{R_L^2}$$

Calcolo dell'accelerazione di gravità lunare:

$$g_L = \frac{4{,}869 \cdot 10^{12}}{(1{,}74 \cdot 10^6)^2} = \frac{4{,}869 \cdot 10^{12}}{3{,}028 \cdot 10^{12}} = 1{,}61\ \text{m/s}^2$$

Controllo delle unità: $\frac{\text{m}^3/\text{s}^2}{\text{m}^2} = \text{m/s}^2$, un'accelerazione ✓.

Quindi

$$F_{peso} = 80 \cdot 1{,}61 = 128{,}7\ \text{N}$$

Sulla Terra la stessa persona pesa $80 \cdot 9{,}81 = 785$ N: sulla Luna pesa circa un sesto. La massa invece è sempre $80$ kg, perché è una proprietà del corpo e non dipende da dove si trova.

b) Gittata del cannoncino sulla Luna

Un proiettile sparato dal suolo con velocità iniziale di componenti $v_{0x}$ (orizzontale) e $v_{0y}$ (verticale) ricade alla stessa quota dopo aver percorso la gittataIl tempo di volo è 2 v0y / g (tempo di salita più tempo di discesa, uguali); in quel tempo il proiettile avanza a velocità orizzontale costante v0x.Moto parabolico →

$$d = v_{0x} \cdot t_{volo} = v_{0x} \cdot \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2\,v_{0x}\,v_{0y}}{g}$$

Perché questa formula è comoda qui: il testo dice "a parità di velocità iniziale e angolo", cioè $v_{0x}$ e $v_{0y}$ sono gli stessi sulla Terra e sulla Luna. Il numeratore $2 v_{0x} v_{0y}$ è quindi lo stesso nei due casi, e non serve conoscerlo: basta fare il rapporto.

$$\frac{d_L}{d_T} = \frac{2 v_{0x} v_{0y} / g_L}{2 v_{0x} v_{0y} / g} = \frac{g}{g_L} \quad \Longrightarrow \quad d_L = d_T\,\frac{g}{g_L} = 20 \cdot \frac{9{,}81}{1{,}608} = 122\ \text{m}$$

La gittata è inversamente proporzionale a $g$: con una gravità sei volte più debole il proiettile va sei volte più lontano (resta in aria sei volte di più, e avanza sempre alla stessa velocità orizzontale). La soluzione ufficiale riporta $121{,}7$ m perché usa $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$: la differenza è solo di arrotondamento.

c) Velocità sull'orbita circolare

La navicella si trova a distanza $r = R_L + h$ dal centro della Luna (non dalla superficie):

$$r = 1{,}74 \cdot 10^6 + 0{,}26 \cdot 10^6 = 2{,}00 \cdot 10^6\ \text{m}$$

Su un'orbita circolare l'unica forza è l'attrazione della Luna, che deve fornire la forza centripetaPer muoversi su un cerchio di raggio r a velocità v serve una forza diretta verso il centro di modulo m v² / r.Forza centripeta nel moto curvilineo →:

$$G\,\frac{M_L\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{G M_L}{r}}$$

(la massa $m$ della navicella si semplifica: la velocità orbitale non dipende da quanto pesa il veicolo). Numeri:

$$v = \sqrt{\frac{4{,}869 \cdot 10^{12}}{2{,}00 \cdot 10^6}} = \sqrt{2{,}434 \cdot 10^6} = 1560\ \text{m/s} = 1560 \cdot 3{,}6\ \text{km/h} = 5617\ \text{km/h}$$

Controllo delle unità: $\sqrt{\frac{\text{m}^3/\text{s}^2}{\text{m}}} = \sqrt{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{m/s}$ ✓.

Per curiosità il periodo è $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 2 \cdot 10^6}{1560} = 8054$ s $\approx 2$ h $14$ min.

d) Orbita ellittica: dal punto più lontano al più vicino

Che cosa si conserva e perché

Sulla navicella agisce solo la gravità della Luna, che è:

• una forza centrale (diretta sempre verso il centro della Luna): ha momento nullo rispetto al centro, quindi si conserva il momento angolarePer una forza centrale il momento rispetto al centro è nullo, e allora il momento angolare rispetto al centro resta costante.Momento angolare e momento di una forza → $L$ rispetto al centro;
• una forza conservativa: si conserva l'energia meccanicaE = (1/2) m v² − G M m / r, con l'energia potenziale gravitazionale scelta nulla all'infinito.Energia potenziale gravitazionale e orbite →.

