Esercizio 89compressione a pressione esterna costante

Testo (secondo compitino del 14 giugno 2023, problema 3). $n = 0{,}6$ moli di gas ideale biatomico sono contenute in un cilindro con pareti diatermiche chiuso superiormente da un pistone. Inizialmente il gas è nello stato $A$ in equilibrio termico con l'ambiente alla temperatura $T_A = 300\ \text{K}$ e alla pressione $p_A = 10^5\ \text{Pa}$. Il gas viene compresso imprimendo sul pistone una pressione esterna (inclusiva di quella dell'ambiente) $p_{\text{est}} = 1{,}8 \cdot 10^5\ \text{Pa}$, fino al raggiungimento dello stato $B$ con $p_B = p_{\text{est}}$ e $V_B = 10\ \text{dm}^3$. Successivamente il gas viene riscaldato reversibilmente fino a raggiungere il volume $V_C = V_A$; in questa trasformazione reversibile $BC$ la pressione cresce gradatamente in maniera lineare fino al valore $p_C = 2{,}5 \cdot 10^5\ \text{Pa}$. Infine il gas viene riportato nello stato iniziale $A$ con un raffreddamento isocoro reversibile. Ricordando che la costante universale dei gas ideali vale $R = 8{,}31\ \text{J/(K mole)}$, determinare:

a) il volume iniziale del gas $V_A$ e la temperatura $T_B$ dello stato $B$; b) il lavoro subito dal gas $W_{AB}$ e il calore scambiato $Q_{AB}$ nella trasformazione $AB$; c) il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione $BC$ e il rendimento del ciclo: $W_{BC}$, $\eta$ (suggerimento: si disegni il ciclo nel piano di Clapeyron e si consideri l'area del trapezio al di sotto della curva $BC$ rappresentativa della trasformazione); d) la variazione di entropia dell'Universo nel ciclo: $\Delta S_{\text{UN}}$.

Le parti a), b), c), di primo principio, sono spiegate passo per passo in Esercizio 76 · compressione a pressione esterna costante e ciclo con un tratto lineare; qui si riprendono in breve e ci si concentra sulla d).

Dati

Gas biatomico: $c_V = \frac52 R$. Segni: $Q > 0$ assorbito, $W > 0$ compiuto dal gas, $\Delta U = Q - W$.

a) Volume iniziale e temperatura di $B$

Dall'equazione di statoUn gas abbastanza rarefatto obbedisce all'equazione di stato pV = nRT, con R = 8,31 J/(mol·K) e T in kelvin. Riassume le leggi di Boyle (isoterma), di Gay-Lussac (isobara e isocora) e di Avogadro. Per n fisso: pV/T è costante tra due stati qualsiasi.Gas ideali - equazione di stato → negli stati $A$ e $B$:

$$V_A = \frac{nRT_A}{p_A} = \frac{0{,}6 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{10^5} = 0{,}01496\ \text{m}^3 = 14{,}96\ \text{dm}^3$$

$$T_B = \frac{p_B V_B}{nR} = \frac{1{,}8 \times 10^5 \cdot 0{,}010}{0{,}6 \cdot 8{,}31} = \frac{1800}{4{,}986} = 361\ \text{K}$$

b) Lavoro e calore della compressione $AB$

Che tipo di trasformazione è. Sul pistone si impone di colpo una pressione esterna costante $p_{\text{est}} = 1{,}8 \times 10^5$ Pa, molto maggiore della pressione iniziale del gas ($10^5$ Pa). Il pistone scende rapidamente; il gas non è in equilibrio durante la compressione e la sua pressione non è definita: la trasformazione è irreversibile. Si conoscono solo gli stati estremi.

Lavoro. Il lavoro sul pistone lo fa la pressione esterna, che è costante (lavoro contro una pressione esterna costanteIn una trasformazione irreversibile il lavoro del gas è W = pest ΔV se la pressione esterna è costante.Lavoro termodinamico →):

$$W_{AB} = p_{\text{est}}(V_B - V_A) = 1{,}8 \times 10^5 \cdot (0{,}010 - 0{,}01496) = -892\ \text{J}$$

Negativo: è una compressione, il gas subisce $892\ \text{J}$ di lavoro.

Energia interna (dipende solo dalle temperature estreme):

$$\Delta U_{AB} = n c_V (T_B - T_A) = 0{,}6 \cdot \tfrac52 \cdot 8{,}31 \cdot (361 - 300) = 760\ \text{J}$$

Calore, dal primo principioUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica →:

$$Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 760 - 892 = -132\ \text{J}$$

Il gas cede $132\ \text{J}$ all'ambiente attraverso le pareti diatermiche: dei $892\ \text{J}$ di lavoro ricevuti, $760$ restano come energia interna (il gas si scalda) e $132$ escono come calore.

c) Lavoro di $BC$ e rendimento

Il ciclo nel piano di Clapeyron. $A$ ($14{,}96\ \text{dm}^3$; $1{,}0 \times 10^5$ Pa), $B$ ($10\ \text{dm}^3$; $1{,}8 \times 10^5$ Pa), $C$ ($14{,}96\ \text{dm}^3$; $2{,}5 \times 10^5$ Pa). $AB$ va a sinistra e in alto (tratteggiata, irreversibile); $BC$ è un segmento rettilineo che sale verso destra (pressione lineare nel volume); $CA$ è un segmento verticale che scende (isocora). Il ciclo è un triangolo percorso in senso orario: lavoro netto positivo.

