Esercizio 50proiettile incastrato in un blocco con molla

Testo (tema d'esame del 3 settembre 2021, problema 1). Due blocchi di massa rispettivamente $m_A = 0{,}5$ kg e $m_B = 3$ kg sono poggiati inizialmente fermi su un piano orizzontale. Il blocco di massa $m_B$ è soggetto ad una forza d'attrito con coefficiente d'attrito statico $\mu_S = 0{,}2$ mentre l'attrito sul blocco $m_A$ è trascurabile. Tra i due blocchi è inserita una molla di costante elastica $k = 8$ N/m, inizialmente avente la sua lunghezza di riposo. Dalla parte opposta alla molla, il blocco $m_A$ viene colpito da un corpo puntiforme di massa $m = 0{,}1$ kg con velocità $v = 20$ m/s inclinata di $\vartheta = 30°$ rispetto alla direzione orizzontale (vedi figura). Dopo l'urto la massa $m$ rimane incastrata nel blocco $m_A$. Determinare:

a) la velocità $V_0$ del sistema ($m_A + m$) subito dopo l'urto; b) la posizione $d_1$ di ($m_A + m$) (si ponga l'origine $x = 0$ dell'asse orizzontale nella posizione iniziale di $m_A$) alla quale il blocco $m_B$ inizia a muoversi e la velocità $V_1$ del sistema in quell'istante; c) l'accelerazione del sistema ($m_A + m$) nella posizione $d_2 = 0{,}3$ m (punto generico del moto prima di raggiungere la posizione $d_1$); d) il tempo $t_1$ impiegato dal sistema ($m_A + m$) a raggiungere per la prima volta la posizione $d_1$.

Figura. Da sinistra: il proiettile che arriva dall'alto a sinistra, inclinato di $30°$ verso il basso; il blocco $m_A$; la molla orizzontale; il blocco $m_B$. Asse $x$ orizzontale verso destra, verso $m_B$.

Impostazione

Struttura identica all'Esercizio 26 · molla tra un blocchetto e un blocco con attrito, con in più un urto iniziale: prima l'urto completamente anelastico, poi un blocco che comprime una molla finché l'altro blocco non si stacca.

a) Velocità subito dopo l'urto

Che cosa si conserva. Il proiettile si incastra: urto completamente anelastico, l'energia cinetica non si conserva (Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →). La quantità di moto si conserva solo nelle direzioni in cui non agiscono forze esterne impulsive:

• in verticale il proiettile spinge il blocco contro il piano, e il piano risponde con una reazione normale impulsiva che annulla la componente verticale della quantità di moto (il blocco non sprofonda nel piano). $P_y$ non si conserva;
• in orizzontale il piano è liscio sotto $m_A$; la molla è a riposo e comunque non è impulsiva. $P_x$ si conserva (Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto →).

$$m\,v\cos\vartheta = (m + m_A)\,V_0 \quad\Longrightarrow\quad V_0 = \frac{m\,v\cos\vartheta}{m + m_A} = \frac{0{,}1 \cdot 20 \cdot 0{,}866}{0{,}6} = 2{,}89\ \text{m/s}$$

L'energia cinetica passa da $\frac12 m v^2 = 20$ J a $\frac12 (m + m_A) V_0^2 = 2{,}5$ J: si perde l'$87{,}5\%$, in parte nella deformazione dell'incastro e in parte (la componente verticale) assorbita dal piano.

b) Posizione e velocità quando $m_B$ si stacca

Condizione di distacco. La molla, compressa di $x$, spinge $m_B$ con forza $k x$. Finché $m_B$ è ferma l'attrito statico la bilancia; il massimo che può fare è $\mu_S m_B g$ (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →). $m_B$ parte quando

$$k\,d_1 = \mu_S\,m_B\,g \quad\Longrightarrow\quad d_1 = \frac{\mu_S m_B g}{k} = \frac{0{,}2 \cdot 3 \cdot 9{,}81}{8} = \frac{5{,}886}{8} = 0{,}736\ \text{m}$$

($m_B$ è ferma, quindi la compressione della molla è proprio lo spostamento $x$ di $m_A$ dalla posizione iniziale.)

Velocità. Fino a quel momento $m_B$ è ferma (la molla non compie lavoro su di lei) e $m_A + m$ scorre senza attrito: per il sistema ($m_A + m$) si conserva l'energia meccanica con l'energia elastica (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →):

$$\tfrac12 (m + m_A) V_0^2 = \tfrac12 (m + m_A) V_1^2 + \tfrac12 k d_1^2$$

$$V_1 = \sqrt{V_0^2 - \frac{k\,d_1^2}{m + m_A}} = \sqrt{8{,}333 - \frac{8 \cdot 0{,}541}{0{,}6}} = \sqrt{8{,}333 - 7{,}218} = 1{,}06\ \text{m/s}$$

c) Accelerazione in $d_2 = 0{,}3$ m

L'unica forza orizzontale su $m_A + m$ è la molla compressa di $d_2$, che spinge all'indietro (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →):

$$a_A = -\frac{k\,d_2}{m + m_A} = -\frac{8 \cdot 0{,}3}{0{,}6} = -4\ \text{m/s}^2$$

d) Tempo per arrivare in $d_1$

Finché $m_B$ è ferma, $m_A + m$ è attaccato a una molla con l'altro estremo fisso: moto armonicoCon la sola forza −kx il moto è x = A sin(ωt + φ), con ω = √(k/m). Ampiezza e fase si ricavano da posizione e velocità iniziali.Moto armonico semplice → con pulsazione

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m + m_A}} = \sqrt{\frac{8}{0{,}6}} = 3{,}65\ \text{rad/s}$$

Condizioni iniziali: $x(0) = 0$, $\dot x(0) = V_0$. Allora $x(t) = A\sin(\omega t)$ con ampiezza

$$A = \frac{V_0}{\omega} = \frac{2{,}89}{3{,}65} = 0{,}791\ \text{m}$$

Siccome $d_1 = 0{,}736$ m $< A$, la posizione $d_1$ viene raggiunta prima che $m_A$ si fermi (altrimenti $m_B$ non si muoverebbe mai). L'istante:

$$A\sin(\omega t_1) = d_1 \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{1}{\omega}\arcsin\frac{d_1}{A} = \frac{1}{3{,}65}\arcsin(0{,}931) = \frac{1{,}196}{3{,}65} = 0{,}328\ \text{s}$$

(arcoseno in radianti). Un quarto di periodo sarebbe $\frac{\pi}{2\omega} = 0{,}43$ s: $m_A$ arriva in $d_1$ poco prima di raggiungere la compressione massima, coerente con $d_1$ vicino ad $A$.

Controllo. $\dot x(t_1) = A\,\omega\cos(\omega t_1) = 2{,}89 \cdot \cos(1{,}196) = 2{,}89 \cdot 0{,}366 = 1{,}06$ m/s $= V_1$ ✓.

Risultati

Errori comuni

• Usare tutta la velocità $v$ del proiettile nella conservazione: conta solo la componente orizzontale $v\cos\vartheta$, perché in verticale il piano assorbe la quantità di moto.
• Conservare l'energia cinetica nell'urto: con il proiettile che si incastra se ne perde la maggior parte.
• Usare la massa del solo blocco $m_A$ dopo l'urto: il proiettile è incastrato, la massa è $m + m_A$.
• Usare l'attrito dinamico per la condizione di distacco: $m_B$ è ferma, conta l'attrito statico massimo.