Rotazione attorno a un asse fisso

Prima: Momento d'inerzia e teorema di Huygens-SteinerIl momento d'inerzia I = ∫ r² dm misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un asse. Calcolo per asta, anello, disco e sfera; il teorema di Huygens-Steiner I = I_CM + M d² dà I rispetto a qualunque asse parallelo a uno per il CM.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner →. Si usano la seconda equazione cardinale (Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →) e la cinematica del Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →. Seguito: Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione →. Esercizi: Esercizio 60 · due dischi incollati appesi con un blocchetto, Esercizio 61 · disco che rotola su una piattaforma trattenuta da un filo.

Cinematica della rotazione

Un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso $z$ (per esempio una porta attorno ai cardini, una carrucola attorno al perno). Ogni suo punto $P$ descrive una circonferenza nel piano perpendicolare all'asse, con centro sull'asse e raggio $r_P$ (la distanza di $P$ dall'asse). La posizione del corpo è data da un solo numero: l'angolo $\theta$ di cui è ruotato rispetto a una posizione di riferimento.

Sono le stesse per tutti i punti del corpo (se ruota di $10°$, ruota di $10°$ tutto). Cambia invece la velocità lineare dei punti, che cresce con la distanza dall'asse:

$$v_P = \omega\,r_P, \qquad a_{P,t} = \alpha\,r_P \ \ (\text{tangenziale}), \qquad a_{P,n} = \omega^2 r_P \ \ (\text{centripeta})$$

Vettorialmente $\vec\omega = \omega\,\hat z$ è diretto lungo l'asse con la regola della mano destra (le dita seguono il verso di rotazione, il pollice dà il verso di $\vec\omega$), e $\vec v_P = \vec\omega\times\vec r_P$.

Se $\alpha$ è costante valgono formule identiche a quelle del Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →: $\omega = \omega_0 + \alpha t$, $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac12\alpha t^2$, $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$.

Momento angolare lungo l'asse

Il momento angolare di un pezzetto $dm$ rispetto a un punto $O$ dell'asse è $d\vec L = \vec r\times\vec v\,dm$. La sua componente lungo l'asse vale $r_\perp\,v\,dm = r_\perp^2\,\omega\,dm$, dove $r_\perp$ è la distanza dall'asse (la velocità è tangente alla circonferenza, quindi perpendicolare al raggio $r_\perp$). Sommando:

$$L_z = \omega\int r_\perp^2\,dm = I_z\,\omega$$

dove $I_z$ è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Attenzione: in generale il vettore $\vec L$ non è parallelo a $\vec\omega$ (può avere componenti perpendicolari all'asse). Lo è se l'asse di rotazione è un asse di simmetria del corpo (disco che ruota attorno al suo asse, asta che ruota attorno a un asse perpendicolare per il centro…). Per le rotazioni attorno a un asse fisso però conta solo la componente $L_z$: le altre componenti sono compensate dal momento delle reazioni dei cuscinetti.

L'equazione del moto: $M_z = I\alpha$

La seconda equazione cardinale $\vec M^{(e)} = \frac{d\vec L}{dt}$, proiettata sull'asse fisso (polo $O$ sull'asse), dà

$$M_z^{(e)} = \frac{dL_z}{dt} = \frac{d}{dt}(I_z\omega) = I_z\,\alpha$$

perché $I_z$ è costante (il corpo è rigido e l'asse è fisso). Quindi

$$\boxed{M_z^{(e)} = I_z\,\alpha}$$

È l'analogo rotatorio di $F = ma$: il momento delle forze fa la parte della forza, il momento d'inerzia quella della massa, l'accelerazione angolare quella dell'accelerazione.

Il momento di una forza lungo l'asse. Per una forza $\vec F$ applicata in un punto a distanza $r$ dall'asse, contenuta nel piano perpendicolare all'asse:

$$M_z = \pm F\,b, \qquad b = \text{braccio} = r\sin\varphi$$

dove $\varphi$ è l'angolo tra il raggio e la forza, e $b$ è la distanza dell'asse dalla retta d'azione della forza. Il segno è $+$ se la forza tende a far ruotare nel verso scelto come positivo, $-$ altrimenti.

• Una forza la cui retta d'azione passa per l'asse ha braccio nullo e non fa ruotare (per questo la reazione del perno non compare in $M_z$).
• Una forza parallela all'asse non ha momento lungo l'asse.
• Una forza tangente al bordo di un disco di raggio $R$ ha braccio $R$ (il caso delle carrucole).

Conservazione del momento angolare

Se il momento delle forze esterne lungo l'asse è nullo, $M_z^{(e)} = 0$, allora $L_z$ è costante:

$$I\,\omega = \text{costante}$$

Se il corpo cambia forma (non è più rigido, per esempio una pattinatrice che chiude le braccia, oppure un blocchetto che scivola lungo un'asta in rotazione) $I$ cambia e $\omega$ cambia di conseguenza: $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. Se la pattinatrice dimezza il suo momento d'inerzia, la sua velocità angolare raddoppia.

È lo strumento principale negli Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →: durante un urto con un corpo imperniato la reazione del perno è grandissima ma passa per l'asse, quindi ha momento nullo rispetto al perno e $L_z$ si conserva.

