Conservazione dell'energia meccanica

Prima: Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →, Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →. Esercizi: Esercizio 37 · molla fissata al centro di una guida semicircolare, Esercizio 38 · molla compressa e guida semicircolare, Esercizio 39 · blocchetto su una rampa circolare tenuta ferma, Esercizio 36 · blocchetto che frena e cade su un piano inclinato (bilancio con l'attrito), Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera (energia di un sistema di due corpi).

Il teorema

Si dividono le forze che agiscono su un punto materiale in conservative (peso, molle…) e non conservative (attrito, forze applicate, tensioni…). Il teorema dell'energia cinetica dice

$$W_{\text{tot}} = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = K_B - K_A$$

Per le forze conservative $W_{\text{c}} = U_A - U_B$ (dove $U$ è la somma delle energie potenziali di tutte le forze conservative). Sostituendo e portando tutto da una parte:

$$U_A - U_B + W_{\text{nc}} = K_B - K_A \quad \Longrightarrow \quad W_{\text{nc}} = (K_B + U_B) - (K_A + U_A)$$

La quantità

$$\boxed{E = K + U = \tfrac12 m v^2 + U}$$

si chiama energia meccanica. Si ottengono due enunciati:

Bilancio generale: $\ W_{\text{nc}} = E_B - E_A = \Delta E$.

Conservazione: se le forze non conservative non compiono lavoro ($W_{\text{nc}} = 0$), l'energia meccanica si conserva: $\ E_A = E_B$, cioè $\ \frac12 m v_A^2 + U_A = \frac12 m v_B^2 + U_B$.

Attenzione alla condizione: non serve che non ci siano forze non conservative, serve che non compiano lavoro. La normale di una guida ferma e la tensione di un pendolo con sospensione fissa ci sono, ma sono perpendicolari alla velocità: lavoro nullo, l'energia si conserva lo stesso.

Con l'attrito il lavoro non conservativo è negativo, $W_{\text{attr}} = -\mu_D N\,s$ (con $s$ la strada percorsa), quindi $E_B < E_A$: l'energia meccanica diminuisce. Non sparisce: si trasforma in energia interna dei corpi (si scaldano), come si vedrà in termodinamica (Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica →).

Il metodo per gli esercizi

1. Scegliere due stati $A$ e $B$: uno in cui si sa tutto (di solito l'inizio) e quello in cui si vuole la velocità o la posizione.
2. Elencare le forze e, per ciascuna, decidere: conservativa (va in $U$), non conservativa che compie lavoro (va in $W_{\text{nc}}$), oppure forza che non compie lavoro (si ignora, dopo averlo giustificato).
3. Scegliere gli zeri delle energie potenziali (quota zero, molla a riposo) e dichiararli.
4. Scrivere $E_A$, $E_B$ ed eventualmente $W_{\text{nc}}$, poi risolvere.
5. Se servono le reazioni vincolari in un punto di una guida curva, l'energia dà la velocità, poi si usa la seconda legge lungo la normale con l'accelerazione centripeta $v^2/R$ (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →).

Esempio 1: il giro della morte

Un carrello parte da fermo da un'altezza $h$ su una rotaia senza attrito che termina con un anello verticale di raggio $R$. Qual è l'altezza minima per percorrere l'anello senza staccarsi?

Condizione nel punto più alto. Lassù il carrello è capovolto; sono verso il basso (verso il centro) sia il peso sia la reazione $N$ della rotaia. La seconda legge lungo la normale:

$$mg + N = m\,\frac{v_{\text{top}}^2}{R}$$

La rotaia può solo spingere, quindi $N \ge 0$: serve $m v_{\text{top}}^2 / R \ge mg$, cioè $v_{\text{top}}^2 \ge gR$. Se la velocità fosse minore, il peso da solo darebbe più accelerazione centripeta del necessario e il carrello cadrebbe dentro l'anello.

