Esercizio 31caduta in un fluido viscoso

Testo (esercizio di allenamento sull'attrito viscoso). Una pallina di massa $m = 0{,}01$ kg viene lanciata verticalmente verso il basso, con velocità $v_0 = 3$ m/s, dentro un recipiente profondo pieno d'olio. L'olio esercita sulla pallina una forza viscosa $\vec F = -b\,\vec v$, con $b = 0{,}05$ kg/s (si trascuri la spinta di Archimede). Determinare:

a) la velocità limite e la costante di tempo del moto; b) l'accelerazione della pallina appena entra nell'olio, e dire se la pallina accelera o rallenta; c) la legge $v(t)$ e il tempo dopo il quale la velocità è scesa a $2{,}0$ m/s; d) lo spazio percorso in quel tempo e il lavoro compiuto dalla forza viscosa.

Impostazione

Asse $y$ verticale verso il basso, così la velocità è positiva per tutto il moto. Sulla pallina agiscono il peso $+mg$ e la forza viscosa $-bv$ (opposta alla velocità, quindi verso l'alto) (Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso →). Seconda legge:

$$m\frac{dv}{dt} = m g - b v$$

a) Velocità limite e costante di tempo

La velocità limite è quella per cui la forza viscosa bilancia il peso e l'accelerazione è nulla:

$$b\,v_{\lim} = m g \quad\Longrightarrow\quad v_{\lim} = \frac{m g}{b} = \frac{0{,}01 \cdot 9{,}81}{0{,}05} = 1{,}96\ \text{m/s}$$

La costante di tempo è

$$\tau = \frac{m}{b} = \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}2\ \text{s}$$

(dimensioni: $\frac{\text{kg}}{\text{kg/s}} = \text{s}$). Con queste due grandezze l'equazione del moto si riscrive in una forma comoda:

$$\frac{dv}{dt} = \frac{v_{\lim} - v}{\tau}$$

b) Accelerazione iniziale

$$a_0 = g - \frac{b\,v_0}{m} = 9{,}81 - \frac{0{,}05 \cdot 3}{0{,}01} = 9{,}81 - 15 = -5{,}19\ \text{m/s}^2$$

Negativa, cioè diretta verso l'alto, opposta alla velocità: la pallina rallenta. Il motivo è che entra più veloce della velocità limite ($3 > 1{,}96$ m/s): la forza viscosa iniziale, $b v_0 = 0{,}15$ N, supera il peso, $mg = 0{,}098$ N.

Lo stesso si legge nella forma di sopra: $\frac{v_{\lim} - v_0}{\tau} = \frac{1{,}96 - 3}{0{,}2} = -5{,}19$ m/s² ✓.

c) Legge della velocità e tempo per scendere a $2{,}0$ m/s

Integrazione. Si separano le variabili, $v$ da una parte e $t$ dall'altra, e si integra da $(0, v_0)$ a $(t, v)$:

$$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v_{\lim} - v'} = \int_0^t \frac{dt'}{\tau}$$

La primitiva di $\frac{1}{v_{\lim} - v'}$ rispetto a $v'$ è $-\ln|v_{\lim} - v'|$ (c'è il meno perché $v'$ compare con il segno meno). Quindi

$$-\ln\left|\frac{v_{\lim} - v}{v_{\lim} - v_0}\right| = \frac{t}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v - v_{\lim}}{v_0 - v_{\lim}} = e^{-t/\tau}$$

$$\boxed{v(t) = v_{\lim} + (v_0 - v_{\lim})\,e^{-t/\tau}}$$

La differenza tra la velocità e la velocità limite si riduce esponenzialmente, come nel Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente →: si parte da $v_0$ e ci si avvicina a $v_{\lim}$ dall'alto, senza mai scendere sotto. Controlli: per $t = 0$ si ha $v = v_0$ ✓; per $t \to \infty$ si ha $v \to v_{\lim}$ ✓. La stessa formula vale per $v_0 < v_{\lim}$ (la pallina accelera e si avvicina a $v_{\lim}$ dal basso) e per $v_0 = 0$, dove ridà $v = v_{\lim}(1 - e^{-t/\tau})$.

Tempo. Si pone $v = 2{,}0$ m/s:

$$e^{-t/\tau} = \frac{2{,}0 - 1{,}962}{3 - 1{,}962} = \frac{0{,}038}{1{,}038} = 0{,}0366$$

$$t = -\tau\,\ln 0{,}0366 = 0{,}2 \cdot 3{,}31 = 0{,}66\ \text{s}$$

Poco più di tre costanti di tempo: dopo $3\tau$ la differenza dalla velocità limite si è ridotta al $5\%$ del valore iniziale.

d) Spazio percorso e lavoro della forza viscosa

Spazio. Si integra $v(t)$ da $0$ a $t$:

$$y(t) = \int_0^t \left[v_{\lim} + (v_0 - v_{\lim})\,e^{-t'/\tau}\right] dt' = v_{\lim}\,t + \tau\,(v_0 - v_{\lim})\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

$$y = 1{,}962 \cdot 0{,}661 + 0{,}2 \cdot 1{,}038 \cdot (1 - 0{,}0366) = 1{,}298 + 0{,}200 = 1{,}50\ \text{m}$$

Il primo termine è lo spazio che la pallina farebbe andando sempre a $v_{\lim}$; il secondo è lo spazio "in più" guadagnato all'inizio, quando andava più veloce.

Lavoro della forza viscosa. Calcolarlo come $\int F\,dy$ richiederebbe un altro integrale; è più semplice il teorema dell'energia cineticaLa variazione dell'energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze: qui il peso e la forza viscosa.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →:

$$\Delta K = W_{\text{peso}} + W_{\text{visc}} \quad\Longrightarrow\quad W_{\text{visc}} = \tfrac12 m\,(v^2 - v_0^2) - m g\,y$$

$$W_{\text{visc}} = \tfrac12 \cdot 0{,}01 \cdot (4 - 9) - 0{,}01 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}50 = -0{,}025 - 0{,}147 = -0{,}172\ \text{J}$$

Negativo, come deve essere per una forza sempre opposta alla velocità. Si dissipa sia l'energia cinetica persa ($0{,}025$ J) sia tutta l'energia potenziale ceduta dal peso ($0{,}147$ J): l'olio si scalda. A velocità limite questa dissipazione continua a regime, con potenza $b v_{\lim}^2 = m g v_{\lim} = 0{,}19$ W (Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →).

Risultati

Errori comuni

• Usare $v = v_{\lim}(1 - e^{-t/\tau})$ con $v_0 \ne 0$: quella formula vale solo partendo da fermi. In generale $v = v_{\lim} + (v_0 - v_{\lim})\,e^{-t/\tau}$.
• Pensare che la pallina rallenti fino a fermarsi: rallenta solo fino a $v_{\lim}$, perché sotto quel valore il peso torna a vincere.
• Chiedersi quando raggiunge esattamente $v_{\lim}$: mai, in un tempo finito; ci si avvicina esponenzialmente.
• Trascurare il lavoro del peso nel bilancio energetico: la forza viscosa dissipa anche l'energia potenziale.