Calore, calori specifici e cambiamenti di fase

Come si calcola il calore negli scambi "puramente termici" (corpi che si scaldano, si raffreddano, fondono), dove il lavoro è trascurabile. Prima: Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica →. Seguito: Gas ideali - equazione di statoUn gas abbastanza rarefatto obbedisce all'equazione di stato pV = nRT, con R = 8,31 J/(mol·K) e T in kelvin. Riassume le leggi di Boyle (isoterma), di Gay-Lussac (isobara e isocora) e di Avogadro. Per n fisso: pV/T è costante tra due stati qualsiasi.Gas ideali - equazione di stato →. Esercizi: Esercizio 78 · riscaldare e fondere un blocco di ghiaccio, Esercizio 79 · gas e ghiaccio scaldati insieme.

Capacità termica e calore specifico

Se un corpo assorbe un piccolo calore $\delta Q$ e la sua temperatura sale di $dT$, la capacità termica del corpo è

$$C = \frac{\delta Q}{dT} \qquad [\text{J/K}]$$

cioè il calore necessario per alzare la temperatura di $1$ K. Dipende dalla quantità di materia: due litri d'acqua hanno capacità termica doppia di un litro. Per avere una proprietà della sostanza si divide per la massa, ottenendo il calore specifico

$$c = \frac{C}{m} = \frac{1}{m}\frac{\delta Q}{dT} \qquad [\text{J/(kg·K)}]$$

oppure per il numero di moli, ottenendo il calore specifico molare $c_{\text{mol}} = \frac{1}{n}\frac{\delta Q}{dT}$ in J/(mol·K).

Se $c$ è costante nell'intervallo di temperature considerato (quasi sempre negli esercizi), integrando:

$$\boxed{Q = m\,c\,(T_f - T_i) = m\,c\,\Delta T}$$

$Q > 0$ se il corpo si scalda (assorbe calore), $Q < 0$ se si raffredda (cede calore): il segno esce da solo dalla formula, purché si scriva sempre "finale meno iniziale".

Valori tipici:

L'acqua ha un calore specifico molto alto: per scaldarla serve molto calore, e per questo i mari mitigano il clima.

Esempio. Per portare $0{,}5$ kg d'acqua da $20\ °\text{C}$ a $100\ °\text{C}$: $Q = 0{,}5 \cdot 4186 \cdot 80 = 1{,}67 \times 10^5\ \text{J}$.

Solidi e liquidi: calore specifico unico. Per solidi e liquidi il volume cambia pochissimo scaldandoli, quindi il lavoro scambiato con l'ambiente è trascurabile e per il primo principio $\Delta U \approx Q = mc\,\Delta T$. Per i gas invece il calore necessario dipende molto dalla trasformazione (a volume costante o a pressione costante): si definiscono due calori specifici diversi, $c_V$ e $c_p$, in Energia interna e calori specifici dei gas idealiL'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura: ΔU = n c_V ΔT in qualunque trasformazione. I calori molari a volume e a pressione costante sono legati dalla relazione di Mayer c_p = c_V + R. Monoatomico: c_V = 3R/2; biatomico: c_V = 5R/2; γ = c_p/c_V.Energia interna e calori specifici dei gas ideali →.

Calorimetria: la temperatura di equilibrio

Situazione tipica. Più corpi a temperature diverse vengono messi a contatto dentro un calorimetro, un recipiente con pareti adiabatiche (che non scambia calore con l'esterno). Il sistema complessivo è isolato e non compie lavoro, quindi la sua energia interna non cambia: il calore ceduto dai corpi caldi è uguale a quello assorbito dai freddi. In formula:

$$\boxed{\sum_i Q_i = 0}$$

dove ogni $Q_i$ ha il suo segno.

Due corpi. Corpo 1 (massa $m_1$, calore specifico $c_1$, temperatura $T_1$) e corpo 2 ($m_2$, $c_2$, $T_2$). Alla fine hanno la stessa temperatura $T_e$ (equilibrio termico):

$$m_1 c_1 (T_e - T_1) + m_2 c_2 (T_e - T_2) = 0 \quad \Longrightarrow \quad T_e = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$$

È una media pesata delle temperature, con pesi le capacità termiche $m_i c_i$: $T_e$ sta sempre tra $T_1$ e $T_2$, più vicina a quella del corpo con capacità termica maggiore.

Esempio 1 (stessa sostanza). $0{,}2$ kg d'acqua a $80\ °\text{C}$ e $0{,}3$ kg d'acqua a $20\ °\text{C}$: $c$ si semplifica e $T_e = \frac{0{,}2 \cdot 80 + 0{,}3 \cdot 20}{0{,}5} = 44\ °\text{C}$. (Qui si possono usare i gradi Celsius, perché la formula è una media pesata: aggiungendo $273{,}15$ a tutte le temperature il risultato cambia della stessa quantità.)

Esempio 2 (sostanze diverse). Un pezzo di ferro di $0{,}1$ kg a $200\ °\text{C}$ immerso in $0{,}4$ kg d'acqua a $20\ °\text{C}$:

$$T_e = \frac{0{,}1 \cdot 450 \cdot 200 + 0{,}4 \cdot 4186 \cdot 20}{0{,}1 \cdot 450 + 0{,}4 \cdot 4186} = \frac{9000 + 33\,488}{45 + 1674{,}4} = 24{,}7\ °\text{C}$$

L'acqua si scalda di meno di $5$ gradi: la sua capacità termica è quasi $40$ volte quella del ferro.