Energia. Le forze sono il peso (conservativa) e la normale (perpendicolare al moto, lavoro nullo): $E$ si conserva. Zero della quota alla base dell'anello. Tra la partenza ($v = 0$, quota $h$) e la cima dell'anello (quota $2R$):

$$mgh = mg\,2R + \tfrac12 m v_{\text{top}}^2 \quad \Longrightarrow \quad v_{\text{top}}^2 = 2g\,(h - 2R)$$

Imponendo $v_{\text{top}}^2 \ge gR$: $2g(h - 2R) \ge gR$, cioè

$$h \ge \tfrac52 R$$

Con $R = 0{,}4\ \text{m}$ serve $h \ge 1\ \text{m}$. Non basta partire dalla quota $2R$ della cima: serve un margine di energia cinetica per "girare" lassù.

Esempio 2: attrito e bilancio di energia

Un blocchetto scende da fermo lungo uno scivolo liscio da un'altezza $h = 2\ \text{m}$ e poi prosegue su un piano orizzontale scabro con $\mu_D = 0{,}25$. Dopo quanta strada $d$ si ferma?

• Stato $A$: partenza, $K_A = 0$, $U_A = mgh$ (zero della quota sul piano orizzontale).
• Stato $B$: fermo sul piano, $K_B = 0$, $U_B = 0$.
• Lavoro non conservativo: solo l'attrito sul tratto orizzontale, $W_{\text{nc}} = -\mu_D m g\,d$ (sul piano $N = mg$).

$$-\mu_D m g\,d = 0 - mgh \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{h}{\mu_D} = \frac{2}{0{,}25} = 8\ \text{m}$$

Diagrammi dell'energia

In una dimensione l'energia meccanica costante dà molte informazioni senza risolvere nessuna equazione. Da $E = \frac12 m v^2 + U(x)$ con $\frac12 m v^2 \ge 0$ segue

$$U(x) \le E$$

Il corpo può trovarsi solo dove il grafico di $U$ sta sotto la retta orizzontale di quota $E$. Nei punti in cui $U(x) = E$ la velocità è nulla: sono i punti di inversione del moto. La distanza verticale tra la retta $E$ e la curva $U$ è l'energia cinetica in quel punto.

Esempio: molla. Un blocchetto di massa $m = 0{,}3\ \text{kg}$ attaccato a una molla di costante $k = 12\ \text{N/m}$ su un piano liscio viene spostato di $A = 0{,}2\ \text{m}$ dalla posizione di riposo e lasciato andare. L'energia è $E = \frac12 k A^2 = \frac12 \cdot 12 \cdot 0{,}04 = 0{,}24\ \text{J}$. Il moto è confinato tra $x = -A$ e $x = +A$ (dove $\frac12 k x^2 = E$); la velocità è massima in $x = 0$, dove tutta l'energia è cinetica: $\frac12 m v_{\max}^2 = E \Rightarrow v_{\max} = A\sqrt{k/m} = 0{,}2 \cdot \sqrt{40} \approx 1{,}26\ \text{m/s}$.

Con una $U$ più complicata (come $U = 2x^3 - 6x$ di Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale →) il diagramma dice anche se il corpo resta intrappolato in una "buca" (moto limitato, oscillante) o se ha energia sufficiente per superare la "collina" e andarsene (moto illimitato).

Riassunto

Errori comuni

• Usare la conservazione quando c'è attrito: con l'attrito l'energia meccanica diminuisce, e il termine $W_{\text{nc}}$ è indispensabile.
• Contare due volte il peso: o lo si mette in $U = mgy$, o se ne calcola il lavoro $mg\,(y_A - y_B)$, non entrambe le cose.
• Dimenticare l'energia della molla in uno dei due stati (per esempio quando la molla è già compressa all'inizio).
• Pensare che la conservazione dia la reazione vincolare: la normale non compie lavoro e quindi non compare nell'equazione dell'energia; si trova con la seconda legge lungo la normale.
• Applicare la conservazione a un urto anelastico: negli urti si perde energia, vedi Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →.