Esercizio 47pendolo che urta un blocchetto

Testo (secondo compitino del 17 giugno 2021, problema 1). Un punto materiale di massa $m_1 = 0{,}15$ kg è appeso ad un punto $O$ tramite un filo inestensibile di lunghezza $\ell = 0{,}8$ m; inizialmente il corpo è fermo ed il filo forma l'angolo $\vartheta = 30°$ rispetto alla direzione verticale $y$. Lasciato libero di muoversi sotto l'azione della forza peso, quando il filo raggiunge la posizione verticale il punto materiale urta un corpo di massa $m_2 = 0{,}09$ kg, fermo su un piano orizzontale. Si osserva che il corpo $m_2$ acquisisce la velocità $v_2 = 1{,}2$ m/s. Determinare:

a) la velocità finale subito dopo l'urto di $m_1$ e l'energia dissipata nell'urto; b) la quantità di moto di $m_1$ subito dopo l'urto nel sistema di riferimento del CM dei due oggetti; c) l'ampiezza dell'angolo di oscillazione di $m_1$ nel moto successivo ed il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza nell'approssimazione di piccole oscillazioni; d) la tensione del filo e l'accelerazione angolare di $m_1$ nella posizione di massima ampiezza.

Figura. Il pendolo parte da sinistra, con il filo inclinato di $30°$; nel punto più basso, sotto $O$, c'è il blocchetto $m_2$ appoggiato sul piano. Asse $x$ orizzontale verso destra: il pendolo arriva al blocchetto muovendosi verso destra.

Impostazione

Tre fasi, ciascuna con la sua legge di conservazione:

Perché nell'urto si conserva la quantità di moto orizzontale. Nell'istante dell'urto il filo è verticale, quindi la tensione (anche se impulsiva) non ha componente orizzontale; peso e reazione del piano sono verticali. Lungo $x$ non agiscono forze esterne impulsive e $P_x$ si conserva (Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto →). L'energia cinetica invece non si conserva necessariamente: lo dirà il conto.

a) Velocità di $m_1$ dopo l'urto ed energia dissipata

Velocità prima dell'urto. Il pendolo scende di $h = \ell(1 - \cos\vartheta) = 0{,}8 \cdot (1 - 0{,}866) = 0{,}107$ m. Per la Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →:

$$v_1 = \sqrt{2 g \ell\,(1 - \cos\vartheta)} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}107} = 1{,}45\ \text{m/s}$$

Urto. Quantità di moto orizzontale prima e dopo ($m_2$ è ferma prima):

$$m_1 v_1 = m_1 v_{1f} + m_2 v_2 \quad\Longrightarrow\quad v_{1f} = v_1 - \frac{m_2}{m_1}\,v_2 = 1{,}45 - \frac{0{,}09}{0{,}15} \cdot 1{,}2 = 1{,}45 - 0{,}72 = 0{,}73\ \text{m/s}$$

Positiva: $m_1$ prosegue verso destra, più lenta.

Energia dissipata. Differenza tra energia cinetica prima e dopo (Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali →):

$$E_{\text{diss}} = \tfrac12 m_1 v_1^2 - \tfrac12 m_1 v_{1f}^2 - \tfrac12 m_2 v_2^2 = 0{,}158 - 0{,}040 - 0{,}065 = 0{,}053\ \text{J}$$

L'urto è anelastico: si perde un terzo dell'energia cinetica iniziale.

Confronto con i casi limite (Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →):

L'urto reale sta tra i due estremi, come deve. Il coefficiente di restituzione è $e = \frac{v_2 - v_{1f}}{v_1} = \frac{0{,}47}{1{,}45} = 0{,}32$.

b) Quantità di moto di $m_1$ nel sistema del CM

Velocità del CM. Nell'urto la quantità di moto totale non cambia, quindi neanche la velocità del centro di massav_CM = P / (m1 + m2): se P si conserva, il CM continua a muoversi con la stessa velocità.Centro di massa →:

$$v_{CM} = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}15 \cdot 1{,}45}{0{,}24} = 0{,}906\ \text{m/s}$$