Lavoro di $BC$. Il lavoro è l'area sotto la curva $p(V)$ tra $V_B$ e $V_C$. La curva è un segmento, quindi l'area è un trapezio con basi $p_B$ e $p_C$ e altezza $V_C - V_B$; lo si può spezzare in un rettangolo (altezza $p_B$) più un triangolo (altezza $p_C - p_B$):

$$W_{BC} = p_B (V_C - V_B) + \tfrac12 (p_C - p_B)(V_C - V_B) = \frac{p_B + p_C}{2}\,(V_C - V_B)$$

$$W_{BC} = \frac{(1{,}8 + 2{,}5) \times 10^5}{2} \cdot (0{,}01496 - 0{,}010) = 2{,}15 \times 10^5 \cdot 0{,}00496 = 1066\ \text{J}$$

Calore di $BC$. Temperatura di $C$: $T_C = \frac{p_C V_C}{nR} = \frac{2{,}5 \times 10^5 \cdot 0{,}01496}{4{,}986} = 750\ \text{K}$. Allora

$$Q_{BC} = \Delta U_{BC} + W_{BC} = n c_V (T_C - T_B) + W_{BC} = 12{,}47 \cdot (750 - 361) + 1066 = 4849 + 1066 = 5915\ \text{J}$$

Quali tratti assorbono. $AB$ cede ($-132\ \text{J}$). $CA$ è un raffreddamento isocoro da $750$ a $300$ K: $Q_{CA} = n c_V (T_A - T_C) = -5609\ \text{J}$, ceduto. In $BC$ sia la pressione sia il volume crescono, quindi $pV = nRT$ cresce: il gas si scalda e intanto si espande, e assorbe calore in ogni tratto. Quindi $Q_{\text{ass}} = Q_{BC}$.

Lavoro totale e rendimento ($W_{CA} = 0$ perché isocora):

$$W = W_{AB} + W_{BC} = -892 + 1066 = 174\ \text{J}, \qquad \eta = \frac{W}{Q_{\text{ass}}} = \frac{174}{5915} = 0{,}029$$

Controllo con il bilancio dei calori: $Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CA} = -132 + 5915 - 5609 = 174\ \text{J} = W$ ✓ (nel ciclo $\Delta U = 0$).

d) Entropia dell'universo

Il gas compie un ciclo ($\Delta S_{\text{gas}} = 0$) e i tratti $BC$ e $CA$ sono reversibili: conta solo $AB$ (Calcolo delle variazioni di entropiaLe formule di ΔS per i casi d'esame: serbatoio Q/T, corpo che cambia temperatura mc ln(T2/T1), cambiamento di fase mλ/T, gas ideale n cV ln(T2/T1) + nR ln(V2/V1). Per le trasformazioni irreversibili si integra lungo una reversibile con gli stessi estremi.Calcolo delle variazioni di entropia →).

Gas da $A$ a $B$ (formula di stato, come se ci si arrivasse in modo reversibile):

$$\Delta S_{\text{gas}}^{AB} = n c_V \ln\frac{T_B}{T_A} + nR\ln\frac{V_B}{V_A} = 12{,}47 \cdot \ln\frac{361}{300} + 4{,}986 \cdot \ln\frac{10}{14{,}96}$$

$$= 12{,}47 \cdot 0{,}1851 + 4{,}986 \cdot (-0{,}4027) = 2{,}308 - 2{,}008 = 0{,}30\ \text{J/K}$$

Ambiente, a $T_A = 300$ K, che riceve i $132\ \text{J}$ ceduti dal gas:

$$\Delta S_{\text{amb}}^{AB} = -\frac{Q_{AB}}{T_A} = +\frac{132}{300} = 0{,}44\ \text{J/K}$$

$$\Delta S_{\text{UN}} = 0{,}30 + 0{,}44 = 0{,}74\ \text{J/K} > 0$$

Due fonti di irreversibilità nella stessa trasformazione: la compressione brusca (pressione esterna molto diversa da quella del gas) e la cessione di calore da un gas più caldo dell'ambiente.

Risultati

Errori comuni

• Calcolare $W_{AB}$ come in un'isoterma o con la pressione del gas: la trasformazione è brusca; si usa la pressione esterna costante.
• Dimenticare che $W_{AB} < 0$: nella compressione $V_B < V_A$.
• Mettere in $Q_{\text{ass}}$ anche $Q_{AB}$: è negativo, quindi è un calore ceduto.
• Usare $c_p$ in $BC$: la pressione non è costante; si calcola $Q = \Delta U + W$ con il lavoro dall'area del trapezio.