Nei due punti estremi dell'orbita (il più lontano $A$ e il più vicino $P$) la velocità è perpendicolare al raggio, quindi il momento angolare ha la forma semplice $L = m v r$. Due equazioni nelle due incognite $R_P$, $v_P$:

$$m\,v_A R_A = m\,v_P R_P \qquad\qquad \tfrac12 m v_A^2 - \frac{G M_L m}{R_A} = \tfrac12 m v_P^2 - \frac{G M_L m}{R_P}$$

La massa $m$ della navicella si semplifica in entrambe.

Prima un controllo qualitativo

La velocità che servirebbe per un'orbita circolare di raggio $R_A = 2000$ km è quella calcolata al punto c), $1560$ m/s. In $A$ la navicella ha $v_A = 1528$ m/s, un po' meno: non ha abbastanza velocità per restare a quella distanza e "cade" verso la Luna, quindi davvero $A$ è il punto più lontano e $P$ sarà più vicino, $R_P < R_A$.

Soluzione

Dalla prima equazione $v_P = v_A \frac{R_A}{R_P}$. Sostituendo nella seconda e risolvendo per $R_P$ (i passaggi algebrici sono nella nota Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →) si ottiene

$$R_P = \frac{R_A}{\dfrac{2 G M_L}{R_A\,v_A^2} - 1}$$

Il numero al denominatore:

$$\frac{2 G M_L}{R_A\,v_A^2} = \frac{2 \cdot 4{,}869 \cdot 10^{12}}{2{,}0 \cdot 10^6 \cdot (1527{,}8)^2} = \frac{9{,}738 \cdot 10^{12}}{4{,}668 \cdot 10^{12}} = 2{,}086$$

quindi

$$R_P = \frac{2000\ \text{km}}{2{,}086 - 1} = \frac{2000}{1{,}086}\ \text{km} = 1842\ \text{km}$$

cioè a una quota di $R_P - R_L = 1842 - 1740 = 102$ km sopra il suolo lunare. Poi, dalla conservazione del momento angolare,

$$v_P = v_A\,\frac{R_A}{R_P} = 5500 \cdot \frac{2000}{1842}\ \text{km/h} = 5973\ \text{km/h} \ (= 1659\ \text{m/s})$$

(Qui si può lasciare la velocità in km/h, perché il rapporto $R_A / R_P$ è un numero puro.)

Verifica dell'energia (per unità di massa): in $A$, $\frac12 v_A^2 - \frac{G M_L}{R_A} = 1{,}167 \cdot 10^6 - 2{,}434 \cdot 10^6 = -1{,}267 \cdot 10^6$ J/kg; in $P$, $\frac12 \cdot 1659^2 - \frac{4{,}869 \cdot 10^{12}}{1{,}8415 \cdot 10^6} = 1{,}377 \cdot 10^6 - 2{,}644 \cdot 10^6 = -1{,}267 \cdot 10^6$ J/kg ✓. È negativa, come deve essere per un'orbita legata.

La soluzione ufficiale riporta $R_P = 1850$ km, $v_P = 5940$ km/h e quota $110$ km: la differenza (meno dell'$1\%$) viene dagli arrotondamenti intermedi; i valori qui sopra sono calcolati senza arrotondare.

Risultati

Errori comuni

• Usare la quota $h$ al posto della distanza dal centro $R_L + h$ nella velocità orbitale.
• Dimenticare di convertire km in m e km/h in m/s prima di usare $G$.
• Scrivere la conservazione dell'energia con $mgh$: le distanze in gioco sono paragonabili al raggio della Luna, quindi serve $U = -\frac{G M m}{r}$.
• Usare $L = m v r$ in un punto qualsiasi dell'ellisse: vale così solo nei punti estremi, dove velocità e raggio sono perpendicolari.