Cambiamenti di fase e calore latente

Esperienza. Si scalda del ghiaccio a $-20\ °\text{C}$ fornendo calore a ritmo costante. La temperatura sale fino a $0\ °\text{C}$, poi si ferma finché tutto il ghiaccio non è fuso, poi riprende a salire fino a $100\ °\text{C}$, si ferma di nuovo mentre l'acqua bolle, e riprende solo quando tutta l'acqua è diventata vapore.

Durante un cambiamento di fase (fusione, solidificazione, vaporizzazione, condensazione, sublimazione) a pressione costante la temperatura resta costante: il calore fornito serve a rompere i legami tra le molecole, non ad aumentarne l'agitazione. Il calore necessario per far cambiare fase a una massa $m$ è

$$\boxed{Q = m\,\lambda}$$

dove $\lambda$ è il calore latente della transizione, in J/kg. Per l'acqua a pressione atmosferica:

Nella transizione inversa (solidificazione, condensazione) lo stesso calore viene ceduto: $Q = -m\lambda$.

Curva di riscaldamento di $0{,}1$ kg di ghiaccio a $-20\ °\text{C}$ (con $c_g = 2090$, $c_a = 4186$ J/(kg·K)):

1. ghiaccio da $-20$ a $0\ °\text{C}$: $Q_1 = 0{,}1 \cdot 2090 \cdot 20 = 4180$ J;
2. fusione: $Q_2 = 0{,}1 \cdot 3{,}33 \times 10^5 = 33\,300$ J;
3. acqua da $0$ a $100\ °\text{C}$: $Q_3 = 0{,}1 \cdot 4186 \cdot 100 = 41\,860$ J.

Totale $79{,}3$ kJ. La sola fusione richiede quasi quanto scaldare l'acqua di $80$ gradi.

Variazione di energia interna nella fusione. Il volume del ghiaccio cambia di poco nella fusione (l'acqua è circa l'$8\%$ più densa), quindi il lavoro fatto contro l'atmosfera è minuscolo e $\Delta U \approx Q = m\lambda$. Nell'Esercizio 78 · riscaldare e fondere un blocco di ghiaccio si calcola quel lavoro: qualche joule contro centinaia di migliaia. Nella vaporizzazione invece il volume aumenta enormemente e il lavoro contro l'atmosfera non è trascurabile.

Calorimetria con cambiamenti di fase

Quando nel calorimetro c'è ghiaccio (o vapore) bisogna prima capire in che stato finisce il sistema. Non si sa in partenza se il ghiaccio fonderà tutto: si fa un controllo con i bilanci.

Esempio A. $50$ g di ghiaccio a $0\ °\text{C}$ in $200$ g d'acqua a $30\ °\text{C}$.

1. Calore per fondere tutto il ghiaccio: $0{,}05 \cdot 3{,}33 \times 10^5 = 16\,650$ J.
2. Calore che l'acqua può cedere scendendo fino a $0\ °\text{C}$: $0{,}2 \cdot 4186 \cdot 30 = 25\,116$ J.
3. $25\,116 > 16\,650$: il ghiaccio fonde tutto e avanza calore, quindi $T_e > 0\ °\text{C}$. Bilancio (calore ceduto dall'acqua calda = fusione + riscaldamento dell'acqua di fusione da $0$ a $T_e$):

$$0{,}2 \cdot 4186\,(30 - T_e) = 16\,650 + 0{,}05 \cdot 4186\,T_e \quad \Longrightarrow \quad T_e = \frac{25\,116 - 16\,650}{0{,}25 \cdot 4186} = 8{,}1\ °\text{C}$$

Esempio B. $100$ g di ghiaccio a $0\ °\text{C}$ nella stessa acqua. Per fondere tutto servirebbero $33\,300$ J, ma l'acqua ne può dare al massimo $25\,116$ scendendo a $0\ °\text{C}$. Quindi il ghiaccio fonde solo in parte, e alla fine c'è una miscela di acqua e ghiaccio a $T_e = 0\ °\text{C}$. La massa fusa è $m_f = \frac{25\,116}{3{,}33 \times 10^5} = 0{,}075$ kg $= 75$ g; restano $25$ g di ghiaccio.

Perché il controllo è necessario: se nell'esempio B si scrivesse il bilancio come nell'esempio A si troverebbe una $T_e$ negativa, cioè acqua liquida sotto zero, risultato senza senso. Il segnale di errore è proprio una temperatura finale fuori dall'intervallo possibile.

Trasmissione del calore (cenni)

Il calore passa da un corpo all'altro in tre modi:

• conduzione: attraverso un materiale, senza trasporto di materia (il manico di un cucchiaio nella minestra calda). Attraverso una lastra di spessore $d$ e area $S$ con le facce alle temperature $T_1 > T_2$ passa, ogni secondo, il calore $\frac{\delta Q}{dt} = k\,S\,\frac{T_1 - T_2}{d}$, con $k$ conducibilità termica del materiale;
• convezione: trasporto di calore da parte di un fluido che si muove (l'aria calda che sale da un termosifone);
• irraggiamento: emissione di onde elettromagnetiche, che si propagano anche nel vuoto (il calore del Sole).

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare il calore latente quando una sostanza attraversa la temperatura di fusione o di ebollizione.
• Non controllare se il ghiaccio fonde tutto (vedi esempio B).
• Scrivere tutti i calori positivi nel bilancio: o si scrivono tutti come "finale meno iniziale" e si impone $\sum Q = 0$, o si scrive "calore ceduto = calore assorbito" con i moduli. Mescolare i due metodi porta a errori di segno.
• Confondere calore specifico e calore specifico molare: il primo si moltiplica per la massa in kg, il secondo per il numero di moli.