Velocità di $m_1$ rispetto al CM subito dopo l'urto (composizione delle velocità tra riferimenti in traslazione):

$$v'_{1f} = v_{1f} - v_{CM} = 0{,}73 - 0{,}906 = -0{,}176\ \text{m/s}$$

$$p'_{1f} = m_1 v'_{1f} = 0{,}15 \cdot (-0{,}176) = -0{,}0264\ \text{kg·m/s}$$

Che cosa vuol dire. Nel sistema del CM, prima dell'urto $m_1$ si avvicinava a $+0{,}544$ m/s; dopo si allontana a $-0{,}176$ m/s: ha invertito il verso. Visto dal CM, ogni urto è un rimbalzo; in quello elastico si torna indietro con la stessa velocità, qui con una velocità ridotta di un fattore $e = 0{,}176/0{,}544 = 0{,}32$. Controllo: $m_2$ nel CM ha $v'_2 = 1{,}2 - 0{,}906 = 0{,}294$ m/s e $p'_2 = 0{,}0264$ kg·m/s, opposta a $p'_{1f}$: la quantità di moto totale nel CM è nulla ✓.

c) Ampiezza dell'oscillazione e tempo per arrivare in cima

Altezza raggiunta. Dopo l'urto $m_1$ risale con energia cinetica $\frac12 m_1 v_{1f}^2$, che si trasforma tutta in energia potenziale:

$$h' = \frac{v_{1f}^2}{2g} = \frac{0{,}73^2}{2 \cdot 9{,}81} = 0{,}0272\ \text{m}$$

Angolo massimo. $h' = \ell(1 - \cos\vartheta_{\max})$, quindi

$$\cos\vartheta_{\max} = 1 - \frac{h'}{\ell} = 1 - \frac{0{,}0272}{0{,}8} = 0{,}966 \quad\Longrightarrow\quad \vartheta_{\max} = 15°$$

Tempo. $15° = 0{,}26$ rad è un angolo abbastanza piccolo da usare l'approssimazione delle piccole oscillazioni (Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →): il moto è armonico con periodo

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}8}{9{,}81}} = 1{,}79\ \text{s}$$

Il pendolo parte dalla verticale (centro dell'oscillazione, velocità massima) e si ferma all'estremo: un quarto di periodo,

$$t = \frac{T}{4} = 0{,}45\ \text{s}$$

d) Tensione e accelerazione angolare nel punto più alto

Nella posizione di massima ampiezza la velocità è nulla.

Tensione. Lungo il filo la seconda legge dà $\tau - m_1 g\cos\vartheta = m_1 v^2/\ell$; con $v = 0$ il termine centripeto sparisce:

$$\tau = m_1 g\cos\vartheta_{\max} = 0{,}15 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}966 = 1{,}42\ \text{N}$$

Accelerazione angolare. Lungo la tangente agisce solo la componente del peso $m_1 g\sin\vartheta_{\max}$, che dà l'accelerazione tangenziale $a_T = g\sin\vartheta_{\max}$. Su una circonferenza di raggio $\ell$ l'accelerazione angolare è $\alpha = a_T/\ell$ (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →):

$$\alpha = \frac{g\sin\vartheta_{\max}}{\ell} = \frac{9{,}81 \cdot 0{,}259}{0{,}8} = 3{,}17\ \text{rad/s}^2$$

diretta in modo da riportare il pendolo verso la verticale.

Risultati

Errori comuni

• Conservare l'energia cinetica nell'urto: il testo dà $v_2$ proprio perché l'urto non è elastico; si usa solo la quantità di moto.
• Usare nel punto b la velocità di $m_1$ nel riferimento del laboratorio: serve quella relativa al CM, $v_{1f} - v_{CM}$.
• Scrivere $\tau = m_1 g$ nel punto più alto: il filo è inclinato, regge solo la componente del peso lungo il filo.
• Prendere mezzo periodo per arrivare in cima: dal centro all'estremo è un quarto.