Leggi di Newton

Inizio della dinamica: la cinematica descriveva il moto (Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione →, Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →), ora si studia perché un corpo si muove in un certo modo. Le cause sono le forze, e il legame tra forze e moto è dato dalle tre leggi di Newton. Seguito: Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →, Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →. Tutti gli esercizi del capitolo partono da qui, per esempio Esercizio 20 · due blocchetti uniti da un'asta su un piano inclinato.

Che cos'è una forza

Una forza è l'azione di un corpo su un altro che ne può cambiare lo stato di moto (o deformarlo). Esempi: la Terra attira un sasso (forza peso), una molla compressa spinge, un tavolo sostiene un libro, un filo tira.

• La forza è un vettore (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →): conta quanto è intensa (modulo), in che direzione e in che verso agisce. Spingere un carrello in avanti o di lato non ha lo stesso effetto.
• Unità SI: il newton, $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\,\text{m/s}^2$ (la forza che dà a $1$ kg un'accelerazione di $1\ \text{m/s}^2$). Per avere un'idea: il peso di una mela da $100$ g è circa $1$ N.
• Se su un corpo agiscono più forze $\vec F_1, \vec F_2, \dots$, il loro effetto complessivo è quello della risultante $\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \dots$, la somma vettoriale (principio di sovrapposizione).

Prima legge: principio d'inerzia

Un corpo su cui non agiscono forze (o su cui la risultante delle forze è nulla) resta fermo, se era fermo, o si muove di moto rettilineo uniforme, se era in moto.

Detto in altro modo: non serve una forza per mantenere un moto, serve una forza per cambiarlo. È il contrario dell'intuizione quotidiana (un carrello spinto prima o poi si ferma), ma il carrello si ferma perché c'è una forza, l'attrito (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →); su un piano di ghiaccio continuerebbe molto più a lungo.

La tendenza di un corpo a mantenere la sua velocità si chiama inerzia: è quella che spinge in avanti i passeggeri quando l'autobus frena.

Sistemi di riferimento inerziali

La prima legge non vale in ogni riferimento. Su un autobus che frena, una pallina appoggiata sul pavimento comincia a rotolare in avanti senza che nessuno la spinga: per chi sta sull'autobus la pallina accelera senza forze. La prima legge quindi serve anche da definizione:

Un sistema di riferimento inerziale è un riferimento in cui vale il principio d'inerzia.

Ogni riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un riferimento inerziale è anch'esso inerziale; un riferimento che accelera o ruota non lo è. La Terra non è esattamente inerziale (ruota su se stessa e attorno al Sole), ma per i moti di laboratorio, che durano pochi secondi su pochi metri, lo è con ottima approssimazione. Tutto ciò che segue vale nei riferimenti inerziali; come si fa nei riferimenti accelerati si vede in Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparentiIn un riferimento accelerato o rotante la legge di Newton vale solo aggiungendo forze apparenti: −m·a_t (trascinamento, con la centrifuga) e −2m·ω×v' (Coriolis). Non sono interazioni tra corpi e non hanno reazione. Esempi: ascensore, pendolo su un vagone, blocco su una piattaforma, giostra, Terra.Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti →.

Seconda legge: $\vec F = m\vec a$

In un riferimento inerziale, la risultante $\vec F$ delle forze che agiscono su un punto materiale e la sua accelerazione $\vec a$ sono legate da $$\vec F = m\,\vec a$$ dove $m$ è la massa (inerziale) del punto.

Cosa dice:

1. L'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza risultante. Non della velocità: un sasso lanciato in alto va verso l'alto, ma la sua accelerazione (e la forza peso) punta verso il basso.
2. A parità di forza, più massa vuol dire meno accelerazione: $a = F/m$. La massa misura l'inerzia, cioè quanto un corpo "resiste" ai cambiamenti di velocità. Spingere con la stessa forza un carrello vuoto e uno pieno dà accelerazioni diverse.
3. È un'equazione vettoriale, quindi equivale a tre equazioni scalari, una per ogni componente: $$F_x = m\,a_x \qquad F_y = m\,a_y \qquad F_z = m\,a_z$$ Le componenti si trattano separatamente: la forza lungo $x$ cambia solo la velocità lungo $x$.

Forza nulla non vuol dire velocità nulla: $\vec F = 0$ significa $\vec a = 0$, cioè velocità costante (prima legge come caso particolare). Un corpo è in equilibrio statico se è fermo e la risultante è nulla; i problemi "il sistema rimane fermo, trovare le forze" si risolvono con $\vec F = 0$.

Esempio. Un carrello di massa $m = 20$ kg viene tirato con una forza orizzontale di $50$ N, su un pavimento senza attrito. Accelerazione: $a = \frac{50\ \text{N}}{20\ \text{kg}} = 2{,}5\ \text{m/s}^2$. Partendo da fermo, dopo $4$ s la velocità è $v = a t = 10\ \text{m/s}$ (Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →): una forza costante produce un moto uniformemente accelerato.

