Esercizio 56pallina legata a un filo che passa per un foro

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Testo (esercizio di allenamento sulla conservazione del momento angolare). Una pallina di massa $m = 0{,}2$ kg si muove su un tavolo orizzontale liscio, legata a un filo che passa per un piccolo foro $O$ al centro del tavolo; una persona sotto il tavolo tiene l'altro capo del filo. All'inizio la pallina percorre una circonferenza di raggio $r_1 = 0{,}5$ m con velocità $v_1 = 2$ m/s. La persona tira lentamente il filo finché il raggio diventa $r_2 = 0{,}25$ m. Determinare:

a) il momento angolare della pallina rispetto a $O$ , e la velocità e la velocità angolare finali; b) la tensione del filo all'inizio e alla fine; c) il lavoro compiuto da chi tira il filo, calcolato in due modi (con l'energia cinetica e integrando la tensione); d) il raggio minimo a cui si può arrivare se il filo si spezza con una tensione di $20$ N.

Impostazione

Le forze sulla pallina. Il peso e la reazione del tavolo sono verticali e si bilanciano (il tavolo è orizzontale e la pallina non salta). Il tavolo è liscio, quindi niente attrito. Resta la tensione del filo, che punta sempre verso il foro $O$ : è una forza centrale.

La conseguenza. Il momento della tensione rispetto a $O$ è nullo ( $\vec r$ e la tensione sono paralleli), e il momento di peso e reazione è nullo perché si annullano a vicenda. Per la seconda equazione cardinale con polo fisso $O$ :

$\frac{d\vec L_O}{dt} = \vec M_O = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec L_O = \text{costante}$

Il momento angolare si conserva anche mentre la persona tira: tirare cambia l'intensità della tensione, ma non la sua direzione, che resta verso $O$ .

Che cosa non si conserva. L'energia cinetica: la tensione, durante la fase in cui il raggio diminuisce, ha una componente lungo lo spostamento della pallina (che ora si muove anche verso il centro) e compie lavoro positivo.

a) Momento angolare, velocità e velocità angolare finali

Su una circonferenza la velocità è perpendicolare al raggio, quindi il modulo del momento angolare è semplicemente $L = m v r$ :

$L = m v_1 r_1 = 0{,}2 \cdot 2 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ \text{kg·m}^2/\text{s}$

diretto lungo la verticale (perpendicolare al tavolo). Alla fine la pallina gira su una circonferenza di raggio $r_2$ , e il momento angolare è lo stesso:

$m v_2 r_2 = m v_1 r_1 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = v_1\,\frac{r_1}{r_2} = 2 \cdot \frac{0{,}5}{0{,}25} = 4\ \text{m/s}$

Dimezzando il raggio la velocità raddoppia. La velocità angolare $\omega = v/r$ cresce ancora di più:

$\omega_1 = \frac{v_1}{r_1} = \frac{2}{0{,}5} = 4\ \text{rad/s}, \qquad \omega_2 = \frac{v_2}{r_2} = \frac{4}{0{,}25} = 16\ \text{rad/s}$

cioè $\omega$ si moltiplica per $(r_1/r_2)^2 = 4$ , perché $L = m r^2 \omega$ . È lo stesso effetto della pattinatrice che chiude le braccia e gira più veloce (Rotazione attorno a un asse fisso).

b) Tensione all'inizio e alla fine

Su una circonferenza percorsa a velocità costante la tensione fornisce tutta la forza centripeta (Forza centripeta nel moto curvilineo):

$T = \frac{m v^2}{r}$

$T_1 = \frac{0{,}2 \cdot 4}{0{,}5} = 1{,}6\ \text{N}, \qquad T_2 = \frac{0{,}2 \cdot 16}{0{,}25} = 12{,}8\ \text{N}$

La tensione cresce di un fattore $8$ . In generale, usando $v = L/(m r)$ :

$T(r) = \frac{m}{r}\left(\frac{L}{m r}\right)^2 = \frac{L^2}{m\,r^3}$

cresce come $1/r^3$ : tirare diventa sempre più faticoso man mano che la pallina si avvicina al foro.

c) Lavoro di chi tira il filo

Con l'energia cinetica. L'unica forza che compie lavoro sulla pallina è la tensione (peso e normale sono verticali e la pallina si muove in orizzontale). Per il teorema dell'energia cinetica:

$W = K_2 - K_1 = \tfrac12 \cdot 0{,}2 \cdot 4^2 - \tfrac12 \cdot 0{,}2 \cdot 2^2 = 1{,}6 - 0{,}4 = 1{,}2\ \text{J}$

Il filo è inestensibile e di massa trascurabile: il lavoro che la tensione compie sulla pallina è proprio il lavoro fatto dalla persona che tira.

Integrando la tensione. "Tirare lentamente" vuol dire che in ogni istante la pallina è praticamente su una circonferenza, con tensione $T(r) = L^2/(m r^3)$ . La tensione punta verso $O$ e il raggio diminuisce, quindi forza e spostamento radiale sono concordi: il lavoro è positivo,

$W = \int_{r_2}^{r_1} T(r)\,dr = \frac{L^2}{m}\int_{r_2}^{r_1} \frac{dr}{r^3} = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{1}{r_2^2} - \frac{1}{r_1^2}\right)$

$W = \frac{0{,}04}{0{,}4}\,(16 - 4) = 0{,}1 \cdot 12 = 1{,}2\ \text{J} \;✓$

I due metodi danno lo stesso risultato. Si nota anche che $\frac{L^2}{2 m r^2} = \frac12 m v^2$ : l'energia cinetica, a $L$ fissato, dipende solo dal raggio.

d) Raggio minimo con un filo che regge $20$ N

La tensione cresce come $1/r^3$ ; il filo si spezza quando $T = T_{\max} = 20$ N:

$\frac{L^2}{m\,r_{\min}^3} = T_{\max} \quad\Longrightarrow\quad r_{\min} = \sqrt[3]{\frac{L^2}{m\,T_{\max}}} = \sqrt[3]{\frac{0{,}04}{0{,}2 \cdot 20}} = \sqrt[3]{0{,}01} = 0{,}215\ \text{m}$

Sotto i $21{,}5$ cm il filo si rompe. In quell'istante la velocità è $v = L/(m r_{\min}) = 0{,}2/(0{,}2 \cdot 0{,}215) = 4{,}64$ m/s, e dopo la rottura la pallina prosegue in linea retta lungo la tangente (non si allontana "radialmente": senza forze, il moto è rettilineo uniforme).

Risultati

punto	grandezza	valore
a	momento angolare	$0{,}2$ kg·m²/s
a	velocità finale	$4$ m/s
a	velocità angolare iniziale e finale	$4$ rad/s, $16$ rad/s
b	tensione iniziale e finale	$1{,}6$ N, $12{,}8$ N
c	lavoro di chi tira	$1{,}2$ J
d	raggio minimo	$0{,}215$ m

Errori comuni

Conservare l'energia cinetica: la tensione compie lavoro mentre il raggio cambia; si conserva il momento angolare.
Conservare la velocità angolare: $\omega$ cresce come $1/r^2$ , non resta costante.
Calcolare il lavoro come $T \cdot \Delta r$ con una tensione costante: la tensione cambia con il raggio, serve l'integrale (o il teorema dell'energia cinetica).
Dire che la tensione non lavora "perché è perpendicolare alla velocità": lo è solo sulla circonferenza; mentre il raggio diminuisce la velocità ha una componente radiale.