Reazioni del vincolo

La reazione $\vec\Phi$ del perno non compare nell'equazione dei momenti (rispetto al perno), ma serve spesso calcolarla. Si usa la prima equazione cardinale:

$$\vec F^{(e)} + \vec\Phi = M\,\vec a_{CM}$$

dove $\vec a_{CM}$ è l'accelerazione del centro di massa, che si muove di moto circolare attorno all'asse (raggio $d$ = distanza del CM dall'asse):

$$a_{CM,t} = \alpha\,d \quad (\text{tangente}), \qquad a_{CM,n} = \omega^2 d \quad (\text{verso l'asse})$$

Caso particolare. Se il CM sta sull'asse ($d = 0$, per esempio una carrucola omogenea imperniata nel centro), il CM è fermo e $\vec\Phi = -\vec F^{(e)}$: il perno equilibra esattamente le altre forze.

Esempio. Asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $\ell$, imperniata in un estremo $O$, lasciata da ferma in orizzontale. Nell'istante iniziale $\omega = 0$. Momento del peso rispetto a $O$: $Mg\frac{\ell}{2}$ (braccio $\ell/2$, peso applicato nel CM). Con $I_O = \frac13 M\ell^2$:

$$\alpha = \frac{Mg\,\ell/2}{\frac13 M\ell^2} = \frac{3g}{2\ell}$$

Il CM ha accelerazione tangenziale (verticale, verso il basso) $a_{CM} = \alpha\frac{\ell}{2} = \frac34 g$ e accelerazione centripeta nulla ($\omega = 0$). Prima equazione cardinale in verticale (asse verso il basso): $Mg - \Phi_y = M\cdot\frac34 g$, quindi $\Phi_y = \frac14 Mg$. All'istante del rilascio il perno sostiene solo un quarto del peso: l'asta "cade" con accelerazione minore di $g$, ma maggiore di zero.

Un fatto curioso: l'estremo libero ha accelerazione $\alpha\ell = \frac32 g > g$. Una moneta appoggiata sull'estremo dell'asta si stacca e resta indietro.

Carrucole con massa

Nei problemi di Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole → la carrucola era senza massa e la tensione era la stessa ai due lati. Se la carrucola ha momento d'inerzia $I$ e raggio $R$, e il filo non slitta, le tensioni ai due lati sono diverse: è proprio la loro differenza a far accelerare la rotazione,

$$(T_1 - T_2)\,R = I\,\alpha, \qquad \text{con il vincolo di non slittamento} \quad a = \alpha R$$

($a$ è l'accelerazione del filo, uguale a quella dei corpi appesi, e $\alpha R$ è l'accelerazione tangenziale dei punti del bordo: se il filo non slitta sono uguali).

Esempio: corpo appeso a una carrucola. Un blocco di massa $m$ è appeso a un filo avvolto su un disco di massa $M$ e raggio $R$ imperniato nel centro. Equazioni (asse verso il basso per il blocco, rotazione positiva quella che srotola il filo):

$$\begin{cases} m a = mg - T & \text{(blocco)}\\ T R = \frac12 M R^2\,\alpha & \text{(disco)}\\ a = \alpha R & \text{(filo che non slitta)}\end{cases}$$

Dalla seconda e dalla terza $T = \frac12 M a$; sostituendo nella prima $ma = mg - \frac12 Ma$, quindi

$$a = \frac{m}{m + M/2}\,g = \frac{m}{m + I/R^2}\,g$$

Interpretazione: la carrucola si comporta come una massa aggiuntiva $I/R^2$ da accelerare, che però non contribuisce alla forza motrice. Con $m = 1$ kg e $M = 2$ kg: $a = \frac{1}{2}g = 4{,}9\ \text{m/s}^2$ e $T = \frac12 \cdot 2 \cdot 4{,}9 = 4{,}9$ N, metà del peso del blocco. Se $M \to 0$ si ritrova la caduta libera $a = g$ e $T = 0$.

Il metodo per i problemi con rotazioni

1. Disegnare le forze su ogni corpo separatamente (corpo rigido, blocchi, fili).
2. Scegliere i versi positivi in modo coerente: se il blocco scende quando il disco ruota in verso orario, si prende positivo "giù" per il blocco e "orario" per il disco. Così il vincolo è $a = +\alpha R$ senza segni da indovinare.
3. Per ogni corpo che trasla: $\vec F = m\vec a$. Per ogni corpo che ruota: $M_z = I\alpha$ rispetto all'asse fisso (o, se l'asse si muove, rispetto al CM o al punto di contatto: Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento →).
4. Aggiungere le equazioni di vincolo (filo inestensibile, non slittamento).
5. Risolvere il sistema; le reazioni dei perni si trovano alla fine con la prima equazione cardinale.

Analogie tra traslazione e rotazione

Errori comuni

• Mettere la stessa tensione ai due lati di una carrucola con massa: se fosse così la carrucola non accelererebbe mai.
• Calcolare il momento con la distanza dal punto di applicazione invece del braccio (distanza dell'asse dalla retta d'azione).
• Dimenticare l'accelerazione centripeta del CM quando si calcola la reazione del perno con $\omega \ne 0$.
• Usare $M_z = I\alpha$ con un polo che accelera (che non sia fisso né il CM): in quel caso la relazione non vale in generale.