Dalla forza alla legge oraria. La seconda legge è un'equazione differenziale: $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$. Se la forza è costante si integra subito (moto uniformemente accelerato); se dipende dalla velocità o dalla posizione si ottengono moti diversi: Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso → dà il Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente →, la Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica → dà il Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →. Per conoscere il moto servono anche le condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali).

Terza legge: azione e reazione

Se un corpo A esercita su un corpo B una forza $\vec F_{AB}$, allora B esercita su A una forza $\vec F_{BA}$ uguale in modulo e direzione e opposta in verso, con la stessa retta d'azione: $$\vec F_{BA} = -\vec F_{AB}$$

Le forze vengono sempre a coppie. Esempi:

• la Terra attira il sasso con la forza peso $m\vec g$; il sasso attira la Terra con $-m\vec g$ (che però sposta la Terra in modo impercettibile, perché la sua massa è enorme);
• il blocchetto preme sulla piattaforma verso il basso, la piattaforma spinge il blocchetto verso l'alto; se tra i due c'è attrito, l'attrito che la piattaforma fa sul blocchetto è opposto a quello che il blocchetto fa sulla piattaforma (lo si usa in Esercizio 22 · blocchetto su piattaforma mobile tirato da un filo).

Le due forze della coppia agiscono su corpi diversi, quindi non si annullano tra loro. Un errore classico: "il libro sul tavolo è fermo perché peso e reazione del tavolo sono azione e reazione". Falso: peso (Terra sul libro) e reazione normale (tavolo sul libro) agiscono entrambe sul libro e si bilanciano per la seconda legge, perché il libro ha accelerazione nulla. La reazione del peso è la forza del libro sulla Terra; la reazione della normale è la forza del libro sul tavolo.

Massa inerziale e peso

La massa che compare in $\vec F = m\vec a$ si chiama massa inerziale: si misura confrontando le accelerazioni che una stessa forza dà a corpi diversi ($m_1 / m_2 = a_2 / a_1$). È una grandezza scalare, positiva, additiva (due corpi attaccati hanno massa $m_1 + m_2$), e si misura in kg.

Il peso invece è una forza, $\vec P = m\vec g$, misurata in newton: un corpo di $10$ kg pesa circa $98$ N. Nel linguaggio comune si dice "pesa $10$ chili", ma in fisica massa e peso vanno tenuti distinti: sulla Luna la massa è la stessa, il peso è circa un sesto (Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →). Che la massa che compare nel peso sia la stessa di quella inerziale non è ovvio: lo si discute in Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →.

Metodo per risolvere un problema di dinamica

Quasi tutti i problemi del capitolo si risolvono con gli stessi passi.

1. Scegliere i corpi da studiare uno alla volta (blocchetto, piattaforma, massa appesa…).
2. Diagramma di corpo libero: per ciascun corpo si disegnano tutte e sole le forze che agiscono su di lui: il peso, e una forza per ogni cosa che lo tocca (piano d'appoggio: reazione normale e attrito; filo: tensione; molla: forza elastica). Non si disegnano le forze che il corpo fa sugli altri, né "la forza del moto" (non esiste).
3. Scegliere gli assi in modo furbo: uno nella direzione in cui il corpo si muove (o si muoverebbe), l'altro perpendicolare. Su un piano inclinato si prende l'asse $x$ lungo il piano: l'accelerazione lungo l'altro asse è nulla (Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato →).
4. Proiettare $\vec F = m\vec a$ sugli assi: una equazione scalare per asse e per corpo, con i segni presi dagli assi.
5. Aggiungere i vincoli: un corpo che resta appoggiato ha accelerazione nulla perpendicolarmente al piano; due corpi collegati da un filo teso inestensibile hanno accelerazioni di uguale modulo (Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole →); un corpo fermo rispetto a un altro ha la sua stessa accelerazione.
6. Contare equazioni e incognite, risolvere in lettere, controllare le dimensioni e i casi limite, solo alla fine sostituire i numeri.

Controllo dei casi limite. Una formula trovata deve dare risultati sensati in casi noti. Per esempio l'accelerazione su un piano inclinato $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ con $\theta = 90°$ e $\mu = 0$ deve dare $a = g$ (caduta libera): $g(1 - 0) = g$ ✓.

Riassunto

Errori comuni

• Mettere nel diagramma una "forza nella direzione del moto": un corpo che sale per inerzia non ha nessuna forza verso l'alto, ha solo il peso (che lo rallenta).
• Sommare azione e reazione sullo stesso corpo: agiscono su corpi diversi.
• Dimenticare forze di contatto (normale, attrito) o, al contrario, inventarne: ogni forza deve avere un "chi la esercita".
• Confondere massa (kg) e peso (N).
• Usare $\vec F = m\vec a$ in un riferimento accelerato (sull'autobus che frena, su una piattaforma che accelera) senza aggiungere le forze apparenti.