Quantità di moto e impulso

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Riformulazione della seconda legge di Newton (Leggi di Newton) che diventa indispensabile per gli urti e per i sistemi di più corpi (Conservazione della quantità di moto, Urti tra punti materiali). Esercizi: Esercizio 28 · due pendoli tenuti aperti da una molla (impulso nell'urto tra due sferette), Esercizio 29 · piattaforma spinta che urta un ostacolo (impulso di un ostacolo fisso).

Quantità di moto

La quantità di moto di un punto materiale di massa $m$ e velocità $\vec v$ è il vettore

$\vec p = m\,\vec v \qquad [\text{kg}\,\text{m/s}]$

Ha la direzione e il verso della velocità. Misura "quanto moto" ha un corpo tenendo conto anche della massa: un camion a $10$ km/h e una bicicletta a $10$ km/h hanno la stessa velocità ma quantità di moto molto diverse, e fermarli richiede sforzi molto diversi.

La seconda legge con la quantità di moto

Se la massa è costante, $\frac{d\vec p}{dt} = \frac{d(m\vec v)}{dt} = m\frac{d\vec v}{dt} = m\vec a$ . Quindi la seconda legge si può scrivere

$\vec F = \frac{d\vec p}{dt}$

La forza risultante è la rapidità con cui cambia la quantità di moto. Questa è la forma in cui Newton enunciò la legge, ed è più generale di $\vec F = m\vec a$ (vale anche per sistemi a massa variabile, come un razzo che espelle gas).

Conseguenza immediata: se $\vec F = 0$ , allora $\vec p$ è costante. È di nuovo il principio d'inerzia, ma scritto in una forma che si generalizzerà ai sistemi di punti.

Impulso di una forza

Si moltiplica $\vec F = \frac{d\vec p}{dt}$ per $dt$ e si integra tra due istanti $t_1$ e $t_2$ :

$\int_{t_1}^{t_2} \vec F\,dt = \int_{\vec p_1}^{\vec p_2} d\vec p = \vec p_2 - \vec p_1$

L'integrale a sinistra si chiama impulso della forza nell'intervallo $[t_1, t_2]$ :

$\vec J = \int_{t_1}^{t_2} \vec F\,dt \qquad [\text{N}\,\text{s} = \text{kg}\,\text{m/s}]$

e si ottiene il

Teorema dell'impulso. L'impulso della forza risultante in un intervallo di tempo è uguale alla variazione della quantità di moto in quell'intervallo: $\vec J = \Delta\vec p = m\vec v_2 - m\vec v_1$

È un'uguaglianza tra vettori, quindi vale componente per componente: $J_x = m v_{2x} - m v_{1x}$ , e così via. Le unità coincidono: $\text{N}\,\text{s} = \text{kg}\,\text{m/s}^2 \cdot \text{s} = \text{kg}\,\text{m/s}$ .

Forza costante. Se $\vec F$ non cambia nel tempo, l'integrale è semplicemente $\vec J = \vec F\,\Delta t$ .

Forza media. Se la forza varia, si definisce la forza media come la forza costante che darebbe lo stesso impulso nello stesso tempo:

$\vec F_{\text{media}} = \frac{\vec J}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec p}{\Delta t}$

Graficamente, per una forza lungo una sola direzione, l'impulso è l'area sotto il grafico di $F(t)$ .

A cosa serve: forze impulsive e urti

Il teorema dell'impulso è utile quando una forza è molto intensa e dura pochissimo (forza impulsiva): un colpo di martello, una palla che rimbalza, un urto contro un ostacolo. Di queste forze non si conosce l'andamento nel tempo, ma si conosce (o si cerca) il loro effetto complessivo, cioè la variazione di quantità di moto.

Esempio: pallina contro un muro. Una pallina di massa $m = 0{,}1$ kg arriva perpendicolarmente contro un muro con velocità $8$ m/s e rimbalza indietro a $6$ m/s. Il contatto dura $\Delta t = 0{,}01$ s.

Asse $x$ nel verso di arrivo: $v_1 = +8$ m/s, $v_2 = -6$ m/s (rimbalzando cambia verso: il segno è essenziale).
Impulso del muro: $J_x = m v_2 - m v_1 = 0{,}1 \cdot (-6) - 0{,}1 \cdot 8 = -1{,}4\ \text{N}\,\text{s}$ , diretto via dal muro.
Forza media: $F_{\text{media}} = \frac{-1{,}4}{0{,}01} = -140$ N, circa $140$ volte il peso della pallina ( $\approx 0{,}98$ N).

Se si fosse dimenticato il cambio di verso, si sarebbe trovato $|\Delta p| = 0{,}2\ \text{kg m/s}$ invece di $1{,}4$ : errore tipico.

Perché durante un urto si possono trascurare le altre forze. In un intervallo brevissimo $\Delta t$ , l'impulso di una forza "normale" (peso, forza elastica, attrito) è $F\,\Delta t$ , piccolissimo; solo le forze impulsive, che diventano enormi, danno un impulso finito. Per questo negli esercizi si scrive "la forza elastica non è impulsiva": durante l'urto non cambia la quantità di moto (Esercizio 29 · piattaforma spinta che urta un ostacolo). Questo argomento è la base della conservazione della quantità di moto negli urti (Urti tra punti materiali).

Esempio: dalla forza alla velocità

Un corpo di massa $m = 2$ kg, inizialmente fermo, è spinto lungo $x$ da una forza che cresce linearmente, $F(t) = 3t$ (N, con $t$ in s), per $4$ s.

$J = \int_0^4 3t\,dt = \Big[\tfrac32 t^2\Big]_0^4 = 24\ \text{N}\,\text{s} \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{J}{m} = 12\ \text{m/s}$

Qui la forza non è costante, quindi non si potevano usare le formule del moto uniformemente accelerato; il teorema dell'impulso dà subito la velocità finale senza dover trovare la legge oraria.

Grafico interattivo: Forza F(t) = 3t (ascissa: t in s, ordinata: F in N). L'impulso tra 0 e 4 s è l'area del triangolo: 4 · 12 / 2 = 24 N·s

Riassunto

Grandezza	Formula	Unità
quantità di moto	$\vec p = m\vec v$	kg m/s
seconda legge	$\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt}$	N
impulso	$\vec J = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \vec F\,dt$ ( $= \vec F\Delta t$ se $\vec F$ costante)	N s
teorema dell'impulso	$\vec J = \Delta\vec p$
forza media	$\vec F_{\text{media}} = \Delta\vec p / \Delta t$	N

Errori comuni

Dimenticare che $\vec p$ è un vettore: in un rimbalzo la velocità cambia verso e $|\Delta\vec p| = m(|v_1| + |v_2|)$ , non $m(|v_1| - |v_2|)$ .
Confondere impulso e forza: l'impulso è una forza per un tempo (N s); due forze molto diverse possono dare lo stesso impulso se agiscono per tempi diversi (il principio degli airbag: stesso $\Delta p$ , tempo più lungo, forza più piccola).
Includere nel calcolo dell'impulso di un urto forze non impulsive (peso, molle): il loro contributo è trascurabile durante il contatto.

Quantità di moto e impulso