Ciclo di Carnot e teorema di Carnot

Prima: Secondo principio della termodinamicaNon esiste una macchina ciclica che trasformi in lavoro tutto il calore preso da un solo serbatoio (Kelvin-Planck), né una che porti calore dal freddo al caldo senza lavoro (Clausius): i due enunciati sono equivalenti. Trasformazioni reversibili e irreversibili.Secondo principio della termodinamica →. Seguito: Teorema di Clausius ed entropiaIn ogni ciclo la somma dei Q/T è ≤ 0, con l'uguale solo se il ciclo è reversibile (Clausius). Da qui l'entropia, funzione di stato con ΔS = ∫ dQrev/T. L'entropia dell'universo non diminuisce mai: resta costante nei processi reversibili, cresce in quelli irreversibili.Teorema di Clausius ed entropia →. Esercizio: Esercizio 85 · ciclo con isocora irreversibile e confronto con Carnot.

Il problema: macchine con due soli serbatoi

Il secondo principioEnunciato di Kelvin-Planck: nessuna macchina ciclica può trasformare in lavoro tutto il calore preso da un solo serbatoio.Secondo principio della termodinamica → dice che una macchina termica ha bisogno di almeno due serbatoi: uno caldo a temperatura $T_2$ da cui prende calore e uno freddo a $T_1 < T_2$ a cui ne cede una parte. Domanda naturale: tra due temperature date, qual è il massimo rendimento possibile? La risposta la dà il ciclo di Carnot.

Notazione (usata anche nei temi d'esame): $T_2$ temperatura del serbatoio caldo, $T_1$ del freddo; $Q_2 > 0$ calore assorbito dal caldo, $Q_1 < 0$ calore ceduto al freddo.

Il ciclo di Carnot

Se la macchina scambia calore solo con due serbatoi e deve essere reversibile, il gas può scambiare calore solo quando ha la stessa temperatura del serbatoio (altrimenti lo scambio sarebbe irreversibile). Quindi:

• quando scambia calore, il gas è a $T_2$ o a $T_1$: tratti isotermi;
• per passare da $T_2$ a $T_1$ e viceversa non può scambiare calore: tratti adiabatici.

Il ciclo di Carnot è quindi formato da due isoterme e due adiabatiche reversibili:

1. $A \to B$: espansione isoterma a $T_2$, il gas assorbe $Q_2$;
2. $B \to C$: espansione adiabatica, la temperatura scende da $T_2$ a $T_1$;
3. $C \to D$: compressione isoterma a $T_1$, il gas cede $Q_1$;
4. $D \to A$: compressione adiabatica, la temperatura risale a $T_2$.

Rendimento del ciclo di Carnot con un gas ideale

Calori sulle isoterme. Per un gas ideale in un'isoterma reversibileA temperatura costante l'energia interna del gas ideale non cambia, quindi Q = W = nRT ln(Vfin/Vin).Trasformazioni dei gas ideali →:

$$Q_2 = Q_{AB} = nRT_2 \ln\frac{V_B}{V_A} > 0, \qquad Q_1 = Q_{CD} = nRT_1 \ln\frac{V_D}{V_C} = -nRT_1 \ln\frac{V_C}{V_D} < 0$$

Legame tra i volumi dalle adiabatiche. Su un'adiabatica reversibile $T V^{\gamma - 1} = \text{cost}$:

$$T_2 V_B^{\gamma-1} = T_1 V_C^{\gamma-1}, \qquad T_2 V_A^{\gamma-1} = T_1 V_D^{\gamma-1}$$

Dividendo membro a membro la prima per la seconda, $T_2$ e $T_1$ si semplificano:

$$\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_C}{V_D}\right)^{\gamma-1} \quad \Longrightarrow \quad \frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}$$

Rapporto dei calori. Quindi i due logaritmi sono uguali e

$$\frac{|Q_1|}{Q_2} = \frac{nRT_1 \ln(V_C/V_D)}{nRT_2 \ln(V_B/V_A)} = \frac{T_1}{T_2}$$

e il rendimento è

$$\boxed{\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{|Q_1|}{Q_2} = 1 - \frac{T_1}{T_2}}$$

(temperature in kelvin). Dipende solo dalle temperature dei due serbatoi: non dal gas, non dal numero di moli, non dai volumi.

Esempio numerico. $n = 1$ mol, $T_2 = 500$ K, $T_1 = 300$ K, $V_B / V_A = 2$:

• $Q_2 = 8{,}31 \cdot 500 \cdot \ln 2 = 2880\ \text{J}$;
• $Q_1 = -8{,}31 \cdot 300 \cdot \ln 2 = -1728\ \text{J}$ (stesso logaritmo, perché $V_C / V_D = V_B / V_A$);
• $W = Q_2 + Q_1 = 1152\ \text{J}$, $\eta = \frac{1152}{2880} = 0{,}40 = 1 - \frac{300}{500}$ ✓.

Se il gas è biatomico ($\gamma = \frac75$, $\gamma - 1 = 0{,}4$), l'adiabatica $BC$ deve espandere il gas di un fattore $V_C / V_B = (T_2/T_1)^{1/0{,}4} = (5/3)^{2{,}5} = 3{,}59$.

Il rendimento cresce con $T_2$ ma tende a $1$ senza mai arrivarci: servirebbe $T_2 = \infty$ oppure $T_1 = 0$ K.

Carnot al contrario: frigorifero e pompa di calore

Il ciclo è reversibile, quindi si può percorrere al contrario: diventa un frigoriferoMacchina che, spendendo lavoro, assorbe calore dal corpo freddo e lo cede al corpo caldo.Macchine termiche e frigorifere → che assorbe $Q_1$ dal freddo e cede $|Q_2|$ al caldo, con $\frac{Q_1}{|Q_2|} = \frac{T_1}{T_2}$ e $|W| = |Q_2| - Q_1$. Le efficienze sono

$$\xi_{\text{Carnot}} = \frac{Q_1}{|W|} = \frac{T_1}{T_2 - T_1}, \qquad \xi_{\text{pdc, Carnot}} = \frac{|Q_2|}{|W|} = \frac{T_2}{T_2 - T_1}$$

Esempi. Freezer a $-18\,°\text{C} = 255\ \text{K}$ in una cucina a $25\,°\text{C} = 298\ \text{K}$: $\xi \le \frac{255}{43} = 5{,}93$. Pompa di calore che scalda una casa a $293$ K prendendo calore dall'aria a $273$ K: $\xi_{\text{pdc}} \le \frac{293}{20} = 14{,}7$. Più le temperature sono vicine, più è facile spostare calore.

Teorema di Carnot

1. Tra tutte le macchine che lavorano tra due serbatoi a temperature $T_2$ e $T_1$, nessuna ha rendimento maggiore di una macchina reversibile.
2. Tutte le macchine reversibili che lavorano tra gli stessi due serbatoi hanno lo stesso rendimento, $1 - T_1/T_2$.

In formula, per una macchina qualunque $X$ tra $T_2$ e $T_1$:

$$\eta_X \le \eta_{\text{rev}} = 1 - \frac{T_1}{T_2}$$

con l'uguale solo se $X$ è reversibile.

Idea della dimostrazione (per assurdo). Supponiamo che una macchina $X$ abbia $\eta_X > \eta_R$, dove $R$ è una macchina reversibile tra gli stessi serbatoi. Regoliamo le due macchine in modo che producano lo stesso lavoro $W$ per ciclo e facciamo funzionare $R$ al contrario, come frigorifero, azionato proprio dal lavoro di $X$:

• $X$ prende $Q_2^X = W/\eta_X$ dal caldo;
• $R$ (invertita) restituisce al caldo $Q_2^R = W/\eta_R$, che è maggiore di $Q_2^X$ perché $\eta_R < \eta_X$.

Lavoro netto dall'esterno: zero. Il serbatoio caldo guadagna $Q_2^R - Q_2^X > 0$, e lo stesso calore viene tolto al freddo (il bilancio di energia deve tornare). L'unico risultato è un passaggio di calore dal freddo al caldo: viola l'enunciato di ClausiusImpossibile far passare calore dal freddo al caldo come unico risultato.Secondo principio della termodinamica →. Quindi $\eta_X \le \eta_R$. Se anche $X$ è reversibile si può ripetere il ragionamento scambiando i ruoli, e si ottiene $\eta_R \le \eta_X$: i due rendimenti sono uguali.

Conseguenze pratiche negli esercizi.

• Il rendimento di un ciclo qualsiasi tra $T_{\max}$ e $T_{\min}$ si confronta con $1 - T_{\min}/T_{\max}$: deve venire minore (se viene maggiore c'è un errore di calcolo). Nell'Esercizio 85 · ciclo con isocora irreversibile e confronto con Carnot si trova $\eta = 0{,}137 < \eta_{\text{Carnot}} = 0{,}167$.
• Una macchina reversibile che scambia calore con due serbatoi soddisfa sempre $\frac{|Q_1|}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$, anche se non lavora con un gas ideale: è il modo di calcolare i calori quando i serbatoi sono miscele di acqua e ghiaccio o acqua e vapore (Esercizio 90 · frigorifero tra acqua bollente e ghiaccio).

Temperatura termodinamica assoluta

Il teorema di Carnot dice che il rapporto $\frac{|Q_1|}{Q_2}$ scambiato da una macchina reversibile dipende solo dalle temperature dei due serbatoi, non dalla sostanza usata. Kelvin lo ha usato per definire una scala di temperatura che non dipende da nessun termometro particolare:

$$\frac{T_1}{T_2} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{|Q_1|}{Q_2} \quad \text{(macchina reversibile tra i due serbatoi)}$$

fissando la scala con il punto triplo dell'acqua, $T_{\text{tr}} = 273{,}16$ K. Per misurare la temperatura $T$ di un corpo si fa lavorare (idealmente) una macchina reversibile tra il corpo e un serbatoio al punto triplo e si misurano i calori: $T = 273{,}16\ \text{K} \cdot \frac{|Q|}{|Q_{\text{tr}}|}$.

Il calcolo del ciclo di Carnot con il gas ideale mostra che questa temperatura coincide con quella del termometro a gas ideale (quella che compare in $pV = nRT$, vedi Temperatura ed equilibrio termicoUn sistema termodinamico si descrive con poche variabili di stato (p, V, T, n), che hanno senso solo all'equilibrio. Due sistemi a contatto attraverso una parete diatermica raggiungono l'equilibrio termico; il principio zero permette di definire la temperatura e di misurarla con un termometro. Kelvin: T = t(°C) + 273,15.Temperatura ed equilibrio termico →). Inoltre $T = 0$ è un limite che non si può raggiungere: una macchina reversibile con $T_1 = 0$ avrebbe $Q_1 = 0$ e quindi $\eta = 1$, vietato da Kelvin-Planck.

Riassunto

Errori comuni

• Usare i gradi Celsius in $1 - T_1/T_2$: con $T_2 = 100\,°\text{C}$ e $T_1 = 0\,°\text{C}$ verrebbe $\eta = 1$, assurdo. In kelvin: $1 - \frac{273{,}15}{373{,}15} = 0{,}268$.
• Applicare $1 - T_1/T_2$ a un ciclo che non è di Carnot: per gli altri cicli il rendimento si calcola dai calori, tratto per tratto; $1 - T_{\min}/T_{\max}$ serve solo come limite superiore.
• Confondere $\xi_{\text{Carnot}}$ del frigorifero con quello della pompa di calore: differiscono di $1$.